鄧兆琴

［摘 ?要］ 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)為學(xué)生提供一個自主探究、平等交流的舞臺，讓學(xué)生在探究和交流中有所思、有所悟、有所感，以此鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生分析和解決問題的能力。文章以“雞兔同籠”為例，引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究發(fā)現(xiàn)解決問題的多種方法，構(gòu)建“雞兔同籠”問題的模型，有效地訓(xùn)練了學(xué)生的邏輯思維，提高了學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)能力。

［關(guān)鍵詞］ 自主探究；平等交流；數(shù)學(xué)思維

“雞兔同籠”是一個經(jīng)典名題，在不同版本的教材上有不同的編排，在不同的年級用不同的方法演繹，比如列表、湊數(shù)、假設(shè)、抬腿、方程等，旨在通過不同思路和方法訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力；同時，通過多角度探究讓學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、假設(shè)等數(shù)學(xué)思想方法的價值，并在解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。筆者以假設(shè)法為例，引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究和互動交流逐漸厘清問題的來龍去脈，進(jìn)而有效提高學(xué)生的邏輯分析和推理能力。

一、課前分析

筆者在課堂調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為假設(shè)法的學(xué)習(xí)難度較大，雖然能夠通過模仿解決問題，但是很難對該方法形成深刻印象，也很難靈活應(yīng)用該方法解決問題。為了幫助學(xué)生突破這一難點，筆者整理歸納了學(xué)生存在的問題：一是學(xué)生通過獨立思考和合作探究發(fā)現(xiàn)可以應(yīng)用湊數(shù)、畫圖或列表等方法解決問題，很少有學(xué)生想到用假設(shè)法解決問題。因受到“先入為主”思想的影響，學(xué)生更喜歡用前面幾種方法解決問題；二是受生活經(jīng)驗的影響，學(xué)生很難理解“雞兔同籠”中只有一種動物的特殊情況；三是學(xué)生難以理解為什么明明假設(shè)的是雞，但是得出的結(jié)果卻是兔；四是學(xué)生對假設(shè)法的理解不夠深入，對問題的解決僅停留在模仿和套用的層次上，未能形成深刻認(rèn)知。分析以上問題不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對假設(shè)法的學(xué)習(xí)還停留于一個較淺的層次，沒有形成完整的解題策略。為了讓學(xué)生更好地掌握本課內(nèi)容，充分發(fā)揮其在鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維、提高學(xué)生邏輯推理能力等方面的價值，筆者結(jié)合教學(xué)實際對教材進(jìn)行適度的微調(diào)，以期通過循序漸進(jìn)地引導(dǎo)讓學(xué)生切身體驗假設(shè)法在解題中的價值，幫助學(xué)生建構(gòu)“雞兔同籠”數(shù)學(xué)模型，以此提高學(xué)生解決實際問題的能力。

二、課堂實施

1. 合理引入，規(guī)避干擾

教材是教學(xué)之本，在教學(xué)中教師既要尊重教材又不要局限于教材。在實際教學(xué)中，教師可以根據(jù)學(xué)生實際情況靈活調(diào)整教材內(nèi)容，從而使教材更具普適性，更激發(fā)學(xué)生的探究熱情。在本課教學(xué)中，為了規(guī)避負(fù)面因素的影響，筆者對例題進(jìn)行了微調(diào)，以更好地落實教學(xué)目標(biāo)。

師：今天我們要開啟一個神秘之旅。

生（學(xué)生疑惑）：去哪？

師：去農(nóng)場購物。（教師用PPT展示農(nóng)場圖片）

師：老師今天打算買些兔和雞帶回來，不過我的籠子只能裝下8只，你們幫我想一想，我可以怎么買呢？

在引入階段，教師借助生活情境引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有序的思考，從而避免負(fù)面因素的干擾。

生1：1只雞7只兔，2只雞6只兔，……7只雞1只兔，共有7種買法。

師：哦？你們也是這樣想的嗎？難道不可以單買一種嗎？（學(xué)生恍然大悟）

生2：加上全買雞和全買兔共有9種買法。

師：老師今天買的雞和兔共有26條腿，你知道老師分別買了幾只雞和兔嗎？

思考：巧妙的提問激發(fā)了學(xué)生參與的熱情。通過設(shè)計購買方案，自然引入了包括全買雞或兔的9種購買方案，為接下來利用假設(shè)法進(jìn)行探究掃清了障礙。

2. 互動交流，以學(xué)定教

數(shù)學(xué)課堂是師生互動交流的平臺，只有師生多邊活動才能提高課堂教學(xué)的有效性。在日常教學(xué)中，教師應(yīng)以學(xué)生為出發(fā)點，根據(jù)課堂動態(tài)調(diào)整教學(xué)方案，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機。在本課新授環(huán)節(jié)，教師沒有直接講授，而是鼓勵學(xué)生從自己的認(rèn)知出發(fā)，通過畫一畫、湊一湊等方法嘗試尋找解決問題的方法，以此通過多角度探究點燃學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情。

教師讓學(xué)生獨立嘗試后，通過互動交流探尋不同的算法。

師：誰來說一說，老師是怎么買的呢？

生1：3只雞5只兔。

師：為什么是3只雞5只兔？

生1：3只雞有6條腿，5只兔有20條腿，合起來剛好26條腿。

師：具體你是怎么想的？

生1：我是先猜想再驗證的。

師：不錯，利用湊數(shù)法得到了結(jié)論，還有其他的方法嗎？

生2：我用的是畫圖法，先畫8只雞，一共有16條腿，這樣還少10條腿，再畫5只兔就變成26條腿，這樣就變成了3只雞5只兔。（生2一邊說，一邊畫）

師：非常好，還有其他方法嗎？

生3：我用的是列表法，通過剛才的分析我們知道共有9種購買方案，第一種是8只全是雞，共有16條腿，7只雞1只兔共有18條腿，以此類推，3只雞5只兔共有26條腿。

學(xué)生回答后，教師給出表1。

師：觀察表1，你們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律嗎？

為了便于學(xué)生觀察并總結(jié)規(guī)律，教師用動畫演示雞變成兔的腿數(shù)變化的過程，進(jìn)而將畫圖法和列表法建立聯(lián)系。

生4：我知道了，當(dāng)1只雞轉(zhuǎn)化為1只兔時，腿數(shù)增加2條。

師：你們太棒了，很好的發(fā)現(xiàn)。

思考：該環(huán)節(jié)教師將主動權(quán)交給學(xué)生，鼓勵學(xué)生通過自主探究探尋不同的解決方案。從學(xué)生反饋來看，學(xué)生通過湊數(shù)、列表、畫圖等方法順利地解決了問題。為了進(jìn)一步呈現(xiàn)學(xué)生的思維過程，教師通過追問“為什么是3只雞5只兔”，將學(xué)生的思考過程顯性化，通過互動交流豐富學(xué)生認(rèn)知。此外，學(xué)生給出列表法后，教師用課件跟進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)雞轉(zhuǎn)化為兔后腿數(shù)的變化關(guān)系，以此加強學(xué)生的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，為假設(shè)法教學(xué)做好充足的知識準(zhǔn)備。

3. 直觀感知，感悟思想

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過課件、動畫等直觀演示可以有效淡化數(shù)學(xué)的抽象感，降低思維難度，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。在教學(xué)中通過列表、畫圖、演示幫助學(xué)生建立直觀的表現(xiàn)，以此促進(jìn)知識的自然生成。

師：若先畫的全是雞，總腿數(shù)如何計算呢？

生1：總腿數(shù)為8×2=16（條）。

師：很好，在你剛才的圖上畫一畫，如果增加1只兔，減少1只雞，即變成7只雞1只兔又該如何計算呢？

生2：7×2+4=18（條）。

師：還有其他的方法嗎？

生3：16+2=18（條）。

師：請說一說你的理由。

師：通過“畫一畫”可知，當(dāng)1只雞轉(zhuǎn)化成1只兔，腿數(shù)增加了2條，所以為16+2=18（條）。

師：很好，如果是6只雞2只兔，如何列式計算呢？說一說你的理由？

生4：6×2+2×4=20（條）或16+2×2=20（條）。前面式子易于理解，后面一個式子表示當(dāng)2只雞轉(zhuǎn)化為2只兔后，腿數(shù)增加了2×2=4（條）。

接下來教師給學(xué)生3分鐘的時間繼續(xù)畫一畫、算一算，3分鐘后教師給出了表2。

師：對比以上兩種算法有何不同呢？（學(xué)生沉思）

生5：第一種算法，雞的腿數(shù)＋兔的腿數(shù)；第二種算法，全部是雞的腿數(shù)＋雞轉(zhuǎn)化為兔后增加的腿數(shù)。

師：很好，假設(shè)8只全是雞共有16條腿，再加上幾條腿能夠變成30條腿呢？

生（齊聲答）：14條。

師：那么需要將幾只雞轉(zhuǎn)化為兔子呢？

生（齊聲答）：7只。

師：所以說若有30條腿應(yīng)該是幾只雞、幾只兔呢？

生（齊聲答）：1只雞7只兔。

師：很好，觀察表2，是否與你計算的結(jié)果一致呢？（教師引導(dǎo)觀察驗證）

師：請在紙上畫一畫這個過程？

教師預(yù)留時間讓學(xué)生通過“畫”進(jìn)一步感悟轉(zhuǎn)化的過程，再用動畫展示雞轉(zhuǎn)化兔的過程，如圖1。

師：非常好，若我們第一步先假設(shè)全是兔又該如何計算呢？

生6：假設(shè)8只全是兔共有32條腿，減掉2條腿就是30條腿，1只兔轉(zhuǎn)化為1只雞少2條腿，這樣只要將1只兔轉(zhuǎn)化為1只雞即可，所以是1只雞7只兔。

師：非常好，通過畫一畫，應(yīng)該如何表示這一轉(zhuǎn)化過程呢？

教師先讓學(xué)生畫一畫，然后動畫展示變化過程，如圖2。

思考：此環(huán)節(jié)教師先引導(dǎo)學(xué)生通過“畫一畫”思考假設(shè)全是雞時共有多少條腿，然后逐漸將雞轉(zhuǎn)化為兔，通過直觀觀察發(fā)現(xiàn)蘊含其中的規(guī)律，得到兩種不同的算法。為了進(jìn)一步引出假設(shè)法，教師在“畫一畫”的基礎(chǔ)上又通過列表的方法進(jìn)行演示，以此通過對比分析自然地引出假設(shè)法。在教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生思考假設(shè)全是兔時該如何計算，進(jìn)一步深化學(xué)生對假設(shè)法的理解。以上過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖、列表、動畫等直觀演示呈現(xiàn)了推理過程，讓學(xué)生體驗了數(shù)學(xué)研究的樂趣，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力。

4. 語言表述，升華認(rèn)知

筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生只會做不會說。部分教師認(rèn)為學(xué)生只要會做即可，對“說”不做過多的要求，但是教師對“說”的不重視影響了學(xué)生提升語言表達(dá)能力，影響了學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維。語言是思維的外殼，表達(dá)越連貫，思維就越嚴(yán)謹(jǐn)，因此，在日常教學(xué)中教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生語言表達(dá)能力的培養(yǎng)。經(jīng)過前面的思考和探究，學(xué)生已經(jīng)理解并掌握了解決問題的過程，接下來教師預(yù)留時間讓學(xué)生進(jìn)行總結(jié)歸納，并開展語言表述活動，以此提高學(xué)生的語言表達(dá)能力，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

師：剛才我們用假設(shè)法解決了雞兔同籠的問題，結(jié)合表2、圖1、圖2，你們能再來說說具體的解題過程嗎？

教師先讓學(xué)生自由展示，然后點名讓學(xué)生表述解決過程，多名學(xué)生用多種形式講解了不同的解題過程。

師：你們能總結(jié)歸納一下，利用假設(shè)法解決此類問題的步驟嗎？

教師預(yù)留時間鼓勵學(xué)生通過互動交流進(jìn)行總結(jié)歸納，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

思考：在教學(xué)中預(yù)留時間讓學(xué)生“說一說”，在深化知識理解的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力和思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

5. 巧借練習(xí)，鞏固知識

適度的練習(xí)有助于學(xué)生鞏固知識、提升技能、啟迪思維以及提高解決問題的能力。經(jīng)過前面的探究，學(xué)生已經(jīng)掌握了多種解決雞兔同籠問題的方法，此時大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)迫不及待地想驗證了。基于此，筆者設(shè)計了如下問題讓學(xué)生練習(xí)鞏固：

問題1：某農(nóng)場共賣出30只雞和兔，雞和兔共有88條腿，問農(nóng)場賣出兔子幾只、雞幾只？

問題2：小明用10元錢購買了20分和50分的郵票共35張，問小明兩種郵票各買了多少張？

問題3：一次數(shù)學(xué)競賽共有20道題，答對1道得5分，答錯1道扣3分，小明在這次競賽中考了52分，小明答對了幾道題？

思考：問題1為學(xué)生熟悉的內(nèi)容，學(xué)生通過假設(shè)全是雞或全是兔可輕松地解決問題。問題2、問題3的難度略有提升，目的是引導(dǎo)學(xué)生運用“雞兔同籠”中的數(shù)學(xué)思想方法解決更多實際問題，以此培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，豐富學(xué)生的已有認(rèn)知。

三、教學(xué)思考

在傳統(tǒng)教學(xué)中，為了追求效率，部分教師很少帶領(lǐng)學(xué)生參與推理和轉(zhuǎn)化的過程。因此，學(xué)生雖然能夠利用假設(shè)法得到計算結(jié)果，但是不知道自己算出來的是雞還是兔。在本課教學(xué)中，教師通過列表、畫圖等方法帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了雞轉(zhuǎn)化為兔和兔轉(zhuǎn)化為雞的過程，幫助學(xué)生厘清了問題的來龍去脈，有效地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高了學(xué)生解決問題的能力。

從課堂反饋來看，大部分學(xué)生通過自己的分析、實踐、推理等學(xué)習(xí)活動理解了其中的關(guān)系。其實，能達(dá)到這樣的效果離不開教師的啟發(fā)和指導(dǎo)。首先，在教學(xué)中，教師秉承“以生為本”“以學(xué)定教”的教學(xué)理念，引導(dǎo)學(xué)生通過列表、畫圖等方法自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律；其次，教師以學(xué)生的發(fā)現(xiàn)為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生通過直觀觀察親身經(jīng)歷假設(shè)法形成的過程，增進(jìn)學(xué)生對假設(shè)法的理解；最后，教師引導(dǎo)學(xué)生通過“說”進(jìn)一步理解推理的過程，提高了學(xué)生的語言表達(dá)能力，訓(xùn)練了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。以上教學(xué)過程充分地發(fā)揮了學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生體驗了數(shù)學(xué)探究的樂趣，有效激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情。

從練習(xí)反饋來看，大多數(shù)學(xué)生能夠靈活地應(yīng)用假設(shè)法解決“雞兔同籠”等相關(guān)問題，分析問題和解決問題能力得到了進(jìn)一步的提升，數(shù)學(xué)思維能力得到了進(jìn)一步發(fā)展。

總之，學(xué)生思維能力的發(fā)展會經(jīng)歷一個漫長的過程。在實際教學(xué)中，教師切勿急于求成，應(yīng)尊重學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，為其提供合適的學(xué)習(xí)素材，創(chuàng)設(shè)合理的問題情境，鼓勵學(xué)生進(jìn)行自主探究，充分發(fā)揮其主觀能動性，以此推動學(xué)生學(xué)習(xí)能力和思維能力的全面提升。