摘 要： 轉(zhuǎn)移矩陣法是研究介質(zhì)膜或勢壘中的光子或電子輸運(yùn)的一種理論計(jì)算方法。本文結(jié)合廣泛用于光學(xué)傳輸?shù)霓D(zhuǎn)移矩陣方法，對(duì)“大學(xué)物理”中的劈尖干涉和牛頓環(huán)現(xiàn)象進(jìn)行了數(shù)值模擬。研究發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)移矩陣方法不僅可以解決接觸面為平面的劈尖干涉，還可以解決接觸面為曲面的牛頓環(huán)現(xiàn)象。此研究不僅可以輔助課堂教學(xué)加深學(xué)生對(duì)薄膜干涉問題的理解，還可以激發(fā)學(xué)生對(duì)于科研的熱情，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)值計(jì)算方法解決生活中的實(shí)際問題。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)移矩陣；大學(xué)物理；劈尖干涉；牛頓環(huán)

Abstract： The transfer matrix method is a theoretical calculation method used to study the transport of photons or electrons in media films or potential barriers. This paper combines the widely used transfer matrix method in optical transmission to numerically simulate the phenomenon of sharpe interference and Newton's rings in "University Physics". The study found that the transfer matrix method can not only solve sharpe interference with a flat contact surface but also solve Newton's rings with a curved contact surface. This research not only assists classroom teaching in deepening students' understanding of thin film interference problems but also inspires students' enthusiasm for scientific research and cultivates their ability to use numerical calculation methods to solve practical problems in life.

Keywords： Transfer matrix; university physics; slit interference; Newton's rings

“大學(xué)物理”是一門對(duì)于理工工科專業(yè)非常重要的公共基礎(chǔ)課。這門課不僅可以拓展學(xué)生的知識(shí)面，而且在很多科研新型領(lǐng)域中具有重要的基礎(chǔ)支撐作用，因此其學(xué)科地位是其他學(xué)科無法比擬的。作為交叉學(xué)科的理論基礎(chǔ)，大學(xué)物理的內(nèi)容通常被應(yīng)用在交叉學(xué)科領(lǐng)域的研究與應(yīng)用中。大學(xué)物理涵蓋內(nèi)容非常豐富，其中包括力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)以及原子與分子物理學(xué)等。在光學(xué)學(xué)習(xí)中，薄膜干涉現(xiàn)象一直是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

薄膜干涉是指光照射到透明且厚度極薄的膜上時(shí)產(chǎn)生的干涉現(xiàn)象，導(dǎo)致在一些物體如氣泡或昆蟲的翅膀上出現(xiàn)彩色條紋[1]。該現(xiàn)象廣泛應(yīng)用于光學(xué)器件表面的增透膜、減反膜，眼鏡表面的防紫外光膜，以及宇航員頭盔表面的高反射膜等[2]。在教學(xué)中，對(duì)薄膜干涉進(jìn)行公式推導(dǎo)計(jì)算和分析相對(duì)復(fù)雜，常通過仿真技術(shù)研究，如劈尖干涉、牛頓環(huán)干涉等。然而，傳統(tǒng)的針對(duì)薄膜干涉的仿真編程需要面對(duì)不同問題需要進(jìn)行不同編程計(jì)算的困擾，顯得繁瑣重復(fù)。本文提出使用轉(zhuǎn)移矩陣法，這是科研中常用的方法，來簡化薄膜干涉的編程仿真問題，使其形成統(tǒng)一的解決范式。只需改變參數(shù)即可得到不同情況下的薄膜干涉解決方案，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)與科研的統(tǒng)一，激發(fā)本科生科研熱情，進(jìn)入科研的領(lǐng)域。首先，我們通過模擬對(duì)空氣劈尖干涉進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)當(dāng)空氣劈尖的斜率變化時(shí)，條紋的稠密程度也發(fā)生變化。然后，我們計(jì)算了曲面的牛頓環(huán)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)平凸透鏡的半徑變化時(shí)，條紋級(jí)數(shù)也發(fā)生了變化。這些現(xiàn)象與大學(xué)物理中的理論分析相符，充分證明了轉(zhuǎn)移矩陣法可以完全解決大學(xué)物理中的薄膜干涉問題。

一、轉(zhuǎn)移矩陣方法介紹

光學(xué)轉(zhuǎn)移矩陣法（Optical Transfer Matrix Method）是光學(xué)系統(tǒng)中一種常用的分析方法，用于描述光在復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)中的傳播和傳輸特性。而光子晶體是一種具有交替高介電常數(shù)和低介電常數(shù)層以及缺陷層的光學(xué)陷光結(jié)構(gòu)，常常在光子帶隙中出現(xiàn)共振特性，即缺陷諧振模式。這是科學(xué)研究中經(jīng)常涉及的光學(xué)問題，其實(shí)質(zhì)是多層薄膜光傳播的研究。相比于平面波算法，轉(zhuǎn)移矩陣法的計(jì)算量大大降低，成為科學(xué)研究和實(shí)際生產(chǎn)中重要的物理數(shù)值模擬計(jì)算方法。

設(shè)定轉(zhuǎn)移矩陣是一個(gè)22的矩陣。由于光波是一種電磁波，它遵循麥克斯韋方程組，描述了光波在空間中的傳播和相互作用方式。其在一維多層薄膜中的傳播規(guī)律遵循麥克斯韋方程 [3-6]，所設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)從上向下各個(gè)界面分別為1， 2， 3， … ， 2N+5層。其中入射角度為。由麥克斯韋方程和電場、磁場邊界條件導(dǎo)出的多層結(jié)構(gòu)的傳遞矩陣方程可以描述為[3，4]，

其中，B0和A0分別為多層結(jié)構(gòu)頂部入射光和反射光的電場; 和分別是結(jié)構(gòu)底部的輸出光和輸入光的電場。由于光通過多層薄膜后沒有反射回來的光，根據(jù)光的反射率，透射率、吸收率的定義，可得， . 傳遞矩陣Ml（l= 1，2， … 2N+5）和Pl（l= 1，2， … ， 2N+5）可以描述為，

其中，（2）式中和分別為該分界面的透射系數(shù)和反射系數(shù)，用Fresnel公式推導(dǎo)可得，和

。其中θl和nl分別代表第l層介質(zhì)的光的傳播角和折射率， 這里。 光在不同層中的傳播角度受Snell’s law支配，dl代表l層的厚度，λ = 2πc/ω為入射波長。

光學(xué)轉(zhuǎn)移矩陣法可以應(yīng)用于光子晶體的吸收問題的理論分析和設(shè)計(jì)中。在科學(xué)研究中，通過應(yīng)用于光子晶體，可以實(shí)現(xiàn)在納米尺寸范圍內(nèi)的光完美吸收，但需要額外添加陷光結(jié)構(gòu)，如二維材料等損耗較大的材料來增強(qiáng)介質(zhì)層的光吸收[5，6]。通過轉(zhuǎn)移矩陣法的分析，可以研究不同光子晶體的吸收特性，并對(duì)光學(xué)系統(tǒng)的性能進(jìn)行預(yù)測和優(yōu)化設(shè)計(jì)。該方法簡單易行，易于理解，并且不僅適用于科學(xué)研究領(lǐng)域，也可以在本科教學(xué)中普及應(yīng)用。

二、利用轉(zhuǎn)移矩陣法模擬薄膜干涉

根據(jù)空氣劈尖干涉原理，如圖1所示，空氣劈尖由兩塊折射率為1.53的玻璃板構(gòu)成，板之間有一個(gè)薄的空氣層，僅有一端粘合，另一端通過細(xì)絲或紙片支撐。其中劈尖的斜率由參數(shù) D/L =2′10-3， D 是空氣劈尖的厚度， L 則表示劈尖的長度。當(dāng)波長為589 nm的可見光垂直入射時(shí)，上面的玻璃板和下部的空氣層會(huì)發(fā)生反射，形成兩列相干光源，從而產(chǎn)生干涉現(xiàn)象。根據(jù)大學(xué)物理課堂理論分析可知：當(dāng)空氣層厚度為明紋，當(dāng)時(shí)候?yàn)榘导y，其中為入射光的波長。

如圖2所示，當(dāng)光線從空氣向空氣劈尖中傳播時(shí)，會(huì)發(fā)生反射和透射，并形成干涉現(xiàn)象。這種干涉現(xiàn)象會(huì)導(dǎo)致劈尖上出現(xiàn)明暗相間的干涉條紋，其間距和形態(tài)與劈尖的長度有關(guān)。干涉條紋的形成是由于光在空氣劈尖中的路徑差引起的。光在劈尖上的兩個(gè)不同位置反射或透射后，其路徑長度會(huì)有微小差異，導(dǎo)致相位差的變化。當(dāng)光的相位差達(dá)到一定條件時(shí)，會(huì)出現(xiàn)干涉加強(qiáng)或干涉衰減的現(xiàn)象，形成明暗相間的條紋。對(duì)于空氣劈尖而言，當(dāng)劈尖長度較小時(shí)，形成干涉條紋的空氣層厚度較小。隨著劈尖長度的增加，條紋的間距也會(huì)增大。這是因?yàn)榭諝馀獾拈L度增加會(huì)導(dǎo)致光傳播的路徑差增加，從而改變干涉條件。因此，不同長度的空氣劈尖會(huì)形成不同間距的明暗相間的干涉條紋。干涉條紋可以通過觀察或者使用干涉儀等光學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行檢測。通過觀察干涉條紋的變化，可以得到關(guān)于空氣劈尖長度和干涉現(xiàn)象的信息。這種現(xiàn)象在一些光學(xué)應(yīng)用中被利用，例如表征表面形貌或測量微小物體的尺寸。需要注意的是，干涉條紋的形態(tài)和特性還可能受到其他因素的影響，例如入射光的波長、入射角度和劈尖表面的光學(xué)特性等。因此，在具體的實(shí)驗(yàn)或應(yīng)用中，需要綜合考慮這些因素，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)睦碚摲治龊蛯?shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。與此相對(duì)應(yīng)，通過轉(zhuǎn)移矩陣法計(jì)算得到的反射率變化也呈現(xiàn)出與空氣劈尖干涉條紋一致的規(guī)律。這充分證明了轉(zhuǎn)移矩陣法可以解決空氣劈尖干涉相關(guān)問題。

根據(jù)我們所了解的信息，劈尖的斜率會(huì)影響干涉條紋的分布。當(dāng)劈尖斜率為時(shí)（如圖3所示），條紋會(huì)變得稀疏，即遠(yuǎn)離劈尖的棱邊。綜合圖2和圖3的觀察結(jié)果，我們可以得出結(jié)論：在玻璃板的折射率保持不變的情況下，如果劈尖斜率較大，則條紋變得更加密集；如果劈尖斜率較小，則條紋變得更加稀疏。這與大學(xué)物理學(xué)中的理論相符，說明該數(shù)值模擬方法可以清晰地反映基本物理原理，并通過圖示的方式幫助學(xué)生理解物理現(xiàn)象，有助于解決實(shí)際生活中的問題。

三、利用轉(zhuǎn)移矩陣法模擬牛頓環(huán)

除了上述內(nèi)容，利用傳遞矩陣法還可以用來計(jì)算其他曲面。下面我們以一個(gè)牛頓環(huán)干涉實(shí)驗(yàn)為例，通過傳遞矩陣法進(jìn)行計(jì)算。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，我們使用由玻璃構(gòu)成的牛頓環(huán)裝置，包括一個(gè)平凸透鏡和一個(gè)平板玻璃，它們彼此接觸并在其間形成一層空氣薄膜。由于空氣薄膜的表面呈現(xiàn)非線性變化，因此會(huì)形成明暗相間的圓環(huán)，整體上呈現(xiàn)出由中心向外逐漸變得稀疏的現(xiàn)象。下面我們使用傳遞矩陣法進(jìn)行驗(yàn)證。其中，，。通過傳遞矩陣法計(jì)算得出，（亮）等于0.75 μm和（暗）等于0.43 μm。而根據(jù)理論計(jì)算和得出的結(jié)論是一致的[5]。根據(jù)傳遞矩陣法，還可以得到條紋的最大反射率約21%。如圖4所示，這個(gè)案例充分證明了傳遞矩陣法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)曲面計(jì)算。即通過合理選擇光學(xué)元件的傳遞矩陣，并將它們按順序組合，可以對(duì)曲面的光學(xué)行為進(jìn)行建模和分析。需要注意的是，傳遞矩陣法仍然是一種近似方法，并且在涉及復(fù)雜光學(xué)效應(yīng)、非線性光學(xué)或散射等情況下可能不適用。

我們還可以通過改變牛頓環(huán)裝置平凸透鏡的半徑來觀察干涉條紋的變化。如圖4所示，當(dāng)半徑增大至10μm時(shí)，牛頓環(huán)條紋向外移動(dòng)，整體規(guī)律與圖3保持一致，條紋呈現(xiàn)出由中心向外逐漸稀疏的現(xiàn)象。同時(shí)，由于只是改變平凸透鏡的半徑，它的曲率并未發(fā)生變化，因此其反射率與圖4相同。

由于介質(zhì)厚度相等，并且每次反射或透射引起的位相差相等，因此同一級(jí)干涉條紋的軌跡是一致的。在實(shí)際應(yīng)用中，等厚干涉經(jīng)常被用于測量物體的厚度、曲率半徑、折射率等物理參數(shù)。此外，等厚干涉還廣泛應(yīng)用于光學(xué)元件的設(shè)計(jì)和制造，例如薄膜光學(xué)、波導(dǎo)、光纖等。如果觀察到的條紋出現(xiàn)彎曲現(xiàn)象，就說明使用的材質(zhì)表面存在凹凸不平的情況。因此，通過觀察這些明暗相間的條紋，可以將它們應(yīng)用于光學(xué)元件的加工質(zhì)量檢測中。

結(jié)語

本文采用轉(zhuǎn)移矩陣法模擬了非平行平面干涉情況空氣劈尖干涉和牛頓環(huán)干涉。研究發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)移矩陣法不僅可以模擬空氣劈尖干涉的平面情況，還可以模擬牛頓環(huán)的曲面情況。得到的結(jié)論證明，使用轉(zhuǎn)移矩陣法的模擬情況與大學(xué)物理課堂理論模擬結(jié)論一致，充分驗(yàn)證了使用該方法研究薄膜干涉的正確性和簡潔性。利用轉(zhuǎn)移矩陣法研究大學(xué)物理課堂教學(xué)中薄膜干涉問題，不僅可以幫助學(xué)生理解表面現(xiàn)象，還可以指導(dǎo)大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)。除此之外，也可以通過該教學(xué)促進(jìn)學(xué)生掌握轉(zhuǎn)移矩陣法，激發(fā)本科生科研的興趣，從而促進(jìn)他們利用數(shù)值仿真方法解決生活中的實(shí)際問題。

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基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（項(xiàng)目編號(hào)：62364004） ，貴州省自然科學(xué)基金（項(xiàng)目編號(hào)：黔科合基礎(chǔ)–ZK[2022]一般211） ，貴州省教育廳青年科技人才成長項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：黔教合KY字[2022]184號(hào)）

作者簡介：李洪旭（1986— ），男，漢族，四川達(dá)州人，博士研究生，講師，主要從事嵌入式、物聯(lián)網(wǎng)、人工智能和電磁場電磁波方向的研究工作。