汪智源

摘要：?以人教A版（2019年版）教材中“基本不等式”為例，從MPCK視角，對(duì)大單元教學(xué)設(shè)計(jì)教師所需的專業(yè)素養(yǎng)進(jìn)行探討，探究學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和落實(shí)學(xué)科育人的途徑.

關(guān)鍵詞：MPCK；基本不等式；大單元教學(xué)

1 問題的提出

新課程標(biāo)準(zhǔn)要求以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)以“學(xué)科大單元”為載體，多層次、多方式、多角度在教學(xué)活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的“四基”“四能”.在教學(xué)實(shí)踐中落實(shí)上述要求，教師是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的關(guān)鍵.教師需要哪些專業(yè)素養(yǎng)？在課堂教學(xué)中教學(xué)策略該如何選擇、實(shí)施？這些問題的解決，筆者認(rèn)為可以從教師的MPCK入手.

2 MPCK的簡(jiǎn)介

教師需要哪些相關(guān)的專業(yè)素養(yǎng)呢？黃毅英教授提出的MPCK概念回答了這個(gè)問題.MPCK結(jié)構(gòu)模型認(rèn)為數(shù)學(xué)教師開展常規(guī)教學(xué)應(yīng)具備3類知識(shí)：數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)（簡(jiǎn)稱MK）；一般教學(xué)法知識(shí)（簡(jiǎn)稱PK）；有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)（簡(jiǎn)稱CK）.在日常教學(xué)中，教師往往需要綜合運(yùn)用這3類知識(shí)，才能把科學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)有效地轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)[1].筆者在此就以黃教授的劃分為標(biāo)準(zhǔn)，從MK，CK和PK三個(gè)角度，以“基本不等式”一節(jié)為例，基于MPCK視角來談相關(guān)的單元教學(xué)的落實(shí)問題.

3 MPCK視角下的單元教學(xué)

3.1 從MK（數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)）的視角探討

在日常教學(xué)中，教師要將不同章節(jié)之間的內(nèi)容聯(lián)系起來，幫助學(xué)生構(gòu)建一個(gè)完整且有機(jī)的知識(shí)框架.這需要教師投入大量時(shí)間和精力反復(fù)研讀教材，提高自身的MK.這里的MK包括：（1）關(guān)于課程內(nèi)容的知識(shí)；（2）關(guān)于教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)展軌跡的知識(shí)[2]；（3）關(guān)于形成性和終結(jié)性評(píng)價(jià)的知識(shí).下面按照上述分類依次闡述.

3.1.1 關(guān)于課程內(nèi)容的知識(shí)

“基本不等式”作為一種特殊的不等式，是實(shí)數(shù)的“序”關(guān)系的特殊化，體現(xiàn)了代數(shù)特征中“序”的一種基礎(chǔ)不等關(guān)系.“基本不等式”的“基本”主要體現(xiàn)在：自身結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)潔；形式多樣（代數(shù)和幾何）；模型應(yīng)用的廣泛；是其他代數(shù)公式的基礎(chǔ)（章建躍）.

3.1.2 ?關(guān)于教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)展軌跡的知識(shí)

關(guān)于教學(xué)目標(biāo)知識(shí)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的要求是：“基本不等式”作為高中數(shù)學(xué)的預(yù)備性知識(shí)，要注重對(duì)基本不等式及其相關(guān)概念的理解；要求讓學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)的問題情境，培養(yǎng)“數(shù)學(xué)建?！钡人仞B(yǎng).學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)的軌跡：學(xué)生已在初中學(xué)習(xí)了一元一次不等式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用、“不等式和不等關(guān)系”等內(nèi)容，在本節(jié)之后還要學(xué)習(xí)“用函數(shù)的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)不等關(guān)系”.

3.1.3 ?形成性和終結(jié)性評(píng)價(jià)的知識(shí)

王雯在其論文“基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高中基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)研究”中，從“水平一，知識(shí)理解；水平二，知識(shí)遷移；水平三，知識(shí)創(chuàng)新”三個(gè)層面，對(duì)本節(jié)內(nèi)容涉及到的上述數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個(gè)方面做了分析.通過分析可見，本節(jié)內(nèi)容對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求都有涉及，層級(jí)的要求是較高的.同時(shí)，教師也要意識(shí)到學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個(gè)個(gè)整體、系統(tǒng)和有序的過程.

3.2 從CK（有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)）的視角探討

在教學(xué)過程中，教師需要全面深入地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，即教師的CK，此CK包括學(xué)生已經(jīng)學(xué)到的知識(shí)、遇到的困難以及所處的問題情境等.

對(duì)于本單元內(nèi)容，雖然學(xué)生在初中具備了一定的符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力和推理能力，但對(duì)代數(shù)的一些基本思想方法的感悟還欠火候，代數(shù)變形的經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)還有待進(jìn)一步豐富；模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等方面的核心素養(yǎng)略顯不足.鑒于上述分析，筆者認(rèn)為部分學(xué)生可能遇會(huì)到的困難是：（1）教學(xué)情境引入問題；（2）基本不等式的證明——從“數(shù)”和“形”的視角；（3）基本不等式的相關(guān)概念；（4）“基本不等式”模型的建立及其相關(guān)應(yīng)用.筆者將在下面的PK內(nèi)容中來談解決上述困難的建議.

3.3 從PK（一般教學(xué)法知識(shí)）的視角探討

在日常教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師需要認(rèn)真分析各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系和區(qū)別，事先預(yù)測(cè)學(xué)生可能遇到困難的地方，并制定相應(yīng)的解決方案.只有做好知識(shí)點(diǎn)之間的銜接，并確保學(xué)生真正理解、掌握所學(xué)的內(nèi)容，才能真正解決如何有效傳授知識(shí)的難題，這就需要教師的PK.此PK包括：（1）教師采取的有效和針對(duì)性的教學(xué)策略;（2）教師的教學(xué)機(jī)智——是否能讓不同的學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到不同層次的培養(yǎng).具體是指對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)概念的表達(dá)、學(xué)生反應(yīng)的評(píng)估等互動(dòng)活動(dòng)，以及教師角色的定位[3].根據(jù)本部分內(nèi)容的特點(diǎn)，“基本不等式”需要安排兩個(gè)課時(shí).下面就從CK中所提四個(gè)方面來談PK方面的處理.

3.3.1 教學(xué)情境引入問題

林建輝等在文[4]中給出了五種課堂引入的方法：（1）弦圖導(dǎo)入；（2）對(duì)比兩不等腰直角三角形活動(dòng)引入；（3）天平問題引入；（4）完全平方公式引入；（5）幾何意義（射影定理中的直角三角形）引入.從教材編寫的情況來看：人教版教材（2019年）（以下簡(jiǎn)稱教材）將弦圖前置到前一節(jié)，用完全平方公式引入；北師大版（2019年）教材類似，只是將弦圖后置為閱讀材料；蘇教版（2019年）教材用天平問題引入，將弦圖后置為一個(gè)練習(xí).由此可見，課堂引入的方式是多種多樣的，且各有特色.關(guān)鍵在于教師根據(jù)學(xué)情選擇恰當(dāng)?shù)姆绞健钣欣趯W(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，否則就會(huì)有“立意很高，落地不易”或者“門檻過低，沒有思維挑戰(zhàn)性”的窘境.筆者在此建議，根據(jù)學(xué)情，首選所用教材的處理方式為宜.

3.3.2 基本不等式的證明——從“數(shù)”和“形”的視角

教材中基本不等式的代數(shù)證明是分析法，它是一種解決問題的思考方式，也是一種邏輯推理的方法.“執(zhí)果索因”的思維方式學(xué)生并不陌生，教師可以讓學(xué)生以小組活動(dòng)的形式進(jìn)行探究，初步得出結(jié)論，教師再從表達(dá)形式的規(guī)范上做要求，并給出其邏輯解釋.基本不等式的幾何證明是“雙弦圖”，其最早出自《幾何原本》卷六的命題13，它體現(xiàn)了“基本不等式”“形”的特征.“雙弦圖”教學(xué)是個(gè)難點(diǎn)，直接讓學(xué)生構(gòu)造會(huì)難度過大.如何處理此內(nèi)容呢？筆者認(rèn)為，若學(xué)生基礎(chǔ)相對(duì)較好，教師可以提出這樣的問題：“給一個(gè)以a+b為直徑的圓，你是否可以從圓中找到一條長(zhǎng)為?ab?的線段，并能說出它們之間的關(guān)系呢？”讓學(xué)生通過小組合作的形式自主探討，若學(xué)生還有困難，教師適當(dāng)引領(lǐng)，可以追問“在這個(gè)圖中，是否可以引入一個(gè)直角三角形呢？”最終得出結(jié)論.若學(xué)生基礎(chǔ)較弱，筆者建議教師直接作出“雙弦圖”，讓學(xué)生通過對(duì)圖形中“相似三角形”等關(guān)系的探究，操作驗(yàn)證，師生共同討論，最終得出答案.總之，教師需要根據(jù)學(xué)情，選擇學(xué)生能夠接受的教學(xué)方式方法，采取有利于學(xué)生理解的模式，讓不同學(xué)生獲得不同層次數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

3.3.3 基本不等式的相關(guān)概念

“基本不等式”成立的條件“一正二定三相等”和“積定和最小，和定積最大”是教師課堂教學(xué)的著力點(diǎn)——學(xué)生要達(dá)到“理解”層次還有些吃力.

“習(xí)題是精心挑選的……寓意深刻”（教材主編寄語），筆者認(rèn)為可以整合教材的例1、練習(xí)3、習(xí)題2.2中復(fù)習(xí)鞏固1⑴，設(shè)計(jì)一個(gè)問題串.基本不等式的各種變形在教材中都有體現(xiàn)，如教材第46頁練習(xí)2⑵：已知x，y都是正數(shù)，且x≠y求證：?2xy?x+y?

3.3.4 “基本不等式”模型的建立及其相關(guān)應(yīng)用

學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)只能在解決實(shí)際問題的情境中.數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問題的解決，首先在于如何準(zhǔn)確把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)語言”，以及把最終結(jié)果用“自然語言”表示出來；其次是把握數(shù)學(xué)相關(guān)符號(hào)、公式等表示內(nèi)容的準(zhǔn)確性.

對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，教材中的例3、例4是有作用的.如對(duì)于例3的教學(xué)，教師要根據(jù)學(xué)情設(shè)置真實(shí)有效的問題情境，層層設(shè)問.若學(xué)生基礎(chǔ)較好，教師可以提出一些元認(rèn)識(shí)的問題：這個(gè)問題你認(rèn)為該如何解決？是否可以設(shè)計(jì)一個(gè)解決方案？用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一般步驟有哪些？若學(xué)生基礎(chǔ)較弱，教師可以提出一般性的認(rèn)知問題：上述實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題是什么？如何用數(shù)學(xué)形式表達(dá)上述問題——該如何設(shè)變量？變量的范圍是什么？最短（最大）該如何用數(shù)學(xué)知識(shí)來表示？讓學(xué)生在不同應(yīng)用場(chǎng)景中積極參與，努力思考，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以期能得出更有創(chuàng)新性的解決問題的方法.在解決例3后，教師可以設(shè)計(jì)變式：“若菜園內(nèi)有一條寬2 m的小徑，問題又該如何解決？”這是學(xué)生熟悉的真實(shí)問題，教師要給學(xué)生充足的時(shí)間思考.這個(gè)問題的回答反映了學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的不同水平——小徑在菜園的什么位置？與“長(zhǎng)”平行還是與“寬”平行？“斜”著的嗎？“斜”到什么程度？等等.然后教師可以根據(jù)學(xué)情，選擇其中2～3種類型，讓學(xué)生自主探究，力爭(zhēng)能靈活應(yīng)對(duì)基本不等式的各種應(yīng)用場(chǎng)景，更加精準(zhǔn)地制定解決方案，最終得到解決這類問題的一般套路和模式.

實(shí)際問題情境的解決過程中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生積極思考.對(duì)于例4，教師可結(jié)合例3給出例4：如果在這片菜園附近，也找一塊長(zhǎng)方形土地，根據(jù)要求建造一個(gè)長(zhǎng)方形水池，具體要求如下——例4.考慮到本節(jié)內(nèi)容處于高中預(yù)備知識(shí)的位置，學(xué)生的空間想象能力停留在初中層面，教師在例4的教學(xué)中，就不宜過多拓展，以免沖淡本節(jié)內(nèi)容的主題——基本不等式.同時(shí)，教師可以結(jié)合本節(jié)課的例題給學(xué)生傳授一些數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)史知識(shí)，如“歐拉羊圈問題”等.

總之，“基本不等式”單元的教學(xué)，教師離不開從MK，PK和CK的視角認(rèn)真、審慎地分析教學(xué)內(nèi)容，從中找到存在的不足，及時(shí)學(xué)習(xí)、彌補(bǔ)和充實(shí)，最終內(nèi)化到自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系中去.同時(shí)，MPCK屬于緘默知識(shí)，緘默知識(shí)不同于顯性知識(shí)，不能直接告知，需要教師在日常教學(xué)實(shí)踐中深度參與，完善自身MK的專業(yè)功底（扎實(shí)的數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)和充足的數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化知識(shí)），提高自身PK知識(shí)（及時(shí)更新最新教育學(xué)和心理學(xué)成果）和增長(zhǎng)自身CK能力（對(duì)教學(xué)案例的分析總結(jié)和自身教學(xué)過程的不斷反思），最終優(yōu)化自己的MPCK結(jié)構(gòu)體系.當(dāng)然，教師的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)（MPCK）的提升應(yīng)該是個(gè)動(dòng)態(tài)的、持續(xù)的過程，需要教師“在教中學(xué)，在做中悟”.

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課題信息：安徽省宣城市2023年教育科學(xué)研究規(guī)劃課題“基于高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實(shí)踐研究”，課題編號(hào)為XCJK23013.