黃秀英

摘 要：在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，中考備考是教學(xué)的重要任務(wù)，是學(xué)生對(duì)初中數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行重新整合的過(guò)程.在復(fù)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生能夠進(jìn)一步理解初中數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，加強(qiáng)與其他學(xué)科的聯(lián)系.二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)內(nèi)容，在備考復(fù)習(xí)中，應(yīng)當(dāng)從大概念視角分析，設(shè)計(jì)大單元教學(xué)目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)向能力轉(zhuǎn)化.作為教師，應(yīng)當(dāng)結(jié)合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，進(jìn)一步明確大單元整合的作用.文章結(jié)合二次函數(shù)綜合問(wèn)題的解題思路，探究中考備考的有效策略.

關(guān)鍵詞：大單元；整合；初中數(shù)學(xué)；中考備考；二次函數(shù)

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2024）08-0019-03

與二次函數(shù)有關(guān)的綜合性問(wèn)題考查的知識(shí)點(diǎn)多，求解難度較大，常常以中考?jí)狠S題的形式出現(xiàn).在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了提高學(xué)生解答二次函數(shù)綜合問(wèn)題的能力，教師應(yīng)做好題型的分類，講解不同題型的解題思路，并結(jié)合具體實(shí)例，展示解題思路的具體應(yīng)用，給學(xué)生帶來(lái)良好的啟發(fā).

1 周長(zhǎng)問(wèn)題

周長(zhǎng)問(wèn)題在二次函數(shù)綜合問(wèn)題中較為常見(jiàn)，其中求解周長(zhǎng)的最大值或最小值是中考的熱點(diǎn)問(wèn)題.這種類型問(wèn)題的求解思路為：利用二次函數(shù)與幾何圖形知識(shí)判斷需求解圖形的類型，靈活利用一次函數(shù)與二次函數(shù)關(guān)系式，求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度之間的關(guān)系.一方面，可考慮構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解；另一方面，可考慮利用相關(guān)模型或借助圖形之間的等量代換求解.利用二次函數(shù)性質(zhì)求解時(shí)需確定自變量的取值范圍，借助圖形求解時(shí)需靈活利用相關(guān)圖形的幾何性質(zhì)[1].

例1 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象與y

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）P為二次函數(shù)圖象第一象限部分上的一點(diǎn)，且∠PAB=∠OCA，求點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)；

問(wèn)題（2）的思路：畫(huà)出圖象分析，大致確定點(diǎn)P的坐標(biāo).設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，構(gòu)造三角形，通過(guò)證明三角形相似構(gòu)造等量關(guān)系，求出未知數(shù)，得出點(diǎn)P的坐標(biāo).根據(jù)題意畫(huà)出圖象，如圖1所示.利用相似三

問(wèn)題（3）思路：分析四邊形CEFP由哪幾條線段構(gòu)成，確定長(zhǎng)度不變的線段，將重點(diǎn)放在長(zhǎng)度可變的線段上.結(jié)合最短路徑模型，通過(guò)點(diǎn)的平移、對(duì)稱，確定點(diǎn)的具體位置，然后利用一次函數(shù)知識(shí)求解.

2 面積問(wèn)題

求三角形的面積是二次函數(shù)綜合類問(wèn)題中的重點(diǎn)問(wèn)題.解答該類問(wèn)題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用三角形面積求解公式，其主要思路為：根據(jù)題意確定三角形是特殊三角形還是一般三角形，運(yùn)用直線和拋物線之間的關(guān)系，求出線段長(zhǎng)度、點(diǎn)的坐標(biāo).求解一般三角形的面積時(shí)可采用分割法、補(bǔ)形法，以達(dá)到化難為易，順利解題的目的[2].

例2 如圖3，拋物線y=x2+bx+c（b、c為常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A（1，0），AB=4，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q.求：（1）該拋物線的解析式；（2）△CPQ面積的最大值.

問(wèn)題（1）思路：給出的拋物線解析式y(tǒng)=x2+bx+c中含有兩個(gè)參數(shù)，并給出其圖象上兩點(diǎn)坐標(biāo)，采用待定系數(shù)法可求得b、c的值，易得拋物線的解析式為y=x2+2x+3.

問(wèn)題（2）思路：求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線BC、AC的方程.設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由PQ∥BC，表示出直線PQ的方程，將其和直線AC聯(lián)立，求解點(diǎn)Q的坐標(biāo).分別表示出△APC和△APQ的面積，則S△CPQ=S△APC-S△APQ，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，易求得S△CPQ的最大值為2.

3 角度問(wèn)題

二次函數(shù)綜合類問(wèn)題中的角度問(wèn)題考查的內(nèi)容主要有：特殊三角形的性質(zhì)，包括直角三角形、等腰三角形、等邊三角形；三角形全等、三角形相似、勾股定理等.解答該類問(wèn)題的思路為：根據(jù)題意運(yùn)用直線與拋物線、三角形之間的關(guān)系求出相關(guān)參數(shù)，必要情況下可以作出輔助線，以三角形相似、全等為依據(jù)，求出線段長(zhǎng)度、角度.

例3 如圖4所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線圖象過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（0，3），且其圖象的對(duì)稱軸為直線x=2.如圖動(dòng)點(diǎn)C，D分別在x軸上方和下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，且滿足∠CAO=∠DAO，連接CD和x軸交于點(diǎn)E.求：（1）該拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CEO的度數(shù)是否發(fā)生變化，若不變化求出sin∠CEO的值；若變化，求出∠CEO的變化范圍.

問(wèn)題（1）思路：設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式方程，而后將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入其中，求出對(duì)應(yīng)參數(shù).

問(wèn)題（2）思路：根據(jù)已知條件畫(huà)出函數(shù)圖象，設(shè)出C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，由∠CAO=∠DAO構(gòu)造相似三角形，利用三角形相似的性質(zhì)確定C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線CD的方程，然后表示出點(diǎn)E坐標(biāo)以及sin∠CEO，得出結(jié)論.

4 判斷形狀問(wèn)題

判斷圖形形狀類的二次函數(shù)綜合問(wèn)題需結(jié)合圖形性質(zhì)進(jìn)行分析.解答該類問(wèn)題的思路為：根據(jù)題干創(chuàng)設(shè)的情境，以直線、二次函數(shù)圖象為依托，求出相關(guān)圖形邊或角度，根據(jù)邊、角度關(guān)系作出判斷.

例4 如圖6，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)P（3，3），其與x軸交于點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B在圖象上，OB與二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸l交于點(diǎn)M，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，連接BN、ON.

（1）求該二次函數(shù)解析式；

問(wèn)題（2）思路：根據(jù)已知條件分別求出點(diǎn)N與點(diǎn)B的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求三角形邊長(zhǎng)的平方，根據(jù)勾股定理逆定理判斷其形狀即可.

5 結(jié)束語(yǔ)

二次函數(shù)綜合問(wèn)題雖然難度較大，但只要有明確的思路，并不難突破.解答二次函數(shù)綜合問(wèn)題需具體問(wèn)題具體分析，靈活運(yùn)用幾何圖形性質(zhì)、直線與二次函數(shù)圖象之間的內(nèi)在聯(lián)系求出關(guān)鍵線段的長(zhǎng)與關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，必要情況下利用三角形全等、三角形相似、勾股定理等知識(shí)，便可找到解題切入點(diǎn).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 謝小芳.探究解題思路，貫通教學(xué)設(shè)計(jì)：以二次函數(shù)綜合題的突破為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊， 2019（26）：3.

[2] 季峰.例談初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)綜合性題目的解題技巧[J].數(shù)理天地（初中版）， 2022（10）：11-12.