韓亮 劉賢虎

［摘 ?要］ “認(rèn)識(shí)幾分之一”教學(xué)的核心目標(biāo)是理解“幾分之一”的含義，具體表現(xiàn)為：能對(duì)整體“1”進(jìn)行平均分，會(huì)表達(dá)其中1份與整體關(guān)系，能初步感受幾分之一的大小。教師應(yīng)緊緊圍繞教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施，抓住分?jǐn)?shù)“量”的屬性進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生從自然數(shù)遷移到分?jǐn)?shù)，真正實(shí)現(xiàn)對(duì)“幾分之一”的理解。

［關(guān)鍵詞］ 平均分；思維可視化；理解；聯(lián)系

一、課前慎思

分?jǐn)?shù)源于“分”，立于分?jǐn)?shù)單位。現(xiàn)行各個(gè)版本的教材認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)“幾分之一”都是從分物情境導(dǎo)入，讓學(xué)生先感受分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性，然后學(xué)習(xí)幾分之一的寫法、讀法，最后感受部分與整體的關(guān)系這一分?jǐn)?shù)意義的本質(zhì)。“數(shù)的認(rèn)識(shí)”既包括數(shù)數(shù)、讀寫、順序、大小、組成等，還包括數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展過程、數(shù)在不同情境中的多種含義等。對(duì)于以具體形象思維為主的三年級(jí)學(xué)生來說，既要利用具體實(shí)物，開展動(dòng)手操作、合作交流等學(xué)習(xí)方式來認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，還要從分的數(shù)量中抽象出分?jǐn)?shù)。

從數(shù)的認(rèn)識(shí)的一致性來看，教師要構(gòu)建以“計(jì)數(shù)單位”為核心的知識(shí)結(jié)構(gòu)教學(xué)，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪w移變形讓學(xué)生吸納新的知識(shí)，減輕理解難度，不用“死記硬背”。借助“計(jì)數(shù)單位”可以讓學(xué)生將多個(gè)知識(shí)點(diǎn)、多個(gè)數(shù)域的“數(shù)的認(rèn)識(shí)”串聯(lián)在一起，形成知識(shí)體系?！皫追种弧笔恰胺?jǐn)?shù)域”的“計(jì)數(shù)單位”，學(xué)生在初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，需要將量、率分開認(rèn)識(shí)，以量為基礎(chǔ)，充分借助認(rèn)識(shí)自然數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來促進(jìn)遷移，從而理解分?jǐn)?shù)概念。

二、課中實(shí)踐

1. 情境引入，思維激發(fā)

教師先創(chuàng)設(shè)分物情境，通過分4個(gè)蘋果、2顆糖果、1塊餅干，讓學(xué)生感受平均分較為公平；然后，讓學(xué)生思考：怎么把1個(gè)圓平均分成2份，每份剛好是一半？能用學(xué)過的自然數(shù)表示嗎？分的結(jié)果從能用自然數(shù)表示到不能用自然數(shù)表示，制造認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

2. 問題探究，思維可視

（1）活動(dòng)一：怎么表示出半個(gè)？用什么數(shù)表示這一半？折一折，寫一寫，并說明理由。

學(xué)生獨(dú)立動(dòng)手實(shí)踐，完成后呈現(xiàn)以下作品，如圖1。

5個(gè)學(xué)生先匯報(bào)各自作品，然后教師根據(jù)匯報(bào)在圖1中作品折痕的地方畫線。

師：上面5位同學(xué)的想法大家能看明白嗎，你認(rèn)為哪一種折法不一樣？請(qǐng)與同桌討論，時(shí)間1分鐘。

生1：我認(rèn)為第①種折法不一樣，這種方法不是對(duì)折。因?yàn)檎鄢鰜淼?份不一樣，不是平均分。

師：怎么折才是平均分呢？

生2：應(yīng)該對(duì)折，就是兩端對(duì)齊，對(duì)折后左右兩邊剛好一樣大。所以對(duì)折就是平均分，平均分后會(huì)得到2份大小一樣的半圓，每個(gè)半圓剛好就是這個(gè)圓的一半。

師：請(qǐng)你演示一下什么是對(duì)折。（學(xué)生演示）

師：那②③④⑤這幾種想法，哪一種表示最合適？小組再次討論。

生3：我認(rèn)為第④⑤種最合適。它們不僅畫了折痕的橫線，還把其中的1個(gè)半圓畫了斜線。但是它們的“二分之一”寫得不一樣，不知道哪一種正確。

生4：我覺得④⑤畫得很好，不僅用線表示了平均分，還用斜線畫了其中的1個(gè)半圓，表示這部分是要拿出來分的。

師：對(duì)折后畫一畫或者標(biāo)注一下，看得更清楚，這樣其他同學(xué)能更清楚你的想法。剛才說的“二分之一”的寫法，你們認(rèn)為哪一種正確？

生5：我認(rèn)為第④種正確。2表示要平均分給2個(gè)人，拿出其中的1份，就在線下面寫1個(gè)1。

生6：我認(rèn)為第⑤種正確。我爸爸講過，分給幾個(gè)人的數(shù)字要寫在線下面，拿出的1份要寫在線上面。

師：大家的想法都是表示平均分給2個(gè)人，拿出其中的1份，只是寫法各不相同。打開課本，看一看數(shù)學(xué)上是怎么規(guī)定的。

學(xué)生閱讀課本后匯報(bào)。

師：你在這個(gè)圓里找到了幾個(gè)個(gè)？

生7：我找到2個(gè)，畫斜線的部分是個(gè)，沒有畫斜線的部分也是個(gè)。

師：每1份就是個(gè)圓，1個(gè)圓里有2個(gè)個(gè)圓，這里的與我們以前所學(xué)的自然數(shù)一樣，也可以表示物體的數(shù)量。

設(shè)計(jì)意圖：概念的學(xué)習(xí)是學(xué)生在自身經(jīng)驗(yàn)及獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上向科學(xué)的概念轉(zhuǎn)化的。圓的“二分之一”怎么折出來、用數(shù)怎么表示，學(xué)生的認(rèn)識(shí)各不相同。教師要讓學(xué)生在呈現(xiàn)了不同水平層次的思考后，進(jìn)行分類、比較，在對(duì)話中逐步形成正確的認(rèn)識(shí)。

（2）活動(dòng)二：你還想用圖形表示幾分之一個(gè)？（折一折、畫一畫、寫一寫，并說明理由）

①你想把圓平均分成幾份，表示幾分之一個(gè)？

學(xué)生完成后展示作品，匯報(bào)自己的想法，如圖2。

生1：我把1個(gè)圓對(duì)折2次，平均分成了4份，涂色的1份就是這個(gè)圓的個(gè)。

師：你還能找出幾個(gè)個(gè)？

生2：還能找出3個(gè)個(gè)。1個(gè)圓里一共有4個(gè)個(gè)。

生3：我是把1個(gè)圓平均分成了8份，每份就是這個(gè)圓的個(gè)。

師：你還能找出幾個(gè)個(gè)？

生4：還能找出其他7個(gè)個(gè)。我發(fā)現(xiàn)1個(gè)圓里一共有8個(gè)個(gè)。

師：像、、……這樣的數(shù)，都是分?jǐn)?shù)。中間的這條橫線叫作分?jǐn)?shù)線；平均分成2份，這里的2叫作分母；每份也就是1叫作分子。今天我們就來認(rèn)識(shí)分子是1的分?jǐn)?shù)——“幾分之一”。（板書課題：認(rèn)識(shí)幾分之一）

②你還想表示哪些圖形的幾分之一個(gè)？（用不同的紙片表示出來，并說明理由）

學(xué)生完成后進(jìn)行展示、匯報(bào)各自的作品，如圖3。

師：請(qǐng)同學(xué)們看這里，同樣都是正方形，他們涂色的部分形狀不同，為什么都用來表示呢？

生5：它們的折法不同。

師：折法不同會(huì)是什么結(jié)果？

生6：折法不同，平均分后每1份的形狀就不同。

生7：折法雖然不同，但是都表示把1個(gè)正方形平均分成4份，涂色的占其中的1份。

師：只要是把正方形平均分成4份，其中每1份都表示這個(gè)正方形的，也就是個(gè)，和每1份的形狀無關(guān)。

師：如圖4，這里有正方形、長方形、圓形，平均分的圖形不同，為什么涂色部分都可以用個(gè)來表示呢？

生8：因?yàn)槎际瞧骄殖?份。

師：是的，以前我們學(xué)習(xí)過2頭牛、2支鉛筆、2張紙都可以用2這個(gè)數(shù)表示。分?jǐn)?shù)和自然數(shù)一樣，雖然這幾個(gè)圖形都不一樣，但只要是平均分成4份，其中的1份都可以用這個(gè)數(shù)來表示。你知道生活中哪里也可以用表示？

生9：媽媽把1個(gè)比薩平均分成4份，我們家每人分得1份，這1份就是……

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)的認(rèn)識(shí)要脫離具體對(duì)象的物理屬性，要對(duì)其數(shù)量進(jìn)行抽象。學(xué)生通過獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流，逐步剝離折法、形狀等研究對(duì)象的物理屬性，能感悟“幾分之一”表示部分與整體的關(guān)系，理解其本質(zhì)屬性。

3. 問題解決，思維產(chǎn)出

（1）判斷：如圖5，下面的分?jǐn)?shù)能表示各圖中的涂色部分嗎？能表示的畫“√”，不能表示的畫“×”，并說說理由。

（2）填空：如圖6，用分?jǐn)?shù)表示圖形涂色部分。

（ ? ） ? （ ? ） ? ?（ ? ） （ ? ）

（3）比較：教師先出示圖形（如圖7），讓學(xué)生猜一猜右邊3個(gè)圖形各是多少，課件演示驗(yàn)證；然后出示問題：米、米、米和1米比，誰大？誰小？

生1：米、米、米都比1米小。

師：說說你的理由是什么？

生2：米是1米長方形紙條的，需要兩個(gè)這么多才能拼成一整張，所以我覺得米比1米小。

生3：1米的長方形紙條需要4個(gè)米才能拼成，所以我覺得米比1米小。

生4：我發(fā)現(xiàn)米＞米＞米。長方形紙條平均分成的份數(shù)越多，每1份就越少。

……

師：幾分之一米只是1米中的一部分，這一部分肯定沒有1米長，所以幾分之一米肯定比1米小。如圖7，、、分別在數(shù)線圖上的哪個(gè)位置呢？（課件演示紙條變成數(shù)線圖）

學(xué)生嘗試指出各個(gè)分?jǐn)?shù)的位置，課件進(jìn)行驗(yàn)證。

設(shè)計(jì)意圖：第（1）題通過正例、反例的判斷說理，加深學(xué)生對(duì)平均分的理解；第（2）題看圖寫分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生關(guān)注整體與等分的關(guān)系，尤其是小題呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)過程，其中1份被剪下來，讓學(xué)生感受分?jǐn)?shù)的本質(zhì)；第（3）題先猜一猜，讓學(xué)生感受幾分之一米每一個(gè)量的大小，然后通過比一比發(fā)現(xiàn)平均分的份數(shù)越多則每1份就越少，最后將數(shù)量抽象為數(shù)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生數(shù)感。

4. 全課回顧，思維建構(gòu)

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧這節(jié)課研究的主要問題：①二分之一怎么表示？怎么讀？怎么寫？②還可以表示幾分之一？幾分之一和什么有關(guān)？③幾分之一有多大？關(guān)于幾分之一，你們還想研究哪些知識(shí)？學(xué)生的回答較為開放，比如想研究幾分之一的加法、減法、有沒有幾分之幾、它們誰大一些……

設(shè)計(jì)意圖：回顧本節(jié)課研究的主要問題，進(jìn)一步加深學(xué)生印象，使學(xué)生在整體上對(duì)分?jǐn)?shù)有較為系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生帶著問題在課后繼續(xù)去思考、學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)。

三、課后反思

分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)是學(xué)生第一次建立分?jǐn)?shù)的概念，指向的核心素養(yǎng)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，其教學(xué)核心目標(biāo)是理解幾分之一的含義，具體表現(xiàn)為：能對(duì)整體“1”進(jìn)行平均分，會(huì)表達(dá)其中1份與整體關(guān)系，能感受幾分之一的大小。小學(xué)階段分?jǐn)?shù)主要有“量”和“率”兩方面的含義。史寧中教授指出，分?jǐn)?shù)的基本意義是表示整體和等分的關(guān)系，所以分?jǐn)?shù)作為數(shù)是一個(gè)整體，分?jǐn)?shù)本身是數(shù)而不是運(yùn)算［１］。

1. 思維可視，澄清迷思概念

學(xué)生對(duì)幾分之一的含義、讀法、寫法，有較為粗淺的認(rèn)知：有的學(xué)生憑借已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移，有的學(xué)生通過閱讀教材獲得等。學(xué)生的日常概念不同于數(shù)學(xué)所認(rèn)可的科學(xué)概念，僅憑教師的告訴無法讓學(xué)生獲得真正的理解。面對(duì)學(xué)生對(duì)一個(gè)物體的平均分及二分之一寫法的“迷思”，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，暴露學(xué)生思維，讓學(xué)生獨(dú)立思考、對(duì)話辨析，才能澄清學(xué)生的迷思概念，初步感受平均分以及如何表示1份與整體的關(guān)系，為后面進(jìn)一步理解幾分之一打好基礎(chǔ)。

2. 凸顯本質(zhì)，理解分?jǐn)?shù)含義

學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)和整數(shù)一樣，需要經(jīng)歷由數(shù)量到數(shù)的形成過程，學(xué)會(huì)用抽象的符號(hào)和計(jì)數(shù)單位表達(dá)分?jǐn)?shù)［２］，進(jìn)而理解和掌握分?jǐn)?shù)的概念?！皫追种弧笔欠?jǐn)?shù)，也是分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位，它是度量分?jǐn)?shù)大小、描述分?jǐn)?shù)組成、計(jì)算分?jǐn)?shù)加減乘除的重要基礎(chǔ)。學(xué)生在表示餅干的一半時(shí)，不僅感受到部分與整體的關(guān)系，即把整體平均分成2份，其中1份就是整體的；而且自然地將平均分的結(jié)果與“1個(gè)”聯(lián)系在一起，“半個(gè)”是1個(gè)的，也就是“個(gè)”。學(xué)生通過進(jìn)一步感受相同圖形不同折法及不同圖形的，能不斷體驗(yàn)分?jǐn)?shù)“量”的屬性。同時(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)不同物體的個(gè)都可以用表示，初步體會(huì)分?jǐn)?shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，感悟分?jǐn)?shù)與自然數(shù)在概念本質(zhì)上的一致性，形成初步的數(shù)感和符號(hào)意識(shí)［３］。

3. 聯(lián)系比較，構(gòu)建數(shù)系網(wǎng)絡(luò)

自然數(shù)（0除外）是以“1”為標(biāo)準(zhǔn)，不斷累加的結(jié)果，通過“1”的累加學(xué)生初步感受自然數(shù)的離散性；分?jǐn)?shù)也是以“1”為標(biāo)準(zhǔn)，不同等分的結(jié)果，通過對(duì)“1”的等分初步感受分?jǐn)?shù)連續(xù)量的特性。學(xué)生需要將新學(xué)習(xí)的幾分之一與已學(xué)的自然數(shù)建立聯(lián)系，在原有的舊知識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上建立新的結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)數(shù)概念的第一次擴(kuò)充。學(xué)生在練習(xí)中借助直觀的長方形紙條圖和形象的數(shù)線圖進(jìn)行幾分之一與“1”大小的比較，同時(shí)把“1”不斷均分，得到不同的幾分之一，分的份數(shù)越多就越接近0，感悟0和1之間有無數(shù)個(gè)分?jǐn)?shù)，初步感受不同的幾分之一的大小關(guān)系。學(xué)生借助數(shù)線圖直觀將幾分之一和自然數(shù)進(jìn)行關(guān)聯(lián)比較，初步建立起整體化、系統(tǒng)化、邏輯化的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

史寧中教授指出：“教概念的同時(shí)，應(yīng)當(dāng)教它們的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，或者其中的一樣，因此概念需要螺旋式上升。例如從數(shù)量中抽象出自然數(shù)，那么一并從數(shù)量的多少關(guān)系中抽象出數(shù)的大小關(guān)系。給出了分?jǐn)?shù)的定義，就要比較分?jǐn)?shù)的大小?！庇纱丝梢姡诮虒W(xué)幾分之一的意義時(shí)，教師要讓學(xué)生初步感受幾分之一的大小關(guān)系以及與整數(shù)之間的大小關(guān)系，這對(duì)于分?jǐn)?shù)概念的理解十分必要。

參考文獻(xiàn)：

［１］ 史寧中. 基本概念與運(yùn)算法則：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題［Ｍ］. 北京：高等教育出版社，２０１３.

［２］ 馬云鵬. 聚焦核心概念 落實(shí)核心素養(yǎng)——《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（２０２２年版）》內(nèi)容結(jié)構(gòu)化分析［Ｊ］.課程·教材·教法，２０２２，４２（０６）：３５－４４.

［３］ 中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（２０２２年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，２０２２.