李勇

摘要：圍繞阿基米德三角形，對(duì)2023年貴陽市二模數(shù)學(xué)第12題給出14種不同的解答，并給出該考題的溯源.

關(guān)鍵詞：阿基米德三角形；一題多解；思維拓展

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）11-0010-06

該試題作為一道壓軸題，起點(diǎn)比較高.絕大多數(shù)的考生由于自身知識(shí)儲(chǔ)備的問題，只能按套路解題，這將導(dǎo)致由于產(chǎn)生大量的運(yùn)算而無法進(jìn)行下去，因此絕大多數(shù)的考生這道題得不到分.其實(shí)這道題的落點(diǎn)是很低的，就是考查拋物線的性質(zhì)，準(zhǔn)確一點(diǎn)講就是考查拋物線中過焦點(diǎn)的阿基米德三角形的性質(zhì)，對(duì)于那些掌握了拋物線有關(guān)性質(zhì)的學(xué)生來說這道題就是一道送分題，是非常簡(jiǎn)單的.

1 試題呈現(xiàn)

題目設(shè)拋物線C：y2=6x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，分別以A，B為切點(diǎn)作C的兩條切線l1，l2，若l1與l2交于點(diǎn)P，且滿足|PF|=23，則|AB|=（）.

A.5B.6C.7D.8

2 背景探究

此題明面上是考查拋物線的切線問題，實(shí)則考查的是過焦點(diǎn)的阿基米德三角形問題［1］.該三角形比一般的阿基米德三角形有著更多的性質(zhì)，因此常被出題人青睞.下面列舉此三角形的一些?？夹再|(zhì).

已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，以A，B兩點(diǎn)為切點(diǎn)與拋物線相切的直線交于點(diǎn)P.

設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則

（1）切線PA的方程為y1y=p（x+x1），切線PB的方程為y2y=p（x+x2）;

（2）點(diǎn)P在準(zhǔn)線上，且P的坐標(biāo)為（y1y22p，y1+y22）;

（3）直線AB的方程為（y1+y2）y-2px-y1y2=0;

（4）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），則直線AB的方程為y0y-p（x+x0）=0;

（5）PA⊥PB，即切線PA與切線PB垂直;

（6）PF⊥AB;

（7）|PA|2=|AF|·|AB|，

|PB|2=|BF|·|AB|，

|PF|2=|AF|·|BF|;

（8）以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)P，以AF為直徑的圓與y軸相切，以BF為直徑的圓與y軸相切;

（9）弦AB的中點(diǎn)與點(diǎn)P的連線與x軸平行，即弦AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等;

（10）|AB|=x1+x2+p=2psin2θ（θ為直線AB的傾斜角）;

（11）SΔPAB=12|AB|·|PF|=|y1-y2|38p=p2sin3θ（θ為直線AB的傾斜角）;

（12）kAB=py0（y0為弦AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)）;

（13）1|AF|+1|BF|=2p;

（14）|AF|=x1+p2=p1-cosθ，|BF|=x2+p2=p1+cosθ（θ為直線AB的傾斜角）;

（15）若AF=λFB，則cosθ=|λ-1λ+1|（θ為直線AB的傾斜角）.

3 解法探究

設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為D.

根據(jù)阿基米德三角形的性質(zhì)可知點(diǎn)P在準(zhǔn)線上，如圖1所示.

在Rt△PFD中，由|PF|=23，|FD|=p=3，∠PDF=90°，得|PD|=3.

視角1［2］設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），

由拋物線的切線性質(zhì)得切線PA的方程為y1y=3（x+x1），切線PB的方程為y2y=3（x+x2）.

由y1y=3（x+x1），y2y=3（x+x2）， 解得x=y1y26，y=y1+y22.

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（y1y26，y1+y22）.

由上可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-32，3），

得y1y26=-32，y1+y22=3.

則y1y2=-9，y1+y2=23.

由拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，得

|AB|=x1+x2+p

=y212p+y222p+p

=y21+y222p+p

=（y1+y2）2-2y1y22p+p

=（23）2-2×（-9）2×3+3=8.

故選D.

視角2由上可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-32，3）.

則kPF=3-0-3/2-3/2=-33.

由阿基米德三角形的性質(zhì)，得kAB=-1kPF=3.

則直線AB的傾斜角為π3.

由拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，得

|AB|=2×3sin2（π/3）=8.

故選D.

視角3設(shè)直線AB的傾斜角為θ.

由上可知cos∠PFD=|FD||PF|=323=32.

所以∠PFD=π6.

由阿基米德三角形的性質(zhì)，得

∠AFP=π2.

所以θ=π-∠AFP-∠PFD=π-π2-π6=π3.

由拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，得

|AB|=2×3sin2（π/3）=8.

故選D.

視角4設(shè)弦AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y0.

由上可知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3.

由阿基米德三角形的性質(zhì)，得弦AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)y0=3.

由拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，得

kAB=33=3.

則直線AB的傾斜角為π3.

由拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，得

|AB|=2×3sin2（π/3）=8.

故選D.

視角5弦AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y0.

由上可知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3.

由阿基米德三角形的性質(zhì)，得弦AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)y0=3.

由拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，得

kAB=33=3.

則直線AB的傾斜角為π3.

由拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，得

|AF|=p1-cosθ=31-cos（π/3）=31-1/2=6，

|BF|=p1+cosθ=31+cos（π/3）=31+1/2=2.

所以|AB|=|AF|+|BF|=6+2=8.

故選D.

視角6由上可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-32，3），

由阿基米德三角形的性質(zhì)，得直線AB的方程為3y-3（x-32）=0.

即23x-2y-33=0.

所以kAB=3.

則直線AB的傾斜角為π3.

由拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，得|AB|=2×3sin2（π/3）=8.

故選D.

視角7設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），

由上可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-32，3），

由阿基米德三角形的性質(zhì)，得直線AB的方程為3y-3（x-32）=0.

即23x-2y-33=0.

由23x-2y-33=0，y2=6x， 消去y得4x2-20x+9=0.

則x1+x2=5.

由拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，得

|AB|=x1+x2+p=5+3=8.

故選D.

視角8設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），

由上可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-32，3），

由阿基米德三角形的性質(zhì)，得直線AB的方程為3y-3（x-32）=0.

即23x-2y-33=0.

由23x-2y-33=0，y2=6x，消去x得

3y2-6y-93=0.

則y1+y2=23，y1y2=-9.

由弦長(zhǎng)公式，得

|AB|=1+1（3）2［（23）2-4×（-9）］=8.

故選D.

視角9由題意不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，且坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），

由上可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-32，3），

由阿基米德三角形的性質(zhì)，得直線AB的方程為3y-3（x-32）=0.

即23x-2y-33=0.

由23x-2y-33=0，y2=6x，

解得x1=92，y1=33 和x2=12，y2=-3.

由兩點(diǎn)間的距離公式，得

|AB|=（x1-x2）2+（y1-y2）2

=（92-12）2+（33+3）2=8.

故選D.

視角10設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），

由阿基米德三角形的性質(zhì)可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-32，3）.

所以y1y22p=-32，y1+y22=3.

則y1y2=-9，y1+y2=23.

由拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，得

|AB|=x1+x2+p

=y212p+y222p+p

=y21+y222p+p

=（y1+y2）2-2y1y22p+p

=（23）2-2×（-9）2×3+3=8.

故選D.

視角11由題意不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，且坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）.由阿基米德三角形的性質(zhì)可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-32，3）.

所以y1y22p=-32，y1+y22=3.

則y1y2=-9，y1+y2=23， 解得y1=33，y2=-3.

則有x1=y212p=（33）22×3=92，

x2=y222p=（-3）22×3=12.

由拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，得

|AB|=x1+x2+p=92+12+3=8.

故選D.

視角12由題意不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，且坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），

由阿基米德三角形的性質(zhì)可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-32，3）.

所以y1y22p=-32，y1+y22=3.

則y1y2=-9，y1+y2=23， 解得y1=33，y2=-3.

則有x1=y212p=（33）22×3=92，

x2=y222p=（-3）22×3=12.

由兩點(diǎn)間的距離公式，得

|AB|=（x1-x2）2+（y1-y2）2

=（92-12）2+（33+3）2=8.

故選D.

視角13由題意不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，且坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）.

由阿基米德三角形的性質(zhì)可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-32，3）.

所以y1y22p=-32，y1+y22=3.

則y1y2=-9，y1+y2=23， 解得y1=33，y2=-3.

由阿基米德三角形的性質(zhì)，得

S△PAB=|33-（-3）|38×3=83.

由阿基米德三角形的性質(zhì)，得

S△PAB=12×|AB|×|PF|

=12×23×|AB|

=3|AB|=83，

解得|AB|=8.

故選D.

視角14由阿基米德三角形的性質(zhì)，拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，得

1|AF|+1|BF|=|AF|+|BF||AF|·|BF|

=|AB|（23）2=23，

解得|AB|=8.

故選D.

4 試題溯源

題1（2006年全國(guó)Ⅱ卷理，21（1））已知拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且AF=λFB（λ>0），過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M.證明：FM·AB為定值.

解析因?yàn)锳F=λFB（λ>0），所以A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，即直線AB過焦點(diǎn)F.

由阿基米德三角形的性質(zhì)可知MF⊥AB.

所以FM·AB=0.

即FM·AB為定值.

題2（2013年大綱全國(guó)卷，文12，理11）已知拋物線C：y2=8x與點(diǎn)M（-2，2），過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若MA·MB=0，則k=（）.

A.12B.22C.2D.2

解析設(shè)AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y0.

易知點(diǎn)M（-2，2）在拋物線的準(zhǔn)線上.

因?yàn)镸A·MB=0，所以∠AMB=90°.

所以點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上.

由阿基米德三角形的性質(zhì)可知點(diǎn)M（-2，2）是以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線x=-2相切的切點(diǎn)，且線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2.

所以直線AB的斜率k=py0=42=2.

故選D.

題3（2018年全國(guó)Ⅲ卷，理16）已知點(diǎn)M（-1，1）和拋物線C：y2=4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若∠AMB=90°，則k=.

解析易知點(diǎn)M（-1，1）在拋物線的準(zhǔn)線上.

又因∠AMB=90°，則由阿基米德三角形的性質(zhì)可知MF⊥AB.

因?yàn)閗MF=1-0-1-1=-12，

所以kAB=-1kMF=2.

即直線AB的斜率k=2.

題4（2019年全國(guó)Ⅲ卷理，21（1））已知曲線C：y=x22，D為直線y=-12上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.證明：直線AB過定點(diǎn).

解析設(shè)D（t，-12），A（x1，y1），B（x2，y2）.

設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，

由y=kx+b，y=x22， 消去y，得x2-2kx-2b=0.

所以x1x2=-2b.

由y=x22，得y′=x，則kAD=x1.

所以切線AD的方程為y-y1=x1（x-x1）.

即y=x1x-x212.

同理可得切線BD的方程為y=x2x-x222.

由y=x1x-x212，y=x2x-x222， 解得y=x1x22.

又x1x2=-2b，所以y=x1x22=-b.

即點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為-b.

又因?yàn)辄c(diǎn)D為直線y=-12上的動(dòng)點(diǎn)，所以-b=-12，即b=12.

所以直線AB的方程為y=kx+12.

由此可知直線AB過定點(diǎn)（0，12）.

5 結(jié)束語

這道圓錐曲線問題以深刻的背景和清晰的表達(dá)，向我們呈現(xiàn)了一個(gè)圖象鮮明、解法多樣、層次多樣的數(shù)學(xué)問題，本題深刻地、綜合地考查了學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，有較大的難度.在平常的學(xué)習(xí)中，要特別注意對(duì)于背景結(jié)論的挖掘與反思，不能只停留在表面階段，從幾何到代數(shù)，再到運(yùn)算，橫向縱向多維度比較才能真正做到通一類、會(huì)一類，研究透徹一類數(shù)學(xué)問題.今后的教學(xué)應(yīng)以數(shù)學(xué)問題為導(dǎo)向，深入挖掘，多面剖析，才能達(dá)到真正理解數(shù)學(xué)問題、提高數(shù)學(xué)能力的目的.

參考文獻(xiàn)：

［1］?中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2020年修訂版）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 劉大鵬.與圓錐曲線切線有關(guān)的考題的命制與解析［J］.數(shù)理化解題研究，2023（04）：34-36.

［責(zé)任編輯：李璟］