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一道高考圓錐曲線試題多解的深度探究與啟示

2024-05-29 15:17:27安中順余泉
關(guān)鍵詞:圓錐曲線一題多解數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

安中順 余泉

摘要:以一道典型的圓錐曲線問(wèn)題開(kāi)展一題多解,體現(xiàn)其中的不同知識(shí)和多種思想方法,促進(jìn)知識(shí)的融會(huì)貫通.不僅有助于提高學(xué)生推理能力和思維的發(fā)展,還有利于學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.

關(guān)鍵詞:直線過(guò)定點(diǎn);圓錐曲線;一題多解;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào):G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1008-0333(2024)11-0071-03

圓錐曲線中直線過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題是近些年高考??嫉囊环N題型,基本都是以壓軸題出現(xiàn),人們常用“高考常青樹(shù)”來(lái)形容[1].對(duì)于這一題型學(xué)生很難拿到較高的分?jǐn)?shù),本文以2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷理科第20題為例,詳細(xì)討論了本題直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題多種解法中的6種特別解法.

1 題目呈現(xiàn)與解答

題目已知A,B分別為橢圓E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),AG·GB=8,P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過(guò)定點(diǎn).

解析(1)

由橢圓方程E:x2a2+y2=1(a>1)可得A(-a,0), B(a,0),G(0,1).

所以AG=(a,1),GB=(a,-1) .

所以AG·GB=a2-1=8.

所以a2=9.

所以橢圓E的方程為x29+y2=1.

本題第(2)問(wèn)中,高考參考答案解法破解難度大,需依托數(shù)學(xué)模型,強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查,要求學(xué)生具有較高計(jì)算能力和細(xì)致、全面的思維品質(zhì).筆者從近些年的直線過(guò)定點(diǎn)考題中分析問(wèn)題并從深度探究與教學(xué)的不同角度給出建議,用6種不同解法加以闡述.

解法1(斜率比值型)設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).

若t≠0,設(shè)直線CD的方程為x=my+n,由題意可知-3

所以y1+y2=-2mnm2+9,y1y2=n2-9m2+9.

由此可得y1+y2=-2mnn2-9y1y2.

易求kPB=t3=3kPA.

即kPBkPA=3.即y2(x1+3)y1(x2-3)=3.

將直線方程代入得my1y2+(n+3)y2my1y2+(n-3)y1=my1y2+(n+3)(y1+y2)-(n+3)y1my1y2+(n-3)y1=3.

提取公因式,該等式一定可化為

-(n+3)(d+y1)(n-3)(d+y1)=3,

其中d=my1y2n-3=mn-3·n2-9m2+9=m(n+3)m2+9,

即-(n+3)(n-3)=3,解得n=32.

故直線CD恒過(guò)定點(diǎn)(32,0).

點(diǎn)評(píng)斜率比值型kPAkPB=(y1-t)/x1(y2-t)/x2=x2y1-tx2x1y2-tx1=kx1x2+(m-t)x2kx1x2+(m-t)x1式子并不能完全整理為韋達(dá)定理的形式,一般稱為“非對(duì)稱韋達(dá)定理”.這時(shí)需要通過(guò)所求得的韋達(dá)定理找到x1+x2和x1·x2之間的關(guān)系,將其中一個(gè)替換,常用方法是把乘法替換成加法.這樣通過(guò)韋達(dá)定理構(gòu)造互化公式,先局部互化,然后可整理成對(duì)稱型.

具體辦法之一為聯(lián)立方程后得到韋達(dá)定理:x1+x2=f(t),x1x2=g(t),m(t)(x1+x2)=n(t)x1x2代入之后進(jìn)行代換消元解題,在給學(xué)生講解時(shí)注意轉(zhuǎn)化思想的引導(dǎo).

解法2設(shè)點(diǎn)P(6,t),直線CD的方程為x=my+n,由題意可知-3

由于直線PA的方程為tx-9y+3t=0,

直線PB的方程為tx-3y-3t=0,

過(guò)A,B,C,D四點(diǎn)的曲線系方程可設(shè)為

λ(tx-9y+3t)(tx-3y-3t)+μ(x29+y2-1)=0.

直線CD的方程為x-my-n=0,直線AB的方程為y=0,即y(x-my-n)=0也過(guò)A,B,C,D四點(diǎn),所以λ(tx-9y+3t)(tx-3y-3t)+μ(x29+y2-1)=y(x-my-n),用待定系數(shù)法求解得n=32.

故直線CD恒過(guò)定點(diǎn)(32,0).

點(diǎn)評(píng)經(jīng)過(guò)兩曲線f1(x,y)=0和f2(x,y)=0交點(diǎn)的一系列曲線的方程為f1(x,y)+λf2(x,y)=0.如果f1(x,y)=0和f2(x,y)=0齊次,則f1(x,y)+λf2(x,y)=0表示過(guò)兩已知曲線交點(diǎn)的一系列同構(gòu)的曲線,如果f1(x,y)=0和f2(x,y)=0都是圓,則f1(x,y)+λf2(x,y)=0也是圓.綜合起來(lái),可以理解為f1(x,y)=0和f2(x,y)=0相交形成了曲線系f1(x,y)+λf2(x,y)=0.

解法3(截距式)設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t),易知

3kPA=3kAC=kPB=kBD.即3·y1x1+3=y2x2-3.

即3x2y1-y2x1=3y2+9y1.①

由橢圓第三定義知y1x1+3·y1x1-3=-19,y2x2-3·y2x2+3=-19,得

x2y1-3x1y2=-3y1-9y2.②

由①+②,得4x2y1-4x1y2=6y1-6y2.

即a=32.

故直線CD恒過(guò)定點(diǎn)(32,0).

點(diǎn)評(píng)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)為不同兩點(diǎn),且AB不與坐標(biāo)軸垂直,則直線AB的橫截距a=y2x1-y1x2y2-y1,縱截距b=y2x1-y1x2x1-x2,先通過(guò)猜想定點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,再利用截距式求解.

解法4設(shè)點(diǎn)P(6,t),點(diǎn)C(3cosα,sinα),D(3cosβ,sinβ),則

kAC=kAP=t9=sinα3cosα+3=tan(α/2)3,

kBD=kBP=t3=sinβ3cosβ-3=1-3tan(β/2).

即tanα2·tanβ2=-13.

設(shè)CD過(guò)定點(diǎn)為M(m,0),

由kMD=kCM,得

m=3sin(β-α)sinβ-sinα

=3×2sin[(β-α)/2]·cos[(β-α)/2]2cos[(β+α)/2]sin[(β-α)/2]

=3cos[(β-α)/2]cos[(β+α)/2]

=3[1+tan(α/2)·tan(β/2)]1-tan(α/2)·tan(β/2)

=32.

故直線CD恒過(guò)定點(diǎn)(32,0).

解法5平移使點(diǎn)B(3,0)→(0,0),在新坐標(biāo)系下,設(shè)lC′D′:1=mx′+ny′,并將該直線代入橢圓(x′+3)29+y′2=1中得

9(y′x′)2+6n(y′x′)+6m+1=0.

故有kBD·kBC=y′1x′1·y′2x′2=6m+19=-13.

解得m=-23.

即可知新坐標(biāo)系下直線C′D′恒過(guò)(-32,0).

故直線CD恒過(guò)定點(diǎn)(32,0).

點(diǎn)評(píng)對(duì)于圓錐曲線中的雙斜率問(wèn)題, 常規(guī)方法是聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理求解;也可以通過(guò)齊次化處理,利用齊次式解決更加方便快捷,可簡(jiǎn)化運(yùn)算,降低運(yùn)算難度.

齊次化方法一般適用于兩直線斜率之和(或積)為常數(shù)的題型,可以解決與斜率之和(或積)有關(guān)的定點(diǎn)、定值或軌跡等問(wèn)題.使用齊次化方法時(shí),需要注意兩個(gè)關(guān)鍵步驟:

步驟1:先平移坐標(biāo)系, 將定點(diǎn)P(x0,y0)平移至原點(diǎn)O(0,0),平移公式x′=x-x0,y′=y-y0,其中(x′,y′)為新坐標(biāo),(x,y)為同一點(diǎn)舊坐標(biāo).

步驟2:設(shè)直線l:mx+ny=1(l不過(guò)原點(diǎn)時(shí)這樣設(shè),避免討論斜率是否存在,簡(jiǎn)化了解題)與一個(gè)二次曲線C:ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0交于兩點(diǎn)A,B,顯然該式子是一個(gè)二次齊次式,且一定可化為Ay2+Bxy+Cx2=0的形式,即A(yx)2+B(yx)+C=0.

由韋達(dá)定理知k1+k2=-BA,k1k2=CA,解出m,n之一的值或m,n的關(guān)系,進(jìn)而求得直線過(guò)定點(diǎn)或定斜率.

解法6設(shè)點(diǎn)P(6,t),則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線方程為69x+ty=1,因點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線必過(guò)AB與CD的交點(diǎn),即CD必過(guò)極線與AB的交點(diǎn)(32,0),故直線CD恒過(guò)定點(diǎn)(32,0).

2 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)圓錐曲線問(wèn)題的深度探究,學(xué)生從“會(huì)通性通法”到“能變式解法”,再到“會(huì)創(chuàng)新解法”,有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,在探究過(guò)程中讓學(xué)生的綜合素質(zhì)得到發(fā)展.總之,對(duì)學(xué)生解壓軸題能力提升的探究不是一朝一夕就能完成的,也不是僅通過(guò)幾個(gè)題目的多種解法就可以強(qiáng)化的,它需要學(xué)生領(lǐng)會(huì)圓錐曲線中直線過(guò)定點(diǎn)或定斜率問(wèn)題呈現(xiàn)背景的多樣性.因此,學(xué)生要注重以必備知識(shí)和方法為起點(diǎn),借助模型和師生合作探究挖掘更多的探究點(diǎn),從圓錐曲線性質(zhì)多方面進(jìn)行滲透,促進(jìn)學(xué)生將直線過(guò)定點(diǎn)或定斜率的知識(shí)掌握得更牢固.

參考文獻(xiàn):

[1] 胡惠根.“直線與圓錐曲線位置關(guān)系”的判斷新法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2015(13):25-27.

[責(zé)任編輯:李璟]

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