臧順全 王竹霞

摘??要：以工程教育為目標(biāo)，首先分析教學(xué)與科研的關(guān)系，給出教研融合的定積分概念的教學(xué)案例。其次針對(duì)問(wèn)題式教學(xué)法的優(yōu)勢(shì)，在方向?qū)?shù)與梯度教學(xué)中通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)方式加以實(shí)施。由于數(shù)學(xué)建模能培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐應(yīng)用能力和科學(xué)創(chuàng)新能力，最后給出數(shù)學(xué)建模能力提升和基于項(xiàng)目驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例。

關(guān)鍵詞：工程教育；大學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)案例；數(shù)學(xué)建模；績(jī)效評(píng)價(jià)

2018年，教育部、工業(yè)與信息化部、中國(guó)工程院發(fā)布《關(guān)于加快建設(shè)發(fā)展新工科實(shí)施卓越工程師教育培養(yǎng)計(jì)劃2.0的意見(jiàn)》[1]，意見(jiàn)指出要加快建設(shè)發(fā)展新工科，探索形成中國(guó)特色、世界水平的工程教育體系，促進(jìn)我國(guó)從工程教育大國(guó)走向工程教育強(qiáng)國(guó)。我們發(fā)現(xiàn)，大學(xué)數(shù)學(xué)在實(shí)際教學(xué)中仍然存在不少填鴨式的情況，以學(xué)生為中心、以成果為導(dǎo)向和以持續(xù)改進(jìn)為目標(biāo)的工程教育理念未能充分的貫徹，難以適應(yīng)新發(fā)展的需要。因此，在大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)過(guò)程中深入踐行工程教育理念，開(kāi)展基于工程教育的教學(xué)案例研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

1?基于教研融合的定積分概念教學(xué)案例

培養(yǎng)高素質(zhì)人才是大學(xué)的使命，對(duì)高校教師來(lái)說(shuō)教學(xué)和科研應(yīng)該是相輔相成、互相促進(jìn)的關(guān)系。大學(xué)數(shù)學(xué)課程作為重要的基礎(chǔ)課程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和創(chuàng)新思維能力有十分重要的作用。在教學(xué)過(guò)程中，教師要善于發(fā)現(xiàn)課程教學(xué)內(nèi)容和科學(xué)研究?jī)?nèi)容的相關(guān)性、交叉點(diǎn)，圍繞交叉點(diǎn)對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深入分析，找到它們之間的融合方式，設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容和科研方向相融合的教學(xué)案例[2]。數(shù)學(xué)與計(jì)算密不可分，科學(xué)計(jì)算是利用數(shù)學(xué)模型和先進(jìn)的計(jì)算能力來(lái)分析和解決復(fù)雜問(wèn)題的研究工具[3]，科學(xué)計(jì)算已成為人m們解決實(shí)際問(wèn)題和科學(xué)研究的重要工具，新工科背景下更需要對(duì)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)計(jì)算思維的培養(yǎng)和計(jì)算方法的訓(xùn)練，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的科研思維和實(shí)踐創(chuàng)新能力。在《高等數(shù)學(xué)》和《線性代數(shù)》等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程中，利用泰勒公式、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)進(jìn)行近似計(jì)算，利用矩形法、梯形法和拋物線法等計(jì)算定積分的近似值，二分法和牛頓切線法求非線性方程的近似根，利用高斯消元法解多元的線性方程組，這些內(nèi)容均體現(xiàn)了科學(xué)計(jì)算的思想。因此，我們從定積分的近似計(jì)算為切入點(diǎn)，與科學(xué)研究中的數(shù)值計(jì)算相融合，設(shè)計(jì)教研融合的教學(xué)案例。

案例1：在定積分的概念教學(xué)內(nèi)容中，積分的思想是分割、近似、求和與極限，它不僅是多元函數(shù)積分學(xué)的基礎(chǔ)，也是數(shù)值積分法的核心。我們發(fā)現(xiàn)，定積分的思想與教師研究方向微分方程反問(wèn)題相關(guān)性強(qiáng)，適合設(shè)計(jì)教研融合教學(xué)案例。（1）該案例的教學(xué)目標(biāo)是：①理解定積分的概念，會(huì)利用定積分的定義計(jì)算一些特殊形式的極限；②了解定積分近似計(jì)算的思想和信號(hào)重建的定積分方程模型求解的思想，會(huì)利用線性方程組理論解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。（2）該案例的教學(xué)思想是：①以信號(hào)重建引入問(wèn)題，將數(shù)學(xué)理論與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性；②以微課等形式發(fā)布預(yù)習(xí)內(nèi)容，為新授內(nèi)容作鋪墊，降低學(xué)習(xí)新知的難度，有利于學(xué)生對(duì)新知識(shí)體系的自主建構(gòu)。（3）具體的教學(xué)實(shí)施過(guò)程是：①內(nèi)容回顧：簡(jiǎn)單定積分的計(jì)算。定積分的計(jì)算方法有直接積分法、換元法和分部積分法，由于某些定積分不能直接計(jì)算，即原函數(shù)無(wú)法用初等函數(shù)表示。對(duì)于這些較為復(fù)雜的定積分，往往利用數(shù)值積分法和函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)計(jì)算定積分的近似值。②問(wèn)題引入：反問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題。信號(hào)重建是由觀測(cè)信號(hào)復(fù)原出原始信號(hào)，理論表明信號(hào)重建問(wèn)題可用定積分方程模型描述。根據(jù)微積分的知識(shí)，有些積分方程可通過(guò)求導(dǎo)后轉(zhuǎn)化為微分方程求解，但信號(hào)重建對(duì)應(yīng)的積分方程不適合該方法。我們提出如下問(wèn)題，問(wèn)題1：定積分怎樣定義？如果無(wú)法求得精確值，怎樣計(jì)算近似值？問(wèn)題2：如何實(shí)現(xiàn)信號(hào)重建？③定積分的引入背景。引入定積分的經(jīng)典背景問(wèn)題是幾何和物理方面的，如曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題。教學(xué)中，我們引導(dǎo)學(xué)生討論這些問(wèn)題的解決方法。雖然給出不同背景的問(wèn)題，但解決問(wèn)題的思想均是分割、近似、求和和極限，且都得到相同的特殊和式極限。④定積分的定義及應(yīng)用。依據(jù)定積分的引入背景，歸納出基于分割、近似、求和和極限的定積分定義。為了達(dá)到學(xué)生深入理解定義的目的，需要對(duì)定義從以下幾方面進(jìn)一步研究，分別是：定義為矩形法、定義中的兩個(gè)任意、定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)和定積分存在的條件。其次，給出特殊的定積分的定義，如函數(shù)在上定積分的定義，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行定積分定義的應(yīng)用。應(yīng)用主要是兩方面，分別是求簡(jiǎn)單的定積分和求數(shù)列和式極限。⑤定積分的近似計(jì)算。定積分的定義往往是由矩形法給出，學(xué)生討論發(fā)現(xiàn)定義還有左矩形法、右矩形法、中矩形法、梯形法和拋物線法等，并引導(dǎo)學(xué)生給出計(jì)算定積分近似值的左矩形法、右矩形法和梯形法公式，通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證這些方法的有效性，同時(shí)向?qū)W生布置數(shù)值實(shí)驗(yàn)問(wèn)題。⑥信號(hào)重建定積分方程模型及應(yīng)用。我們將信號(hào)重建問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解線性方程組問(wèn)題，由線性代數(shù)知識(shí)，線性方程組可通過(guò)高斯消元法求解，但信號(hào)重建中的線性方程組往往是不適定的，因此常借助奇異值分解理論加以求解。最后依據(jù)所發(fā)表論文，向?qū)W生展示信號(hào)重建的方法和過(guò)程。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)教師可以將科研問(wèn)題和學(xué)術(shù)思想引入課堂中，使課堂不再枯燥乏味，也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。我們發(fā)現(xiàn)，教學(xué)是科研的動(dòng)力，科研則能提升教學(xué)質(zhì)量。教學(xué)和科研如能發(fā)揮各自優(yōu)勢(shì)、協(xié)同育人，就能更好地培養(yǎng)一流人才、成就卓越教師[4]。

2?基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的方向?qū)?shù)與梯度教學(xué)案例

傳統(tǒng)的教學(xué)模式往往以教師為主導(dǎo)，學(xué)生則是填充式、被動(dòng)的接受知識(shí)，這種教學(xué)模式的弊端很多，比如難以培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，學(xué)生缺乏對(duì)問(wèn)題的獨(dú)立思考能力，以及知識(shí)綜合應(yīng)用能力和實(shí)踐創(chuàng)新能力。新工科背景下，踐行以學(xué)生為中心、教師作指導(dǎo)的教學(xué)模式是必然趨勢(shì)。以學(xué)生為中心教學(xué)模式是學(xué)生主導(dǎo)課堂，教師起點(diǎn)撥和啟發(fā)的作用，教師通過(guò)啟發(fā)學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生找到解決問(wèn)題的思路，激發(fā)起學(xué)生獲取知識(shí)的強(qiáng)烈欲望，從而最大限度的培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、獨(dú)立思考能力和創(chuàng)新實(shí)踐能力。我們發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題式教學(xué)法和研究式教學(xué)法在大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)中更有利于踐行以學(xué)生為中心的教學(xué)理念。問(wèn)題式學(xué)習(xí)（PBL，Problem-Based?Learning）是以問(wèn)題為導(dǎo)向的教學(xué)方法，它是基于現(xiàn)實(shí)世界、以問(wèn)題為起點(diǎn)、以學(xué)生為中心，學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)、小組協(xié)作和討論探究相結(jié)合的教學(xué)方式[5]。下面以高等數(shù)學(xué)中方向?qū)?shù)與梯度知識(shí)點(diǎn)，設(shè)計(jì)基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)案例。

案例2：（1）案例背景。偏導(dǎo)數(shù)反映的是多元函數(shù)沿坐標(biāo)軸方向的變化率，但在實(shí)際問(wèn)題中，往往需要考慮函數(shù)沿任一給定方向的變化率，以及沿什么方向函數(shù)的變化率最大或最小。（2）給出實(shí)際問(wèn)題，提出知識(shí)目標(biāo)。在天氣預(yù)報(bào)實(shí)際問(wèn)題中，要預(yù)報(bào)某地的風(fēng)向和風(fēng)力，需要分析氣象衛(wèi)星云圖中氣壓的變化，必須知道氣壓在該地沿某一方向的變化率[6]。具體的問(wèn)題是：①如何描述二元函數(shù)沿不同方向的變化率，即方向?qū)?shù)問(wèn)題；②函數(shù)沿什么方向變化率最大，即梯度問(wèn)題。（3）回顧偏導(dǎo)數(shù)知識(shí)，引入方向?qū)?shù)。偏導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)是一元函數(shù)的極限，通常認(rèn)為一元函數(shù)極限較多元函數(shù)極限簡(jiǎn)單。多元函數(shù)沿任一方向的變化率稱(chēng)為方向?qū)?shù)，為了給出二元函數(shù)沿給定方向的方向?qū)?shù)的定義，將引導(dǎo)學(xué)生從一、二元函數(shù)極限的兩個(gè)角度考慮問(wèn)題。通過(guò)同學(xué)們的交流討論發(fā)現(xiàn)，直接想利用一元函數(shù)極限定義方向?qū)?shù)較為抽象，利用二元函數(shù)極限定義方向?qū)?shù)更容易理解。在教學(xué)中，先給出方向?qū)?shù)二元函數(shù)極限的定義，這是很多教材中沒(méi)有的。接著借助直線的點(diǎn)向式方程和參數(shù)式方程，將方向?qū)?shù)二元函數(shù)極限的定義轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)極限的定義，該定義是絕大多數(shù)教材直接給出的。我們的處理方式學(xué)生更容易理解方向?qū)?shù)的定義，也明白教材中定義的由來(lái)。為了對(duì)定義有更深入的理解，進(jìn)而討論方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。（4）分析存在條件，給出計(jì)算方法。一般地，利用方向?qū)?shù)的定義判定存在性和計(jì)算很復(fù)雜，我們?cè)噲D將其轉(zhuǎn)化為與偏導(dǎo)數(shù)和全微分的關(guān)系。①我們基于向量分解的思想將各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)投影到給定方向上，便可得到方向?qū)?shù)的計(jì)算公式。②在證明方向?qū)?shù)存在條件和計(jì)算公式時(shí)，先引導(dǎo)學(xué)生明確問(wèn)題的起點(diǎn)與終點(diǎn)，經(jīng)學(xué)生討論分析得到證明的路徑為全微分。③通過(guò)課堂教授例題與學(xué)生課堂練習(xí)相結(jié)合，對(duì)方向?qū)?shù)的計(jì)算方法能熟練的掌握。（5）引出梯度概念，研究方向?qū)?shù)的

最大值。由于方向?qū)?shù)計(jì)算公式為則可表示為稱(chēng)向量為函數(shù)在某點(diǎn)處的梯度，于是有其中為梯度與向量的夾角，這便給出了梯度的概念，及方

向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系。由上述關(guān)系，不難給出方向?qū)?shù)最大值（即函數(shù)變化率最大）的結(jié)論，分別是：①函數(shù)沿梯度方向方向?qū)?shù)最大，即函數(shù)增加最快；②函數(shù)沿梯度反方向方向?qū)?shù)最小，即函數(shù)減少最快。該結(jié)論是梯度在現(xiàn)代科技中廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)，教學(xué)中將通過(guò)探熱離子移動(dòng)軌跡和屋中蚊子飛行軌跡等問(wèn)題展示方向?qū)?shù)與梯度的實(shí)際應(yīng)用。（6）分析幾何性質(zhì)，研究梯度方向。借助多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和多元微分學(xué)的幾何性質(zhì)，得到梯度與等值線（面）的切線（平面）是垂直關(guān)系，并且指向等值線（面）數(shù)值較大的方向。該性質(zhì)能使學(xué)生更直觀的理解梯度，同時(shí)對(duì)氣象衛(wèi)星云圖中氣壓的變化影響風(fēng)向和風(fēng)力有一定的了解。（7）總結(jié)與展望。對(duì)方向?qū)?shù)與梯度的內(nèi)容加以小結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生歸納出應(yīng)掌握的內(nèi)容和關(guān)系。最后分析本節(jié)知識(shí)在地理、醫(yī)學(xué)和軍事等方面的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的方向。

3?基于項(xiàng)目驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例

數(shù)學(xué)是科學(xué)之母，科學(xué)技術(shù)中的很多問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)建模方法建立數(shù)學(xué)模型解決。在利用數(shù)學(xué)建模解決問(wèn)題時(shí)，首先利用數(shù)學(xué)方法和專(zhuān)業(yè)知識(shí)從具體問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)模型；其次利用數(shù)學(xué)理論、計(jì)算方法和計(jì)算機(jī)工具得到問(wèn)題的解；最后利用得到的解來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。在新工科背景下，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是培養(yǎng)學(xué)生的工程實(shí)踐能力與創(chuàng)新能力的重要載體。數(shù)學(xué)建模所涉及的知識(shí)十分廣泛，能力的提升也不是一蹴而就，而是入門(mén)—提升—精通的過(guò)程。為了實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)，我們?cè)诖髮W(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程中強(qiáng)化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)建模思想，做好數(shù)學(xué)建模的入門(mén)關(guān)。在每年的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽備戰(zhàn)中，通過(guò)常規(guī)培訓(xùn)和賽前集中培訓(xùn)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模具有濃厚的興趣，希望進(jìn)一步提升自身的數(shù)學(xué)建模能力，指導(dǎo)教師將接納這部分學(xué)生參與相關(guān)的科研項(xiàng)目，使學(xué)生真正做到利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決世界問(wèn)題。下面給出數(shù)學(xué)建模能力提升和基于項(xiàng)目驅(qū)動(dòng)的教學(xué)案例。

案例3：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)到數(shù)學(xué)建模的進(jìn)階之路。（1）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介。數(shù)學(xué)應(yīng)用的實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)和所研究問(wèn)題相結(jié)合的結(jié)果，數(shù)學(xué)模型是連接數(shù)學(xué)理論和實(shí)際問(wèn)題的橋梁，數(shù)學(xué)建模則是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的重要手段和途徑。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是MATLAB、LINGO等工具對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)課程中問(wèn)題的實(shí)現(xiàn)和可視化，這是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)。（2）基于函數(shù)優(yōu)化的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。先給出求二元函數(shù)無(wú)條件極值的方法，該方法的核心是求偏導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)和判定，一、二階偏導(dǎo)數(shù)利用MATLAB中diff函數(shù)實(shí)現(xiàn)，求駐點(diǎn)實(shí)質(zhì)是解方程組，可以有solve函數(shù)實(shí)現(xiàn)，在此基礎(chǔ)上借助循環(huán)和判定便可求得二元函數(shù)無(wú)條件極值。實(shí)際中的很多優(yōu)化問(wèn)題要求極（最）小值，由于沿負(fù)梯度方向函數(shù)減少最快，在給定初值情況下逐步按負(fù)梯度方向加以搜索，便可得到問(wèn)題要求的極（最）小值?；诒舅枷?，我們給出梯度下降法，該方法是最優(yōu)化中最經(jīng)典的優(yōu)化方法之一。最后給出函數(shù)優(yōu)化的梯度下降法實(shí)例分析。同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，基于導(dǎo)數(shù)（梯度）的函數(shù)優(yōu)化方法具有變量多、導(dǎo)數(shù)（梯度）計(jì)算困難和約束條件多等缺點(diǎn)，為應(yīng)對(duì)這些困難可通過(guò)現(xiàn)代智能優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)。（3）基于方程求根的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。二分法思想簡(jiǎn)單，但隔離區(qū)間難確定，且只能求隔離區(qū)間的一個(gè)解。牛頓切線法是用切線代替曲線求方程的近似根，具有思想簡(jiǎn)單、容易實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，但初始值難確定。熱傳導(dǎo)、自動(dòng)控制、光學(xué)和量子力學(xué)等領(lǐng)域經(jīng)常遇到超越方程的求解問(wèn)題，但二分法和牛頓切線法難以求解超越方程，同樣這些問(wèn)題可通過(guò)現(xiàn)代智能優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)。（4）基于線性方程組求解的數(shù)值實(shí)驗(yàn)。首先基于MATLAB工具實(shí)現(xiàn)高斯消元法，高斯消元法適合求解矩陣的條件數(shù)較小的方程組，但對(duì)條件數(shù)很大的方程組會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果。由于不適定方程組的條件數(shù)會(huì)很大，若對(duì)方程組常數(shù)項(xiàng)有微小擾動(dòng)，它的解會(huì)變化很大，因此給出針對(duì)不適定線性方程組的正則化方法，最后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)正則化方法進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證。同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行信號(hào)恢復(fù)模型建立，最終轉(zhuǎn)化為不適定方程組的求解問(wèn)題。（5）介紹數(shù)學(xué)建模的組隊(duì)方式、所需知識(shí)、所需方法、所需能力和論文撰寫(xiě)技巧。

案例4：該案例基于教學(xué)改革研究項(xiàng)目：“雙一流”背景下高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)績(jī)效評(píng)價(jià)與提升路徑研究。該項(xiàng)目的研究?jī)?nèi)容之一是：以優(yōu)勢(shì)學(xué)科為例，分析學(xué)科建設(shè)的投入和成果，構(gòu)建符合學(xué)科實(shí)際的學(xué)科評(píng)價(jià)指標(biāo)體系和投入―產(chǎn)出績(jī)效評(píng)價(jià)模型，通過(guò)對(duì)模型的求解，得到優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)績(jī)效評(píng)價(jià)結(jié)果。通過(guò)前期的調(diào)研和參考相關(guān)文獻(xiàn)，我們認(rèn)為在教師的指導(dǎo)下由數(shù)學(xué)建模團(tuán)隊(duì)進(jìn)行相關(guān)研究是可行的。在項(xiàng)目研究過(guò)程中，建模團(tuán)隊(duì)建立了基于AHP的學(xué)科評(píng)估模型，正在對(duì)基于學(xué)科建設(shè)的投入—產(chǎn)出模型加以修正和完善。

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作者簡(jiǎn)介：臧順全（1978—?），男，漢族，甘肅武山人，碩士，講師，研究方向：大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)和研究工作。