［摘 要］ 研究者以一節(jié)評(píng)優(yōu)課“共面向量定理”為例，闡述備課過(guò)程，以及教學(xué)過(guò)程和教學(xué)反思過(guò)程.研究者基于理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)備課，以定理發(fā)現(xiàn)、定理確定、定理挖掘、定理運(yùn)用和定理圖式五個(gè)過(guò)程教學(xué)，從備課過(guò)程、教學(xué)過(guò)程和學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程三個(gè)角度反思教學(xué)，為定理教學(xué)課的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)施提供一定的參考.

［關(guān)鍵詞］ 共面向量；三個(gè)理解；數(shù)學(xué)定理教學(xué)；教學(xué)反思

教材內(nèi)容解析

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（數(shù)學(xué)）（蘇教版）選修2-1》第3章第1單元第2節(jié)，是空間向量的基礎(chǔ)內(nèi)容. 一方面，這節(jié)課幫助學(xué)生在學(xué)過(guò)空間向量概念及運(yùn)算的基礎(chǔ)上研究空間向量的內(nèi)涵，另一方面促使學(xué)生在學(xué)過(guò)平面向量概念、向量共線定理和平面向量基本定理的基礎(chǔ)上進(jìn)一步理解向量自由移動(dòng)及平移不變的本質(zhì). 本節(jié)課為后續(xù)學(xué)習(xí)空間向量基本定理、坐標(biāo)表示、數(shù)量積，以及運(yùn)用空間向量解決立體幾何中的位置關(guān)系和度量問(wèn)題奠定基礎(chǔ). 本節(jié)課是定理教學(xué)課，設(shè)置一課時(shí).

教學(xué)重點(diǎn)：共面向量定理的證明和應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：共面向量條件的探討和共面向量定理的證明.

學(xué)生學(xué)情分析

其一，學(xué)生理解空間向量的概念，掌握方向相同且模相等的向量是同一向量，深知空間向量是自由的（平移不變），為本節(jié)課學(xué)習(xí)做好了知識(shí)儲(chǔ)備. 其二，學(xué)生學(xué)過(guò)向量共線定理和平面向量基本定理. 向量共線定理的本質(zhì)是將一個(gè)非零向量作為基底表示一維空間的所有向量，平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)是將兩個(gè)不共線的非零向量作為基底表示二維空間的所有向量. 借鑒和類比這兩個(gè)基本定理，為本節(jié)課學(xué)習(xí)提供了研究方法. 其三，高二學(xué)生具有一定的抽象思維和探究問(wèn)題能力，能利用相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化的思想探究新問(wèn)題，能利用類比方式獲得新知，為本節(jié)課學(xué)習(xí)提供了研究能力.

教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

（1）類比共線向量，學(xué)生提出共面向量的概念；通過(guò)對(duì)空間向量共面的探討，學(xué)生提出“空間中三個(gè)向量何時(shí)共面”這一問(wèn)題，并展開(kāi)探究，給出共面向量定理的證明；學(xué)生利用平面向量基本定理證明直線與平面平行和四點(diǎn)共面等簡(jiǎn)單問(wèn)題.

（2）培養(yǎng)學(xué)生類比和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思維能力.

（3）提高學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)用等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

教學(xué)過(guò)程摘錄

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

導(dǎo)入語(yǔ)：數(shù)學(xué)概念的推廣會(huì)帶來(lái)更好的性質(zhì)與應(yīng)用，從中能體驗(yàn)數(shù)學(xué)在結(jié)構(gòu)上的和諧性，感悟由此產(chǎn)生的影響. 為了解決平面上有關(guān)點(diǎn)、直線的位置關(guān)系和度量的問(wèn)題，我們引進(jìn)了平面向量及其運(yùn)算，進(jìn)一步擴(kuò)寬了視野. 上節(jié)課我們將向量由平面向空間推廣，并建立了相應(yīng)的運(yùn)算法則. 今天我們繼續(xù)來(lái)研究空間向量的有關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用［1］.

觀察圖1所示的長(zhǎng)方體，請(qǐng)回答：

（1）你能找出一個(gè)與共線的向量嗎？

（2）你能用，表示嗎？

（3）三個(gè)向量，，具有怎么樣的關(guān)系？

說(shuō)明 教師基于學(xué)情，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，利用長(zhǎng)方體這一基本模型，設(shè)置目標(biāo)明確、針對(duì)性強(qiáng)的三個(gè)問(wèn)題.第（1）問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)共線向量的概念和向量共線定理，強(qiáng)調(diào)向量是自由的（平移不變）；第（2）問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)平面向量基本定理，也為第（3）問(wèn)的解答埋下了伏筆；第（3）問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生從位置關(guān)系和向量關(guān)系進(jìn)行回答，引出共面向量的概念，也為探討共面向量定理做鋪墊. 問(wèn)題設(shè)置均從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，起點(diǎn)低但有梯度，拾級(jí)而上，從而自然而然地引出新的課題——共面向量.

2. 問(wèn)題引領(lǐng)，理解概念

師：類比共線向量的概念，你們能給共面向量定義嗎？

生1：能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量.

師（追問(wèn)）：空間中任意兩個(gè)向量都共面嗎？

生1：共面. 因?yàn)橄蛄渴亲杂傻模钥臻g中任意兩個(gè)向量都可以平移到同一平面內(nèi).

師（追問(wèn)）：那么空間中任意三個(gè)向量都共面嗎？

生1：不共面.

師（追問(wèn)）：為什么？

生2（補(bǔ)充）：從長(zhǎng)方體同一頂點(diǎn)出發(fā)，分別沿著三條棱方向的向量不可能共面.

師：非常好！要說(shuō)明一個(gè)命題不成立，可給出反例，使之滿足條件但不具備結(jié)論. 請(qǐng)問(wèn)空間中三個(gè)向量可能共面嗎？

生（思考）：可能.

師：你們認(rèn)為我們接下來(lái)應(yīng)該研究什么問(wèn)題？

生3（思考）：空間中三個(gè)向量滿足什么條件才能共面？

說(shuō)明 問(wèn)題的巧妙設(shè)計(jì)以及師生的一問(wèn)一答，引導(dǎo)學(xué)生類比共線向量的概念得到共面向量的概念，并順其自然地提出本節(jié)課的難點(diǎn)——共面向量定理. 教師將指導(dǎo)學(xué)生“學(xué)會(huì)”轉(zhuǎn)為引導(dǎo)學(xué)生“會(huì)學(xué)”，重視“知識(shí)”激勵(lì)學(xué)生“思維”. 教師適時(shí)追問(wèn)，利用問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生思考，并引導(dǎo)學(xué)生提出新的有價(jià)值的問(wèn)題，促使學(xué)生深度探究，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

3. 活動(dòng)探究，證明定理

師：我們現(xiàn)在按照生3提出的問(wèn)題繼續(xù)探究.

問(wèn)題1 在平面向量中，b與a（a≠0）共線的充要條件是b=λa（λ∈R），其含義是用a可以表示b. 類比到空間向量，若p，a，b共面，則p，a，b滿足什么條件？

（留兩分鐘讓學(xué)生思考，但學(xué)生沒(méi)有給出答案，教師啟發(fā)學(xué)生回答.）

師：p，a，b共面，意味著三者可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，此時(shí)在同一個(gè)平面內(nèi)三個(gè)向量p，a，b具有怎么的線性關(guān)系？

生4：根據(jù)平面向量基本定理可知，用平面內(nèi)的一組基底可以表示平面內(nèi)的任一向量，但是不知道哪兩個(gè)向量能構(gòu)成基底.

師：如果p，a，b三個(gè)向量共線，那么它們肯定是共面的. 如果我們?cè)O(shè)a，b不共線，那么——

生4：如果a，b不共線，那么a，b可以構(gòu)成基底.由平面向量基本定理可得p=xa+yb（x∈R，y∈R）.

師：非常好！如果空間中三個(gè)向量共面，那么它們可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，從而轉(zhuǎn)化為平面向量共面問(wèn)題，利用平面向量基本定理即可解決.那么反過(guò)來(lái)又會(huì)怎么樣呢？

問(wèn)題2 a，b不共線，如果存在有序?qū)崝?shù)組（x，y），使p=xa+yb，那么p，a，b共面嗎？

（學(xué)生思考……）

師（提示）：首先a，b共面，其次用a，b表示p，證明p，a，b三個(gè)向量共面.

教師和學(xué)生一起作圖說(shuō)明：在空間中任取一點(diǎn)M，作=a，=b，由向量共線定理可知=xa，過(guò)點(diǎn)A′作=yb（如圖2所示），則=+=xa+yb=p. 所以，，，都在平面MAB內(nèi)，即p，a，b共面. 綜上所述，可得共面向量定理.

共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組（x，y），使得p=xa+yb. 這就是說(shuō)，向量p可以由兩個(gè)不共線的向量a，b線性表示.

師：定理中為什么要求向量a，b不共線？

生5：如果a，b共線，那么p，a，b共面不一定能表示成p=xa+yb（x∈R，y∈R）.

師：說(shuō)得非常好！如果沒(méi)有“向量a，b不共線”這個(gè)條件，則“p與a，b共面”與“p=xa+yb”就不再是充要條件.

師：定理中沒(méi)有指出有序?qū)崝?shù)組是否唯一，你們認(rèn)為是唯一的嗎？

生6：是唯一的.

師（追問(wèn)）：為什么？你能證明嗎？

生6：利用“同一法”證明.設(shè)存在有序?qū)崝?shù)組（x，y）也滿足p=xa+yb，則xa+yb=xa+yb，即（x-x）a+（y-y）b=0. 由于a，b不共線，則x=x，y=y.故（x，y）是唯一的.

師：生6回答得非常好！大家發(fā)現(xiàn)，向量共面定理與平面向量基本定理在描述形式上很類似，你們認(rèn)為兩者有什么區(qū)別和聯(lián)系？

（學(xué)生思考一會(huì)）

生7（舉手）：平面向量基本定理僅指出平面內(nèi)三個(gè)向量，其中一個(gè)向量可用另外兩個(gè)不共線的向量線性表示；而共面向量定理不僅包含上述含義，還指出如果一個(gè)向量可用兩個(gè)不共線的向量線性表示，那么說(shuō)明這三個(gè)向量必定共面.

師：說(shuō)得好！平面向量基本定理只回答了必要性，而向量共面定理則回答了充分必要性.

說(shuō)明 本環(huán)節(jié)主要探究共面向量定理的證明，包含定理發(fā)現(xiàn)、定理確認(rèn)、定理挖掘和定理圖式. 共面向量定理的必要條件，用平面向量基本定理即可證明，而充分條件則需要作圖進(jìn)行驗(yàn)證. 教學(xué)過(guò)程先易后難，循序漸進(jìn)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理性精神的提升.

4. 例題示范，應(yīng)用定理

師：前面我們證明了共面向量定理，并將共面向量定理與平面向量基本定理進(jìn)行了比較，接下來(lái)我們利用共面向量定理解決立體幾何中的問(wèn)題.

例1 如圖3所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，點(diǎn)M，N分別在對(duì)角線BD，AE上，且BM=BD，AN=AE. 求證：MN∥平面CDE.

說(shuō)明 設(shè)置本例的意圖是運(yùn)用共面向量定理證明立體幾何中的線面平行. 在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生容易想到這樣兩個(gè)思路：一是通過(guò)線線平行證明線面平行，二是通過(guò)面面平行證明線面平行. 這兩個(gè)思路都是利用綜合法解決立體幾何中的位置問(wèn)題.面對(duì)此題，教師可引導(dǎo)學(xué)生尋找平面CDE中的一組基底，利用這組基底表示，先證明向量共面，再說(shuō)明直線不在平面內(nèi)，從而證得線面平行. 求解后比較綜合法和向量法，讓學(xué)生深刻體會(huì)向量以算代證的算法化思想.

例2 設(shè)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若點(diǎn)P滿足向量關(guān)系=x+y+z（其中x+y+z=1），試問(wèn)：P，A，B，C四點(diǎn)是否共面？

說(shuō)明 在解決例2前，讓學(xué)生思考下列問(wèn)題：對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，滿足向量關(guān)系=x+y（其中x+y=1）的三點(diǎn)P，A，B是否共線？要證明三點(diǎn)共線，可利用共線定理證明同一頂點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量共線，又具有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線. 接著引導(dǎo)學(xué)生類比聯(lián)想到四點(diǎn)共面這個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生深知解決此問(wèn)題的策略可由證明三點(diǎn)共線的方法類比遷移而來(lái).

5. 課堂總結(jié)，歸納提升

（1）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)和方法？

（2）本節(jié)課涉及哪些數(shù)學(xué)思想？你還有哪些問(wèn)題？

教學(xué)反思

筆者從教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)過(guò)程、學(xué)生學(xué)習(xí)心理三個(gè)方面反思這節(jié)課.

筆者認(rèn)為，可以基于章建躍教授的“三個(gè)理解”（理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)）備課. 理解數(shù)學(xué)是指教師清楚數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景、形成過(guò)程和方法，把握數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯體系、結(jié)構(gòu)和與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系. 備課時(shí)，教師要理解共面向量定理是對(duì)空間向量學(xué)習(xí)的進(jìn)一步深化，因?yàn)橄蛄渴亲杂傻模ㄆ揭撇蛔儯钥臻g向量問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為平面向量問(wèn)題來(lái)解決. 理解學(xué)生，即認(rèn)識(shí)學(xué)生的思維特征和認(rèn)知規(guī)律，了解學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備、能力基礎(chǔ)和思維障礙等. 備課時(shí)，教師要充分分析學(xué)生的已有知識(shí). 由于學(xué)生之前學(xué)過(guò)向量概念、共線定理和平面向量基本定理，具備一定的數(shù)學(xué)抽象思維能力，但也有可能存在共面向量定理的充分條件的證明障礙.理解教學(xué)，是指教師清楚教學(xué)本質(zhì)與功能，掌握一定的教學(xué)方法和教學(xué)藝術(shù)，清楚學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和教學(xué)的基本原則，能夠把教與學(xué)作為有機(jī)的、統(tǒng)一的、相互促進(jìn)的整體來(lái)處理. 備課時(shí)，基于理解數(shù)學(xué)和理解學(xué)生，以及共面向量和共線向量類似，向量共面定理和平面向量基本定理類似，教學(xué)中教師可采用類比方式來(lái)處理. 學(xué)生在證明共面向量定理的充分條件時(shí)遇到了困難，教師通過(guò)分解困難，引領(lǐng)學(xué)生拾級(jí)而上.

本節(jié)課是數(shù)學(xué)定理教學(xué)課. 數(shù)學(xué)定理教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，其主要任務(wù)是：使學(xué)生了解定理的背景，明確定理的條件與結(jié)論，掌握定理的證明方法，明確定理的應(yīng)用范圍并能運(yùn)用定理解決問(wèn)題，了解有關(guān)定理之間的內(nèi)在聯(lián)系并建立定理體系［2］. 教師創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，將抽象的數(shù)學(xué)定理還原為層層遞進(jìn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 通過(guò)問(wèn)題串、數(shù)學(xué)探究活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生交流、思考定理的產(chǎn)生和證明；設(shè)計(jì)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考向量共面定理與平面向量基本定理的區(qū)別和聯(lián)系，加深學(xué)生對(duì)共面向量定理本質(zhì)的理解，形成嚴(yán)格的定理體系；通過(guò)運(yùn)用共面向量定理解決簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題，促使學(xué)生掌握共面向量定理的運(yùn)用方法，認(rèn)識(shí)共面向量定理的作用和價(jià)值.

王富英等學(xué)者認(rèn)為：數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)過(guò)程可分為定理發(fā)現(xiàn)、定理確定、定理挖掘、定理應(yīng)用和定理圖式五個(gè)階段，每個(gè)階段都有不同的特征，教師充分認(rèn)識(shí)這些特征有助于解決學(xué)生定理學(xué)習(xí)過(guò)程中的認(rèn)知差異和認(rèn)知困難等［3］. 定理發(fā)現(xiàn)是一種類比發(fā)現(xiàn)，教師先提出（或?qū)W生自主發(fā)現(xiàn)）共面向量的類比對(duì)象為共線向量，再分化共線向量和共面向量的相似屬性，接著引導(dǎo)學(xué)生猜想向量共線定理和共面向量定理的相似結(jié)論，最后驗(yàn)證結(jié)論是否成立.定理確定指定理證明，教師引導(dǎo)學(xué)生利用已知定理或基本事實(shí)進(jìn)行證明. 定理挖掘主要有兩個(gè)方面：一是剖析共面向量定理的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及條件結(jié)論；二是挖掘共面向量定理隱藏的含義——若不共線的兩個(gè)向量能表示第三個(gè)向量，則說(shuō)明這三個(gè)向量共面.定理運(yùn)用是指將靜態(tài)的陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的程序性知識(shí)，教師要安排好習(xí)題和練習(xí)題，既有基礎(chǔ)練習(xí)又有綜合練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生活用和逆用定理的能力. 定理圖式指的是將共面向量定理與向量共線定理、平面向量基本定理相聯(lián)系，形成定理體系，構(gòu)建知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu). 教師要充分認(rèn)識(shí)學(xué)生定理學(xué)習(xí)的五個(gè)階段，便于在教學(xué)中根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和心理素質(zhì)，制定切實(shí)的教學(xué)方案，更好地提高教學(xué)有效性.

參考文獻(xiàn)：

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［3］ 王富英，馮靜，吳立寶. 數(shù)學(xué)定理學(xué)習(xí)的心理過(guò)程［J］. 內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2019，34（02）：31-37.