黃榮宗 藍(lán)麗娟 陳志文 蔣朝輝 許可

基金項(xiàng)目：2023年國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目“微尺度功能表面上氣液相變的介微觀建模與直接模擬研究”（52376086）；2021國(guó)家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目“非一致標(biāo)準(zhǔn)具效應(yīng)下微量氣體原位檢測(cè)方法研究”（62103448）；2022年湖南省科技創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目“青年科技人才項(xiàng)目”（2022RC1090）

第一作者簡(jiǎn)介：黃榮宗（1988-），男，漢族，湖北咸寧人，工學(xué)博士，特聘副教授。研究方向?yàn)槎嘞嗔鹘槲⒂^數(shù)值方法及應(yīng)用、固液相變傳熱與儲(chǔ)能等。

*通信作者：藍(lán)麗娟（1987-），女，畬族，福建漳州人，工學(xué)博士，講師。研究方向?yàn)楣I(yè)自動(dòng)化檢測(cè)、工業(yè)過(guò)程碳排放智能感知等。

DOI：10.19980/j.CN23-1593/G4.2024.12.031

摘? 要：分段卷積是DFT/FFT實(shí)現(xiàn)線性卷積的重要途徑，主要有重疊保留法和重疊相加法，教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于重疊保留法的學(xué)習(xí)往往忽略對(duì)算法原理的真正理解，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確。該文基于圓周卷積與線性卷積的數(shù)學(xué)關(guān)系，推導(dǎo)重疊保留法計(jì)算誤差出現(xiàn)的原因，得到重疊保留法的計(jì)算步驟；結(jié)合計(jì)算流程和具體實(shí)例，分析造成計(jì)算數(shù)據(jù)缺失的原因，并創(chuàng)新提出解決方法；隨后分析基2-FFT算法下補(bǔ)零處理對(duì)重疊保留法的影響，得出采用重疊保留法和FFT算法計(jì)算線性卷積的優(yōu)化步驟；最后，以調(diào)制光譜分析為例進(jìn)行教學(xué)案例設(shè)計(jì)，并對(duì)重疊保留法給出相應(yīng)的教學(xué)建議。

關(guān)鍵詞：分段卷積；重疊保留法；線性卷積；圓周卷積；案例設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：G642? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號(hào)：2096-000X（2024）12-0130-04

Abstract： Piecewise convolution is an important way for DFT/FFT algorithm to calculate linear convolution. It mainly includes overlapping reservation and overlap-add methods. During the teaching process， students often ignore the principle of the algorithm when learning the overlapping reservation method， resulting in calculation errors. Based on the mathematical relationship between circular convolution and linear convolution， this article deduces the reasons for the calculation error of the overlapping reservation method， and obtains the calculation process of the overlapping reservation method. Combining the calculation process and specific examples， it analyzes the reasons for the missing calculation data， and innovatively proposes the solution. Then， it analyzes the impact of zero-padding processing on the overlapping preservation method under the base 2-FFT algorithm， and optimizes the steps for calculating linear convolution using the overlapping reservation and FFT algorithms. Finally， a teaching case is designed using the modulation spectrum analysis， and corresponding teaching suggestions are given for the overlapping reservation method.

Keywords： piecewise convolution; overlapping reservation method; linear convolution; circular convolution; case design

線性卷積反映系統(tǒng)對(duì)于輸入信號(hào)的作用結(jié)果，即線性卷積當(dāng)前時(shí)刻的輸出是當(dāng)前及其之前時(shí)刻系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)響應(yīng)的疊加，線性卷積是連接信號(hào)與系統(tǒng)的橋梁。利用圓周卷積計(jì)算線性卷積是離散傅里葉變換（DFT）的典型應(yīng)用，具有現(xiàn)實(shí)的工程意義，也是數(shù)字信號(hào)處理課程的重要知識(shí)點(diǎn)[1-4]。由于DFT可以采用快速傅里葉變換（FFT）算法實(shí)現(xiàn)，因此可以利用FFT快速計(jì)算兩個(gè)序列的線性卷積。但現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中往往面臨兩個(gè)計(jì)算序列的長(zhǎng)度嚴(yán)重不匹配的情況，直接計(jì)算圓周卷積需要對(duì)其中較短序列大量補(bǔ)零，嚴(yán)重增加了計(jì)算量，降低了數(shù)據(jù)處理效率，因此引入分段卷積對(duì)較長(zhǎng)的序列進(jìn)行分段，提高數(shù)據(jù)處理效率，分段方法主要有重疊保留法和重疊相加法[5-10]。

在課程教學(xué)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)圓周卷積與線性卷積的關(guān)系理解不足，特別是在運(yùn)用重疊保留法計(jì)算時(shí)，學(xué)生對(duì)分段過(guò)程中的補(bǔ)零理解不夠深刻，往往認(rèn)為長(zhǎng)序列分段結(jié)束即計(jì)算結(jié)束，沒(méi)有真正了解最后一段數(shù)據(jù)是否已被“用完”，從而導(dǎo)致計(jì)算的結(jié)果存在缺漏的現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生，而現(xiàn)有教材、課程教學(xué)方法等對(duì)這一情況尚未進(jìn)行詳細(xì)研究和闡述[1-3]。為此，我們根據(jù)圓周卷積和FFT算法的計(jì)算原理，結(jié)合具體案例，創(chuàng)新講解重疊保留法的計(jì)算方法和實(shí)現(xiàn)步驟，提出教學(xué)方法探索，以使學(xué)生加深對(duì)分段卷積的理解，達(dá)到較好的教學(xué)效果。

一? 重疊保留法的計(jì)算原理

重疊保留法的計(jì)算源于圓周卷積與線性卷積的數(shù)學(xué)關(guān)系，假設(shè)參與線性卷積的兩個(gè)序列x（n）和h（n），其序列長(zhǎng)度分別為N1和N2，線性卷積y（n）長(zhǎng)度N=N1+N2-1，圓周卷積yc（n）可用下列表達(dá)式表示為

式中：L為圓周卷積的長(zhǎng)度。即，圓周卷積是線性卷積以L長(zhǎng)度進(jìn)行周期延拓后，取主值周期的結(jié)果。

當(dāng)圓周卷積長(zhǎng)度大于等于線性卷積的長(zhǎng)度（L≥N）時(shí)，圓周卷積的結(jié)果正好與線性卷積相同；當(dāng)L

e（n）=y（n+L）。? ? ? ? ?（2）

圖1? 圓周卷積長(zhǎng)度小于線性卷積的結(jié)果

二? 教學(xué)方法探索

（一）? 算法步驟

基于上述的數(shù)學(xué)關(guān)系，重疊保留法的實(shí)現(xiàn)方法如圖2所示。假設(shè)兩個(gè)序列x（n）和h（n）的長(zhǎng)度分別為N和M，且滿足N？垌M。計(jì)算步驟如下。

圖2? 重疊保留法計(jì)算流程圖

1）將序列x（n）以前后重疊的方式進(jìn)行分段，分段長(zhǎng)度為L(zhǎng)，重疊部分的長(zhǎng)度為M-1，其中第1段的前面M-1個(gè)點(diǎn)為0。

2）將每個(gè)分段與h（n）作長(zhǎng)度為L(zhǎng)的圓周卷積。

3）每段圓周卷積的前M-1個(gè)點(diǎn)數(shù)值因發(fā)生混疊而舍棄（圖中每段yi（n）的打“×”部分），余下的L-M+1個(gè)數(shù)值是每段卷積的正確結(jié)果。

4）將這些結(jié)果按順序連接起來(lái)，即可得到x（n）和h（n）的線性卷積的結(jié)果。

（二）? 案例分析

上節(jié)算法步驟是多數(shù)教材呈現(xiàn)的重疊保留法的實(shí)現(xiàn)步驟。然而在教學(xué)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)分段卷積的原理理解不到位，如果僅依靠這些步驟，學(xué)生在解題過(guò)程中對(duì)于分段、補(bǔ)零、計(jì)算和保留等過(guò)程的處理總出現(xiàn)失誤，導(dǎo)致計(jì)算線性卷積存在數(shù)據(jù)缺失的情況時(shí)有發(fā)生。以一個(gè)實(shí)例進(jìn)行講解。

假設(shè)參與線性卷積的兩個(gè)序列分別為x（n）={1，2， 3，4，5，6，7，8，9，10}，h（n）={1，2，-1}。若采用L=7進(jìn)行對(duì)x（n）分段，不少學(xué)生認(rèn)為最后一個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)在分段中即可停止分段，即得到下述分段

根據(jù)這個(gè)分段計(jì)算得到的結(jié)果為y（n）={1，4，6，8，10，12， 14，16，18，20}，y（n）的長(zhǎng)度為10，顯然與正確的長(zhǎng)度12不符，也就是說(shuō)上述的計(jì)算還沒(méi)有結(jié)束，分段仍需繼續(xù)。那么，問(wèn)題在于重疊保留法為什么會(huì)出現(xiàn)上述的問(wèn)題？分段結(jié)束的依據(jù)是什么？如何保證重疊保留法采用最少的分段得到完整的線性卷積結(jié)果？

（三）? 改進(jìn)方法

針對(duì)上述的問(wèn)題，我們從圓周卷積與線性卷積的數(shù)學(xué)關(guān)系探討如何保證重疊保留法把數(shù)據(jù)“用完”。由于圓周卷積是線性卷積周期延拓后進(jìn)行累加取主值周期得到的結(jié)果，當(dāng)圓周卷積的長(zhǎng)度小于線性卷積時(shí)，將會(huì)發(fā)生混疊現(xiàn)象。為避免混疊帶來(lái)的影響，重疊保留法以前后重疊的方式對(duì)長(zhǎng)序列進(jìn)行分段，計(jì)算結(jié)果將重疊的部分舍棄，未重疊的部分即構(gòu)成了正確的線性卷積的分段。而重疊部分實(shí)際上是每個(gè)分段中超過(guò)圓周卷積長(zhǎng)度的部分疊加到了序列的前端，即圓周卷積相對(duì)于線性卷積的誤差實(shí)際上是超過(guò)圓周卷積長(zhǎng)度的線性卷積的序列值（見(jiàn)公式（2））。

因此，當(dāng)我們對(duì)長(zhǎng)序列進(jìn)行分段并作圓周卷積時(shí)，最后一個(gè)分段的部分線性卷積的結(jié)果總會(huì)因?yàn)榛殳B而被疊加到該段的前端，并被舍棄；被疊加部分如果包含有效的卷積結(jié)果，就會(huì)造成計(jì)算結(jié)果的缺失。為避免這種現(xiàn)象，保證最后一個(gè)分段的有效線性卷積結(jié)果不被混疊，就需要在輸入序列的末端做補(bǔ)零處理。

針對(duì)重疊保留法的處理步驟，與第一個(gè)分段序列的補(bǔ)零處理相同，我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于最后一個(gè)分段，我們?nèi)匀恍枰c第一個(gè)分段相同的補(bǔ)零個(gè)數(shù)（M-1個(gè)0，M為短序列的長(zhǎng)度），才能避免最后一個(gè)分段的有用線性卷積結(jié)果被混疊至前端而丟失。如圖3所示，考慮到分段長(zhǎng)度的靈活性，對(duì)于重疊保留法，不僅要在第一個(gè)分段序列的最前端補(bǔ)M-1個(gè)0，最后一個(gè)分段序列也要保證在有效數(shù)據(jù)的末端補(bǔ)至少M(fèi)-1個(gè)0。所得圓周卷積結(jié)果除了要剔除前M-1個(gè)值，末端如有0值，也需要舍棄，所得結(jié)果按順序連接，即為所求線性卷積的結(jié)果。

圖3? 重疊保留法最后一個(gè)分段至少要有M-1個(gè)補(bǔ)零

如上例題，增加第3個(gè)分段x2（n）={9，10，0，0，0，0，

0}8，圓周卷積結(jié)果為y2（n）={9，28，11，-10，0，0，0}，去掉前2個(gè)值，保留非0序列為{11，-10}，正是缺失的最后兩個(gè)數(shù)值。

（四）? FFT快速實(shí)現(xiàn)

利用FFT進(jìn)行計(jì)算線性卷積，通常要求參與計(jì)算序列的長(zhǎng)度為2的整數(shù)次冪（基2-FFT算法），如果序列長(zhǎng)度未滿足2的整數(shù)次冪的要求，則需將每個(gè)序列長(zhǎng)度補(bǔ)零至相應(yīng)長(zhǎng)度，利用FFT計(jì)算線性卷積的流程圖如圖4所示，其中L'為2的整數(shù)次冪，L'≥L。下面討論FFT補(bǔ)零對(duì)重疊保留法的影響。

圖4? 利用FFT計(jì)算線性卷積的流程圖

仍以上述例題為例。顯然L=7不滿足FFT的要求，因此需對(duì)每個(gè)分段進(jìn)行補(bǔ)零，按照L'=23，即

， （4）

將式（4）中的每個(gè)分段xi（n）與h（n）分別計(jì)算8點(diǎn)FFT，相乘后計(jì)算8點(diǎn)IFFT即可得到每個(gè)分段的圓周卷積的結(jié)果

舍棄劃“-”和“×”的數(shù)據(jù)，剩余數(shù)據(jù)順序排列即為線性卷積的結(jié)果。從式（5）可以看出，每段計(jì)算結(jié)果中只有M至L-1點(diǎn)保留了與線性卷積相同的結(jié)果，超過(guò)補(bǔ)零前序列長(zhǎng)度L的數(shù)據(jù)出現(xiàn)了無(wú)效的非零值。因此，采用FFT計(jì)算線性卷積時(shí)，如需補(bǔ)零，則重疊保留法分段計(jì)算得到的圓周卷積結(jié)果中，超過(guò)補(bǔ)零前原有分段長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)需舍棄，再根據(jù)重疊保留法的步驟，舍棄前M-1個(gè)點(diǎn)，保留下來(lái)的結(jié)果按順序連接，得到線性卷積的結(jié)果。上節(jié)中討論的最后一個(gè)分段的補(bǔ)零不受此影響。

（五）? 教學(xué)案例設(shè)計(jì)

線性卷積是連接信號(hào)與系統(tǒng)的橋梁，分段卷積使得利用計(jì)算機(jī)加快計(jì)算線性卷積成為可能，因此分段卷積具有實(shí)際工程應(yīng)用價(jià)值。上述內(nèi)容雖具體探討了重疊保留法如何將分段數(shù)據(jù)“用完”的處理方法，討論了FFT算法補(bǔ)零對(duì)重疊保留法實(shí)現(xiàn)線性卷積的影響，但所述理論和方法對(duì)于初學(xué)者仍具挑戰(zhàn)。為了達(dá)到較好的教學(xué)效果，在教學(xué)實(shí)踐環(huán)節(jié)，可以引入具體工程案例對(duì)分段中的補(bǔ)零和數(shù)據(jù)保留等步驟進(jìn)行講解和拓展。例如以調(diào)制光譜分析[11]和PD雷達(dá)測(cè)距[5]等設(shè)計(jì)教學(xué)案例，引導(dǎo)學(xué)生思考重疊保留法計(jì)算結(jié)束的判斷標(biāo)準(zhǔn)，討論當(dāng)分段長(zhǎng)度為非2的整數(shù)次冪時(shí)，F(xiàn)FT算法補(bǔ)零與末段補(bǔ)零的區(qū)別和聯(lián)系，從而達(dá)到讓學(xué)生掌握重疊保留法計(jì)算原理和步驟的目的。

下面以調(diào)制光譜分析為例對(duì)重疊保留法進(jìn)行案例設(shè)計(jì)。光譜分析因高選擇性和高靈敏度等特性，使其在能源、環(huán)保等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。對(duì)光譜信號(hào)進(jìn)行調(diào)制可有效提高抗噪聲能力，因而使其能適用于惡劣的工業(yè)生產(chǎn)環(huán)境。案例中，輸入信號(hào)x（n）是采樣長(zhǎng)度N=300 000的信號(hào)（其中包含頻率為6 kHz的正弦調(diào)制信號(hào)），系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h（n）是頻率為6 kHz的單周期正弦信號(hào)（即信號(hào)長(zhǎng)度為M=50），滿足N？垌M。實(shí)驗(yàn)中采用兩種方法計(jì)算輸入信號(hào)x（n）與單位脈沖響應(yīng)h（n）線性卷積的結(jié)果，即不分段直接利用FFT計(jì)算x（n）×h（n）（未分段FFT）、結(jié)合重疊保留法和FFT算法進(jìn)行計(jì)算（重疊保留法）；實(shí)驗(yàn)計(jì)算時(shí)，設(shè)置重疊保留法分段長(zhǎng)度不滿足2的整數(shù)次冪，讓學(xué)生處理FFT的補(bǔ)零操作、重疊保留法的數(shù)據(jù)舍棄和保留、計(jì)算結(jié)束節(jié)點(diǎn)的判斷、計(jì)算結(jié)果異同的分析和兩種方法計(jì)算速度的比較等，并進(jìn)行相關(guān)總結(jié)。

例如，針對(duì)上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在重疊保留法計(jì)算中，采用L=200個(gè)點(diǎn)進(jìn)行分段和圓周卷積，則由于重疊保留法每一分段的前M-1=49個(gè)值是前一分段的最后M-1個(gè)值，因此實(shí)際每個(gè)分段中只保留151個(gè)有效的卷積結(jié)果；同時(shí)采用FFT計(jì)算時(shí)需將每個(gè)分段的xi（n）和h（n）補(bǔ)零至L'=28=256。在經(jīng)過(guò)1 986次分段后，余下的數(shù)據(jù)包含重疊部分的長(zhǎng)度為163，該段數(shù)據(jù)須首先補(bǔ)37個(gè)0使序列長(zhǎng)度達(dá)到200個(gè)點(diǎn)，繼而進(jìn)行FFT計(jì)算。此時(shí)與學(xué)生討論計(jì)算是否可以結(jié)束，讓學(xué)生掌握重疊保留法末段補(bǔ)零的原則，并結(jié)合FFT計(jì)算中補(bǔ)零的操作，分析并理解兩種補(bǔ)零處理的目的和作用，進(jìn)而達(dá)到讓學(xué)生掌握知識(shí)的目的。

利用上述兩種方法計(jì)算得到的調(diào)制光譜信號(hào)的諧波曲線如圖5所示。計(jì)算結(jié)果顯示采用未分段FFT和采用重疊保留法計(jì)算線性卷積得到的結(jié)果是也必然是一致的，說(shuō)明了重疊保留法的正確性和可操作性。同時(shí)，從數(shù)據(jù)的處理效率可以發(fā)現(xiàn)，未分段FFT計(jì)算速度極慢，這是由于當(dāng)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N很大時(shí)，讓計(jì)算機(jī)處理N點(diǎn)長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)需要耗費(fèi)大量?jī)?nèi)存，嚴(yán)重影響數(shù)據(jù)的處理效率，而采用重疊保留法的計(jì)算速度非常快，二者形成鮮明對(duì)比，實(shí)驗(yàn)表明重疊保留法可有效加快數(shù)據(jù)的處理速度，具有現(xiàn)實(shí)的工程應(yīng)用價(jià)值。

圖5? 調(diào)制光譜案例中采用未分段FFT和重疊保留法計(jì)算線性卷積得到的諧波信號(hào)幅值對(duì)比

三? 結(jié)束語(yǔ)

分段卷積是數(shù)字信號(hào)處理課程的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)具備重要的工程實(shí)踐價(jià)值，重疊保留法是實(shí)現(xiàn)方法之一。現(xiàn)有教材和課堂教學(xué)均闡述了重疊保留法如何開(kāi)始進(jìn)行分段，未就結(jié)束段的數(shù)據(jù)處理進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明。我們針對(duì)教學(xué)環(huán)節(jié)中學(xué)生對(duì)重疊保留法存在的疑問(wèn)，從圓周卷積與線性卷積的數(shù)學(xué)關(guān)系入手，深入淺出分析方法出現(xiàn)數(shù)據(jù)缺失的根本原因，創(chuàng)新提出解決方案；結(jié)合基2-FFT算法的實(shí)現(xiàn)步驟，進(jìn)一步討論補(bǔ)零操作對(duì)計(jì)算的影響；最后通過(guò)調(diào)制光譜分析的案例設(shè)計(jì)，讓學(xué)生充分理解并掌握重疊保留法的具體實(shí)施步驟，并討論其工程應(yīng)用價(jià)值。教學(xué)過(guò)程中，可以通過(guò)“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—理論分析—方案探索—解決問(wèn)題”[12]引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理學(xué)習(xí)，使學(xué)生加深對(duì)DFT/FFT、圓周卷積、分段卷積等知識(shí)點(diǎn)的理解，“從工程實(shí)踐中來(lái)，回到工程實(shí)踐中去”，鼓勵(lì)學(xué)生聯(lián)系工程實(shí)踐，敢于質(zhì)疑、勇于探索，提升其從數(shù)理理論出發(fā)解決實(shí)際工程問(wèn)題的能力，預(yù)期可以取得較好的教學(xué)效果。

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