高原 徐素秀 丁洳茜

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目“靈活編組模式下城市軌道交通列車調(diào)度優(yōu)化”（72171023）；北京理工大學(xué)2023年度教育教學(xué)改革一般項(xiàng)目“搭建理論到實(shí)踐的橋梁——《優(yōu)化模型及軟件》課程教學(xué)改革研究”（無(wú)編號(hào)）；北京理工大學(xué)研究生教育培養(yǎng)綜合改革面上項(xiàng)目（無(wú)編號(hào)）

第一作者簡(jiǎn)介：高原（1986-），男，漢族，湖北襄陽(yáng)人，博士，副教授，博士研究生導(dǎo)師。研究方向?yàn)榻煌ㄟ\(yùn)營(yíng)管理、物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)、大規(guī)模整數(shù)規(guī)劃、不確定規(guī)劃等。

*通信作者：徐素秀（1984-），男，漢族，浙江臺(tái)州人，博士，教授，博士研究生導(dǎo)師。研究方向?yàn)榻煌ń?jīng)濟(jì)學(xué)、拍賣與機(jī)制設(shè)計(jì)、博弈與供應(yīng)鏈管理、優(yōu)化理論與算法等。

DOI：10.19980/j.CN23-1593/G4.2024.12.007

摘? 要：進(jìn)入數(shù)字經(jīng)濟(jì)時(shí)代，業(yè)界將運(yùn)籌優(yōu)化技術(shù)更廣泛地應(yīng)用于生產(chǎn)和管理中，對(duì)管理科學(xué)與工程類專業(yè)學(xué)生的建模與優(yōu)化的實(shí)踐能力提出更高要求。該文分析我國(guó)管理科學(xué)與工程學(xué)科排名前50高校的相關(guān)專業(yè)培養(yǎng)方案，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)校側(cè)重運(yùn)籌學(xué)理論基礎(chǔ)的教學(xué)，缺少建模與優(yōu)化的實(shí)踐課程。該文從業(yè)界需求和運(yùn)籌學(xué)課程體系建設(shè)出發(fā)，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，討論建模優(yōu)化實(shí)踐課程的建設(shè)目標(biāo)、課程內(nèi)容、教學(xué)方法。建模優(yōu)化實(shí)踐課程的內(nèi)容包括優(yōu)化軟件（通用求解器）的使用、管理科學(xué)與工程常見(jiàn)優(yōu)化問(wèn)題的建模，以及求解優(yōu)化模型的精確/啟發(fā)式算法；采用課堂上機(jī)練習(xí)、課程報(bào)告等方式，促使學(xué)生較快上手優(yōu)化軟件，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)優(yōu)化問(wèn)題、建立優(yōu)化模型、編程求解模型的能力。通過(guò)建模優(yōu)化實(shí)踐課程的建設(shè)，形成管理科學(xué)與工程專業(yè)運(yùn)籌優(yōu)化類課程“基礎(chǔ)理論+應(yīng)用實(shí)踐”的培養(yǎng)模式，彌合數(shù)字經(jīng)濟(jì)時(shí)代業(yè)界人才需求與高校人才培養(yǎng)之間的差距。

關(guān)鍵詞：管理科學(xué)與工程；優(yōu)化模型；通用求解器；優(yōu)化算法；課程建設(shè)

中圖分類號(hào)：G642? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號(hào)：2096-000X（2024）12-0029-05

Abstract： In the era of digital economy， the industry has applied optimization technology more widely in production and management， which requires higher practical ability of modeling and optimization on the students in management science and engineering. This paper analyzes the training programs of the top 50 universities in management science and engineering in China， and finds that most of them focus on the teaching of theoretical basis of operations research， and lack practical courses of modeling and optimization. Based on the needs of the industry and the construction of operational research curriculum system， combined with teaching practice， this paper discusses the construction objectives， course content and teaching methods of modeling and optimizing course. The course covers the use of optimization software（general-purpose solvers）， modeling of common optimization problems in management science and engineering， and accurate/heuristic algorithms for solving optimization models. By means of computer exercises in class and course reports， students are encouraged to master the optimization software， discover optimization problems， establish optimization models， and solve the models. Through the construction of modeling and optimization course， the training model of "basic theory + application practice" in operational research curriculum system is formed， which bridges the gap between the talent demand of the industry and the talent training of colleges and universities in the digital economy era.

Keywords： management science and engineering; optimization model; general-purpose solver; optimization algorithm; course construction

管理科學(xué)與工程（以下簡(jiǎn)稱“管科”）是綜合運(yùn)用系統(tǒng)科學(xué)、管理科學(xué)、數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)和行為科學(xué)及工程方法，結(jié)合信息技術(shù)研究解決社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、工程等方面的管理問(wèn)題的一門學(xué)科。在我國(guó)，管科類的本科生專業(yè)主要包括信息管理與信息系統(tǒng)、工程管理、工業(yè)工程及物流等。隨著信息技術(shù)的深入發(fā)展，我國(guó)逐漸進(jìn)入數(shù)字經(jīng)濟(jì)時(shí)代。國(guó)務(wù)院發(fā)布《“十四五”數(shù)字經(jīng)濟(jì)發(fā)展規(guī)劃》，明確指出：“數(shù)字經(jīng)濟(jì)是繼農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)、工業(yè)經(jīng)濟(jì)之后的主要經(jīng)濟(jì)形態(tài)……‘十四五時(shí)期，我國(guó)數(shù)字經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)向深化應(yīng)用、規(guī)范發(fā)展、普惠共享的新階段?！睌?shù)字經(jīng)濟(jì)時(shí)代勢(shì)必涌現(xiàn)出許多嶄新的管理學(xué)問(wèn)題，比如智慧物流、智慧工廠、智慧醫(yī)療和智慧政務(wù)等，為管理科學(xué)與工程專業(yè)的發(fā)展提供巨大的機(jī)遇。同時(shí)，數(shù)據(jù)成為數(shù)字經(jīng)濟(jì)時(shí)代的新型生產(chǎn)要素，推動(dòng)了生產(chǎn)方式的變革，對(duì)管理科學(xué)與工程類專業(yè)在培養(yǎng)目標(biāo)、專業(yè)定位、課程設(shè)置等諸多方面提出新的要求。

近年來(lái)，不少高校在管科類專業(yè)的培養(yǎng)計(jì)劃中增設(shè)熱門的大數(shù)據(jù)、人工智能等課程[1]，但運(yùn)籌優(yōu)化類課程的設(shè)置仍相對(duì)落后，過(guò)多局限在概念、理論、算法的講解，缺乏對(duì)學(xué)生動(dòng)手能力的訓(xùn)練，造成“考完就忘”的局面[2-4]。事實(shí)上，運(yùn)籌優(yōu)化類課程應(yīng)用性極強(qiáng)。這些年，制造業(yè)、金融業(yè)、服務(wù)業(yè)積累了大量的數(shù)據(jù)，可以借助建模和優(yōu)化的方法，實(shí)現(xiàn)資源的更優(yōu)配置。比如，華為、阿里巴巴、京東、順豐、一汽大眾、中國(guó)商飛和國(guó)家電網(wǎng)等國(guó)內(nèi)行業(yè)頭部企業(yè)，或者成立運(yùn)籌優(yōu)化部門，或者與IBM、Gurobi、杉數(shù)科技等運(yùn)籌優(yōu)化技術(shù)服務(wù)商合作，越來(lái)越多地將運(yùn)籌優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用于生產(chǎn)和管理中[5-8]。可以預(yù)見(jiàn)，業(yè)界對(duì)建模與優(yōu)化類人才的需求將會(huì)逐年增大，管科類專業(yè)需增設(shè)相關(guān)實(shí)踐課程，或改革現(xiàn)有課程，提升學(xué)生針對(duì)管理問(wèn)題的建模能力、前沿優(yōu)化軟件和算法的應(yīng)用能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)要素的更優(yōu)利用，為我國(guó)數(shù)字經(jīng)濟(jì)的建設(shè)和發(fā)展貢獻(xiàn)力量。

一? 管理科學(xué)與工程類專業(yè)建模優(yōu)化實(shí)踐課程開(kāi)設(shè)現(xiàn)狀

本文以第四輪學(xué)科評(píng)估管理科學(xué)與工程學(xué)科排名前50的高校為研究對(duì)象，從學(xué)校官網(wǎng)下載其信息管理與信息系統(tǒng)、工程管理、工業(yè)工程及物流等專業(yè)的培養(yǎng)方案，統(tǒng)計(jì)并分析建模與優(yōu)化課程的開(kāi)設(shè)現(xiàn)狀。由于部分高校沒(méi)有公開(kāi)其培養(yǎng)方案，最終獲得42所高校的管科類專業(yè)的培養(yǎng)方案。盡管各所高校課程名稱略不同，仍能挑選出其中的運(yùn)籌優(yōu)化類課程，并將其大致分為以下四個(gè)子類：運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)、決策分析、建模優(yōu)化實(shí)踐和最優(yōu)化理論與方法。需要指出的是，這四個(gè)子類課程的順序是按照開(kāi)設(shè)高校的數(shù)量排列的，即42、27、11、10。

運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)通常為必修課，每所高校都有開(kāi)設(shè)，上課時(shí)間一般在大二上學(xué)期或大二下學(xué)期，大約二分之一的學(xué)時(shí)講授線性規(guī)劃和整數(shù)線性規(guī)劃的內(nèi)容，剩余學(xué)時(shí)講授圖論、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、排隊(duì)論和存儲(chǔ)論等內(nèi)容；決策分析課程在運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)之后開(kāi)設(shè)，講授效用理論、多屬性決策、效率評(píng)估方法、專家咨詢法和博弈論等內(nèi)容；最優(yōu)化理論和方法通常為選修課，在大三或大四上學(xué)期開(kāi)設(shè)，講授凸集和凸函數(shù)、無(wú)約束優(yōu)化和約束優(yōu)化等?？傮w而言，這三個(gè)課程以講授概念、理論、算法基礎(chǔ)為主，學(xué)生往往只能手動(dòng)求解極小規(guī)模的優(yōu)化問(wèn)題，缺少使用軟件求解優(yōu)化問(wèn)題的實(shí)踐，既不能深入理解運(yùn)籌學(xué)理論，也對(duì)優(yōu)化算法的求解能力認(rèn)識(shí)不足。顯然，這和當(dāng)前業(yè)界對(duì)運(yùn)籌優(yōu)化類人才的要求有較大差距。

建模優(yōu)化實(shí)踐課程則在一定程度上彌補(bǔ)了上述課程存在的問(wèn)題，要求學(xué)生通過(guò)計(jì)算機(jī)編程建立較大規(guī)模的優(yōu)化模型，并調(diào)用軟件或設(shè)計(jì)算法，尋找優(yōu)化模型的解。但與另外三類運(yùn)籌課程不同，建模與優(yōu)化課程開(kāi)設(shè)較晚，目前缺乏通用教材，講授的內(nèi)容差異較大。比如，有的高校側(cè)重講授智能優(yōu)化算法（包括遺傳算法、禁忌搜索、鄰域搜索、蟻群優(yōu)化和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等），有的高校講授MATLAB編程和數(shù)學(xué)建模，有的高校講授建模方法及通用求解器（Gurobi、CPLEX等主流優(yōu)化軟件）。2020年開(kāi)始，北京理工大學(xué)管理學(xué)院信息管理與信息系統(tǒng)專業(yè)在大三上學(xué)期開(kāi)設(shè)建模與優(yōu)化實(shí)踐課程——優(yōu)化模型及軟件。該課程作為大二下學(xué)期管理運(yùn)籌學(xué)的后續(xù)課程，首先講授如何使用求解器解決線性規(guī)劃和混合整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題，并在講解過(guò)程中穿插運(yùn)籌學(xué)理論，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)理論的理解；然后介紹管理科學(xué)與工程中常見(jiàn)的優(yōu)化模型，結(jié)合模型特征，直接調(diào)用求解器求解，或設(shè)計(jì)精確/啟發(fā)式算法求解。該課程設(shè)置，一方面考慮了業(yè)界的需求，提升學(xué)生編程解決較大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題的能力，另一方面兼顧管科專業(yè)運(yùn)籌優(yōu)化類課程體系，即作為應(yīng)用實(shí)踐課程，建模與優(yōu)化涉及的理論知識(shí)都可以在前序課程管理運(yùn)籌學(xué)中找到。

二? 課程建設(shè)目標(biāo)

優(yōu)化模型及軟件課程（以下簡(jiǎn)稱“本課程”）旨在建立運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)和工程實(shí)踐之間的橋梁，提升管科類專業(yè)學(xué)生的動(dòng)手能力和邏輯思維能力，增強(qiáng)利用所學(xué)理論知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的自信心，使其滿足我國(guó)工程建設(shè)和工程管理的需要，更好地為我國(guó)數(shù)字經(jīng)濟(jì)建設(shè)貢獻(xiàn)力量。

（一）? 知識(shí)技能方面

通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠了解當(dāng)前數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的通用求解器的發(fā)展前沿，了解通用求解器的適用范圍及在業(yè)界應(yīng)用情況；熟悉通用求解器的安裝和配置方法，熟悉使用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言輸入優(yōu)化模型并調(diào)用求解器求解的基本邏輯；掌握至少一種通用求解器的使用方法和規(guī)范，理解該求解器的主要參數(shù)，并能夠通過(guò)設(shè)置這些參數(shù)，控制求解器的求解過(guò)程和輸入輸出過(guò)程。

在前序的運(yùn)籌學(xué)課程中，學(xué)生們一般只學(xué)習(xí)了凸集基礎(chǔ)理論，以及單純形法、分支定界法等算法流程，只能手動(dòng)計(jì)算極小規(guī)模的數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題。不少學(xué)生沒(méi)有見(jiàn)過(guò)包含十個(gè)以上變量的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，并且簡(jiǎn)單地將數(shù)學(xué)規(guī)劃的求解與單純形表的繪制畫(huà)等號(hào)。通過(guò)求解器的學(xué)習(xí)，學(xué)生掌握了使用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言構(gòu)建數(shù)學(xué)規(guī)劃模型、調(diào)用求解器求解模型的方法，意識(shí)到運(yùn)籌學(xué)方法可以應(yīng)用到實(shí)際的大規(guī)模問(wèn)題中。與此同時(shí)，學(xué)生們?cè)谇蠼馄鞯膶W(xué)習(xí)和使用過(guò)程中，特別是在參數(shù)設(shè)置、結(jié)果輸出的環(huán)節(jié)，對(duì)運(yùn)籌學(xué)課程中基礎(chǔ)理論和算法有了切實(shí)的認(rèn)識(shí)。

在熟練使用求解器的基礎(chǔ)上，本課程介紹管理學(xué)中常見(jiàn)的優(yōu)化問(wèn)題，以及結(jié)合問(wèn)題特征的數(shù)學(xué)規(guī)劃建模方法，從而學(xué)生可以借助求解器，尋找中等規(guī)模的優(yōu)化問(wèn)題的解決方案。由于課時(shí)限制，運(yùn)籌學(xué)課程較少介紹管理學(xué)中的典型優(yōu)化問(wèn)題及對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，學(xué)生缺少凝練優(yōu)化問(wèn)題、構(gòu)建規(guī)劃模型的能力。本課程介紹設(shè)備/樞紐選址問(wèn)題、路徑規(guī)劃問(wèn)題、排班問(wèn)題等基礎(chǔ)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手構(gòu)建模型，并借助求解器求解，增強(qiáng)其動(dòng)手能力和解決問(wèn)題的信心，使其能夠閱讀運(yùn)籌優(yōu)化類學(xué)術(shù)論文，以及初步展開(kāi)運(yùn)籌優(yōu)化問(wèn)題的研究。

本課程結(jié)合優(yōu)化問(wèn)題的特征，進(jìn)一步介紹精確算法和啟發(fā)式算法對(duì)大規(guī)模問(wèn)題的分解思路，即調(diào)用求解器或者設(shè)計(jì)求解規(guī)則逐一求解分解得到的小規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題，然后基于小規(guī)模問(wèn)題的解構(gòu)造大規(guī)模問(wèn)題的解。由于啟發(fā)式算法難度較低且網(wǎng)絡(luò)上有不少學(xué)習(xí)資料，本課程只在最后簡(jiǎn)單介紹幾種經(jīng)典的啟發(fā)式算法，比如鄰域搜索算法、遺傳算法、模擬退火算法和蟻群優(yōu)化算法等，課程重點(diǎn)講解兩種精確算法，即Benders分解算法和列生成算法。通過(guò)優(yōu)化算法的介紹，開(kāi)拓學(xué)生運(yùn)用運(yùn)籌學(xué)基本理論解決實(shí)際問(wèn)題的思路，使其具備針對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行建模和求解的能力，樹(shù)立優(yōu)化決策的理念。

（二）? 思政教育方面

優(yōu)化模型及軟件課程屬于方法類課程。一般而言，方法類課程以傳授專業(yè)知識(shí)為主，但本課程作為聯(lián)系理論和實(shí)踐的橋梁，有不少素材可以用作思政教育[9-10]。首先，建模與優(yōu)化是數(shù)據(jù)智能的基礎(chǔ)課程之一，是發(fā)展我國(guó)數(shù)字經(jīng)濟(jì)的重要技術(shù)儲(chǔ)備。數(shù)字經(jīng)濟(jì)為建模與優(yōu)化提供足夠的數(shù)據(jù)資源，而建模與優(yōu)化可以充分地利用數(shù)據(jù)資源，更合理地配置人力、物資要素。比如智慧物流領(lǐng)域，科學(xué)的物流中心選址和車輛路徑規(guī)劃可以更有效地降低社會(huì)物流總費(fèi)用占 GDP的比重；智慧醫(yī)療領(lǐng)域，高效的就醫(yī)、手術(shù)安排，可以提升醫(yī)療衛(wèi)生機(jī)構(gòu)的服務(wù)質(zhì)量和服務(wù)效率。

其次，華人運(yùn)籌學(xué)家近年來(lái)在該領(lǐng)域貢獻(xiàn)頗豐，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生在管理科學(xué)與運(yùn)籌學(xué)領(lǐng)域的科研自信心。比如，當(dāng)前最流行的通用求解器Gurobi的開(kāi)發(fā)公司美國(guó)Gurobi公司的首席技術(shù)官（CTO）兼聯(lián)合創(chuàng)始人顧宗浩博士，在同濟(jì)大學(xué)取得本科和碩士學(xué)位，而“Gurobi”的前兩個(gè)字母“GU”代表的正是顧宗浩博士的姓氏。再比如，運(yùn)籌學(xué)領(lǐng)域最高獎(jiǎng)項(xiàng)——馮·諾依曼理論獎(jiǎng)的獲得者葉蔭宇教授，本科就讀于華中工學(xué)院（現(xiàn)華中科技大學(xué)），葉教授不僅是歐洲最大優(yōu)化算法求解器制造商MOSEK公司的科技顧問(wèn)委員會(huì)主席，而且協(xié)助LEAVES、COPT等我國(guó)自主求解器的研發(fā)，打破國(guó)外求解器的壟斷。

三? 課程內(nèi)容

在管理運(yùn)籌學(xué)的基礎(chǔ)上，優(yōu)化模型及軟件課程講授前沿優(yōu)化求解器的使用、管理科學(xué)中的經(jīng)典優(yōu)化問(wèn)題及常用的精確和啟發(fā)式算法，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)運(yùn)籌優(yōu)化理論的理解，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)工程和管理中的優(yōu)化問(wèn)題并建模描述的能力，以及提高學(xué)生動(dòng)手解決問(wèn)題的能力。優(yōu)化模型及軟件課程主要包含以下四方面內(nèi)容。

（一）? 通用求解器的安裝和配置

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外主流求解器，如CPLEX、Gurobi、MOSEK和COPT等，都已實(shí)現(xiàn)與主流編程語(yǔ)言（C/C++、JAVA、C#和Python等）的無(wú)縫銜接，其使用邏輯也逐漸統(tǒng)一為先使用主流編程語(yǔ)言建模、再調(diào)用求解器求解模型。與此同時(shí)，主流求解器的安裝和配置過(guò)程也逐漸趨同，即網(wǎng)站注冊(cè)、軟件下載和安裝、軟件激活、系統(tǒng)環(huán)境配置和集成開(kāi)發(fā)環(huán)境的設(shè)置等。優(yōu)化模型及軟件課程選擇當(dāng)前最為流行、綜合表現(xiàn)最好[11]的Gurobi作為主講的求解器，詳細(xì)介紹其安裝、激活、系統(tǒng)配置，以及主流編程語(yǔ)言開(kāi)發(fā)環(huán)境的設(shè)置。此外，本課程介紹另外幾款求解器的發(fā)展歷史和特性，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)比這幾款求解器的求解效率。

考慮到大部分學(xué)生具備Python語(yǔ)言的編程基礎(chǔ)，以及Python的跨平臺(tái)和易上手等特性，本課程選擇Python作為編程語(yǔ)言。掌握了“Python+Gurobi”的組合，學(xué)生可以較為輕松地將相關(guān)技術(shù)平移到其他“編程語(yǔ)言+求解器”的組合上。

（二）? 求解器Gurobi的使用

這部分內(nèi)容講授如何使用Gurobi求解線性規(guī)劃和（混合）整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題。首先，介紹“Python+Gurobi”的程序框架，以及建模求解的基礎(chǔ)命令。為了讓學(xué)生更快上手，課程提供Python語(yǔ)言下的程序模板。學(xué)生只需更改模板中的決策變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)，可以快速實(shí)現(xiàn)對(duì)管理運(yùn)籌學(xué)教材中線性規(guī)劃和整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的求解。這一過(guò)程可以提升學(xué)生使用軟件解決數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題的興趣。

然后，本課程講授Gurobi的高級(jí)命令及通過(guò)循環(huán)語(yǔ)句構(gòu)建大規(guī)模數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題。課程會(huì)提供相應(yīng)程序模板供學(xué)生參考，以及大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)據(jù)文件供學(xué)生使用。接著，介紹Gurobi中的常用參數(shù)及Callback命令，實(shí)現(xiàn)對(duì)求解過(guò)程的控制，同時(shí)幫助學(xué)生在實(shí)踐中進(jìn)一步理解運(yùn)籌學(xué)理論和算法。最后，介紹Gurobi求解多場(chǎng)景、多目標(biāo)問(wèn)題的方法，以及借助分段線性函數(shù)求解非線性規(guī)劃問(wèn)題的技巧。

（三）? 管理科學(xué)與工程中常見(jiàn)的優(yōu)化問(wèn)題及建模

這部分內(nèi)容講授管理科學(xué)中的選址問(wèn)題、集合劃分/覆蓋問(wèn)題、車輛路徑問(wèn)題等經(jīng)典的優(yōu)化問(wèn)題。選址問(wèn)題包括設(shè)施選址和樞紐選址，在生產(chǎn)生活、物流，甚至軍事中都有著非常廣泛的應(yīng)用；集合劃分/覆蓋問(wèn)題則可應(yīng)用于乘務(wù)計(jì)劃、車輛周轉(zhuǎn)、物料分割等領(lǐng)域；車輛路徑問(wèn)題是交通和物流領(lǐng)域中最經(jīng)典的優(yōu)化問(wèn)題，物流配送、運(yùn)輸服務(wù)中的許多問(wèn)題都可以看作是車輛路徑問(wèn)題的變型。

在學(xué)習(xí)優(yōu)化模型及軟件課程之前，部分學(xué)生通過(guò)競(jìng)賽接觸過(guò)一些優(yōu)化問(wèn)題，但是沒(méi)有經(jīng)過(guò)系統(tǒng)的建模訓(xùn)練，缺乏從實(shí)際問(wèn)題中提煉數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的能力。本課程從實(shí)際案例引出經(jīng)典的優(yōu)化問(wèn)題，給出決策變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)和模型參數(shù)的規(guī)范定義，引導(dǎo)學(xué)生逐步完成基礎(chǔ)模型的建立，培養(yǎng)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的能力。然后，給出大規(guī)模案例，指導(dǎo)學(xué)生在“Python+Gurobi”的環(huán)境求解建好的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，并嘗試調(diào)整Gurobi的參數(shù)，加快求解大規(guī)模規(guī)劃模型的速度。此外，結(jié)合應(yīng)用場(chǎng)景的有界性、動(dòng)態(tài)性等特征，擴(kuò)展基礎(chǔ)模型，使其更加貼近實(shí)際。最后，針對(duì)具體的優(yōu)化問(wèn)題，介紹不同的建模角度，比如基于弧的模型、基于路徑的模型等，開(kāi)拓學(xué)生的建模思路。

（四）? 精確和啟發(fā)式算法

使用Gurobi直接求解，通常只能得到中等規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題的解。為解決大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題，往往需要設(shè)計(jì)精確或啟發(fā)式算法，將大規(guī)模問(wèn)題分解為一系列小規(guī)模問(wèn)題，采用求解器或設(shè)計(jì)規(guī)則快速得到小規(guī)模問(wèn)題的解，然后再構(gòu)造原問(wèn)題的可行解或最優(yōu)解。常用的精確算法包括Benders分解算法和列生成算法；啟發(fā)式算法包括鄰域搜索算法、模擬退火算法、遺傳算法和蟻群優(yōu)化算法。本課程重點(diǎn)講授精確算法的原理及編程實(shí)現(xiàn)。

本課程首先回顧了凸集的基本概念和定理，以及線性規(guī)劃對(duì)偶理論，作為講解Benders分解算法的基礎(chǔ)。然后，介紹經(jīng)典Benders分解算法的原理和實(shí)現(xiàn)過(guò)程，以及Benders分解算法在選址優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用；進(jìn)一步的，指出經(jīng)典Benders分解算法的缺陷，從而引出改進(jìn)的Benders算法框架——結(jié)合求解器callback功能的branch-and-Benders-cut算法。

在列生成算法部分，本課程借助物料分割問(wèn)題引出列生成算法的概念，并通過(guò)單純形法講解列生成算法的原理和步驟；然后，從原理、操作步驟等方面，對(duì)比Benders分解算法和列生成算法；接著，介紹列生成算法在車輛路徑優(yōu)化、乘務(wù)排班優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用。

本課程精確算法涉及的理論基礎(chǔ)，都可以在運(yùn)籌學(xué)課程中找到，比如凸集理論、對(duì)偶理論、檢驗(yàn)數(shù)等，因此通過(guò)講授算法，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)運(yùn)籌學(xué)理論基礎(chǔ)的理解。此外，為幫助學(xué)生盡快上手，本課程提供經(jīng)典Benders分解和列生成算法案例的Python語(yǔ)言代碼。精確算法的編程實(shí)現(xiàn)過(guò)程，整合學(xué)生所學(xué)的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、運(yùn)籌優(yōu)化等知識(shí)，提高學(xué)生動(dòng)手解決實(shí)際問(wèn)題的能力和信心。

四? 教學(xué)方法

與運(yùn)籌學(xué)、最優(yōu)化等基礎(chǔ)理論課程不同，優(yōu)化模型及軟件課程強(qiáng)調(diào)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、建立模型、編程求解的實(shí)踐能力。相應(yīng)的，教學(xué)方法也有極大的區(qū)別。

（一）? 課堂上機(jī)練習(xí)

優(yōu)化模型及軟件課程有三分之一左右的課時(shí)講授求解器的使用，其中一半為上機(jī)練習(xí)。具體而言，90分鐘的課堂，前45分鐘介紹求解器的使用，并給出練習(xí)題，后45分鐘上機(jī)做題鞏固知識(shí)點(diǎn)，遇到問(wèn)題由教師當(dāng)堂解答。課程統(tǒng)一使用Python語(yǔ)言，避免教師在不同編程語(yǔ)言之間切換。此外，課程提供一定數(shù)量的Python程序模板，學(xué)生在初期可以通過(guò)修改模板中的命令建立簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型，其注意力更多地集中于求解器的使用流程而不是編程語(yǔ)言的細(xì)節(jié)。

（二）? 課下在線交流

鼓勵(lì)學(xué)生在課下通過(guò)課程群提問(wèn)交流。由于課下作業(yè)需要編程完成，學(xué)生在課程初期難免遇到編程上的問(wèn)題，很可能被卡在一個(gè)很小的程序細(xì)節(jié)上。教師通過(guò)學(xué)生發(fā)送的“程序報(bào)錯(cuò)”截圖，可以較快地定位錯(cuò)誤所在并幫助學(xué)生調(diào)試。這一過(guò)程既是對(duì)教師調(diào)試能力的提升，也能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)教師的信任，以及對(duì)課程的興趣。教師也通過(guò)課程群，發(fā)送求解器和算法的新聞，讓學(xué)生了解學(xué)術(shù)界和業(yè)界的前沿成果。

（三）? 開(kāi)放的課程報(bào)告

優(yōu)化模型及軟件以課程報(bào)告的形式考核學(xué)生掌握程度。課程報(bào)告的選題是開(kāi)放的，包括不同求解器的求解效率對(duì)比實(shí)驗(yàn)，經(jīng)典優(yōu)化類論文的算法實(shí)現(xiàn)，身邊的建模優(yōu)化問(wèn)題及求解等。過(guò)去兩年，有學(xué)生選擇經(jīng)典算法復(fù)現(xiàn)，并基于公開(kāi)數(shù)據(jù)集，檢驗(yàn)算法效率；也有學(xué)生研究“北京理工大學(xué)建筑景點(diǎn)拍攝路線規(guī)劃”問(wèn)題，建立車輛路徑優(yōu)化模型并設(shè)計(jì)算法。在最后兩節(jié)課，學(xué)生在課堂匯報(bào)自己的選題及擬采取的研究方案時(shí)，與教師和其他學(xué)生討論方案的可行性；結(jié)課后30天，學(xué)生提交課程報(bào)告。這一過(guò)程可以看作是縮微版的項(xiàng)目研究，學(xué)生可以提前了解未來(lái)的學(xué)術(shù)研究或工程項(xiàng)目。

五? 結(jié)束語(yǔ)

本文收集并分析了我國(guó)開(kāi)設(shè)管科類專業(yè)的主要高校的培養(yǎng)方案，發(fā)現(xiàn)絕大部分高校運(yùn)籌優(yōu)化類課程存在重視理論和概念、忽視應(yīng)用和實(shí)踐的問(wèn)題，與業(yè)界對(duì)運(yùn)籌優(yōu)化類人才的需求有較大偏差；少數(shù)高校已開(kāi)設(shè)建模與優(yōu)化等應(yīng)用實(shí)踐課程，但也存在講授內(nèi)容與運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)難成體系的問(wèn)題。結(jié)合北京理工大學(xué)信息管理與信息系統(tǒng)專業(yè)開(kāi)設(shè)的課程優(yōu)化模型及軟件，本文探討了建模優(yōu)化實(shí)踐課程的教學(xué)目標(biāo)、課程內(nèi)容及教學(xué)方法。通過(guò)建模與優(yōu)化課程的建設(shè)，完善運(yùn)籌優(yōu)化類課程體系，形成“基礎(chǔ)理論+應(yīng)用實(shí)踐”的培養(yǎng)模式，使得管理科學(xué)與工程類專業(yè)更適應(yīng)數(shù)字經(jīng)濟(jì)時(shí)代業(yè)界對(duì)運(yùn)籌優(yōu)化人才的要求。

參考文獻(xiàn)：

[1] 黃宏博，潘淑文.數(shù)據(jù)智能類專業(yè)最優(yōu)化類課程教學(xué)研究[J].高教學(xué)刊，2020（21）：113-115.

[2] 陳士濤，宋志華，高楊軍，等.系統(tǒng)與優(yōu)化類課程教學(xué)體系“三化”改革探索[J].工業(yè)與信息化教育，2019（9）：25-28.

[3] 李順杰.運(yùn)籌學(xué)與最優(yōu)化課程教學(xué)研究[J].高教學(xué)刊，2015（21）：64-65.

[4] 覃毅延，東方.管理類專業(yè)中“運(yùn)籌學(xué)”課程教學(xué)探索[J].物流工程與管理，2018，40（1）：72-73.

[5] 達(dá)摩院[EB/OL].[2023-11-20].https：//damo.alibaba.com/labs/decision-intelligence.

[6] 杉數(shù)科技-杉數(shù)客戶案例中心[EB/OL].[2023-11-20].https：//www.shanshu.ai/case.

[7] GUROBI中國(guó)[EB/OL].[2023-11-20].http：//www.Gurobi.cn/index.asp.

[8] IBM ILOG CPLEX Optimization Studio -IBM 中國(guó)[EB/OL]. [2023-11-20]. https：//www.ibm.com/cn-zh/products/ilog-cplex-optimization-studio.

[9] 高德毅，宗愛(ài)東.課程思政：有效發(fā)揮課堂育人主渠道作用的必然選擇[J].思想理論教育導(dǎo)刊，2017（1）：31-34.

[10] 田鈞方，鐘石泉，賈寧，等.運(yùn)籌學(xué)課程思政建設(shè)的探索與實(shí)踐[J].中國(guó)多媒體與網(wǎng)絡(luò)教學(xué)學(xué)報(bào)，2021（9）：227-229.

[11] Decision Tree for Optimization Software[EB/OL].[2023-11-23].http：//plato.asu.edu/bench.html.