［摘? 要］ 在HPM視角下的教學(xué)中，教師應(yīng)基于“大觀念、大主題、大單元”的教學(xué)理念，準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)史料的“深度”，構(gòu)建符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律、適合學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)和感悟數(shù)系擴(kuò)充的原則，實(shí)現(xiàn)數(shù)集的再一次擴(kuò)充. 同時(shí)，設(shè)置合適的問(wèn)題串，使學(xué)生在新概念生成的過(guò)程中，提高自己的理性思維能力，實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的自主探究.

［關(guān)鍵詞］ HPM；數(shù)系擴(kuò)充；復(fù)數(shù)概念；概念教學(xué)；大觀念

HPM是History and Pedagogy of Mathematics的簡(jiǎn)稱(chēng)，即數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育. HPM領(lǐng)域中有一項(xiàng)非常重要的工作，即在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，通過(guò)直接展現(xiàn)歷史、間接借鑒歷史或者深度挖掘歷史背景（數(shù)學(xué)生活、數(shù)學(xué)文化等），體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)自然產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程，強(qiáng)調(diào)合理地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題. 在HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)可以給學(xué)生還原數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程，還原歷史“真相”. 但是，有的數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的歷史過(guò)程漫長(zhǎng)且思維難度很大，對(duì)于高中生而言，如果處理不好，會(huì)讓他們的思維在歷史問(wèn)題中輾轉(zhuǎn)而無(wú)法自拔，造成喧賓奪主，達(dá)不到預(yù)期的教學(xué)效果. 這個(gè)時(shí)候，就需要教師深入了解數(shù)學(xué)史，挖掘其本質(zhì)，構(gòu)建符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律、適合學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的教學(xué)情境展開(kāi)教學(xué)活動(dòng)［1］.

“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”是人教A版必修第二冊(cè)7.1節(jié)的內(nèi)容. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出：“復(fù)數(shù)是一類(lèi)重要的運(yùn)算對(duì)象，有廣泛的運(yùn)用. 本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生通過(guò)方程求解，理解引入復(fù)數(shù)的必要性，了解數(shù)系的擴(kuò)充，掌握復(fù)數(shù)的表示、運(yùn)算及其幾何意義.”下面，筆者對(duì)本節(jié)課教學(xué)進(jìn)行分析，供同行參考指正.

教學(xué)現(xiàn)狀及分析

1. 問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)沒(méi)有體現(xiàn)引入復(fù)數(shù)的必要性

概念的產(chǎn)生要么是生活、生產(chǎn)的需要，要么是數(shù)學(xué)內(nèi)部解決問(wèn)題的需要. 在引入復(fù)數(shù)的過(guò)程中，部分教師從解方程的角度用如下幾個(gè)問(wèn)題去引導(dǎo)學(xué)生：①在自然數(shù)集內(nèi)求關(guān)于x的方程x+1=0的解；②在整數(shù)集內(nèi)求關(guān)于x的方程2x+1=0的解；③在有理數(shù)集內(nèi)求關(guān)于x的方程x2=2的解；④在實(shí)數(shù)集內(nèi)求關(guān)于x的方程x2=-1的解. 這些問(wèn)題看似十分符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律——讓學(xué)生一步一步認(rèn)識(shí)到如果在原數(shù)集范圍內(nèi)方程無(wú)解，那么就需要對(duì)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充，使方程在新的數(shù)集范圍內(nèi)有解——但是根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，學(xué)生為什么會(huì)考慮方程如何才能有解，且學(xué)生會(huì)認(rèn)為關(guān)于x的方程x2=-1在實(shí)數(shù)集內(nèi)無(wú)解是再正常不過(guò)的一件事，為什么還要對(duì)它們進(jìn)行研究. 整個(gè)情境不僅不符合復(fù)數(shù)發(fā)生和發(fā)展的過(guò)程，也沒(méi)有體現(xiàn)引入復(fù)數(shù)的必要性，這只是教師為了情境而創(chuàng)設(shè)情境.

還有部分教師采用的是意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹提出的一個(gè)問(wèn)題：將10分為兩部分，使兩部分的乘積等于40，這兩部分分別是多少？在實(shí)際課堂中，學(xué)生是這樣解答的：設(shè)這兩部分分別為x，y，則x+y=10，

xy=40，對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)可得x2-10x+40=0. 因?yàn)棣?0，所以一元二次方程x2-10x+40=0無(wú)實(shí)數(shù)解，也就是不存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足方程x2-10x+40=0. 這個(gè)時(shí)候，教師話(huà)鋒一轉(zhuǎn)：為什么這樣的方程無(wú)實(shí)數(shù)解呢？更有教師提出：函數(shù)y=x2-10x+40的圖象表明方程x2-10x+40=0的兩根之和為函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)軸上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的2倍，兩根之積為函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，我們可以清楚地看到兩根之和與積所在的位置，卻找不到這兩根……它們都去哪兒了呢？眾所周知，在初中，學(xué)生學(xué)習(xí)根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，教師都會(huì)強(qiáng)調(diào)利用根與系數(shù)的關(guān)系無(wú)法說(shuō)明根的存在性；同時(shí)，像x2-10x+40=0這樣的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解在學(xué)生的心中已是定論，那么還有討論的必要嗎？教師在這個(gè)時(shí)候提出這樣的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生而言，其實(shí)就是多此一舉，沒(méi)有繼續(xù)研究的必要，也就是說(shuō)這樣的問(wèn)題情境是不符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的.

2. 數(shù)系擴(kuò)充的學(xué)習(xí)過(guò)程缺少方法論的研究

在實(shí)際教學(xué)中，部分教師采用一系列解方程的問(wèn)題情境，因?yàn)闆](méi)有更深入的研究，所以講授的僅僅是數(shù)集的擴(kuò)充，而不是數(shù)系的擴(kuò)充.即講解時(shí)，只關(guān)心有沒(méi)有擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集，而不關(guān)心為什么要擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集，擴(kuò)充的數(shù)是哪些數(shù)，擴(kuò)充的原則是什么. 使得整個(gè)講授過(guò)程缺少了思想，失去了靈魂，學(xué)生學(xué)習(xí)完本節(jié)課內(nèi)容后，沒(méi)有獲得研究此類(lèi)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)和方法，以及可持續(xù)學(xué)習(xí)的能力.

3. 相關(guān)數(shù)學(xué)符號(hào)的引入邏輯的表述不準(zhǔn)確

有些教師在引入虛數(shù)單位“i”之前，在“自然數(shù)集→整數(shù)集→有理數(shù)集→實(shí)數(shù)集”的擴(kuò)充過(guò)程中，逐步滲透分?jǐn)?shù)線(xiàn)“—”和根號(hào)“”的由來(lái)，類(lèi)比引入虛數(shù)單位“i”，看起來(lái)似乎合情合理，但是仔細(xì)思考后就會(huì)發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)線(xiàn)“—”和根號(hào)“”代表的都是一種運(yùn)算，而虛數(shù)單位“i”則不是，它僅僅是一個(gè)單位符號(hào).

鑒于上述課堂教學(xué)的不足之處，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和認(rèn)知規(guī)律，筆者在HPM視角下，基于“大觀念、大主題、大單元”的教學(xué)理念，提煉數(shù)學(xué)史中相關(guān)內(nèi)容的思想方法，把不符合學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)和認(rèn)知規(guī)律的內(nèi)容加工成為能被學(xué)生接受且不失發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的教學(xué)情境，重新組織本節(jié)課教學(xué)過(guò)程.

我的教學(xué)過(guò)程

1. 教學(xué)目標(biāo)

（1）了解引入復(fù)數(shù)的必要性.

（2）了解數(shù)系擴(kuò)充的一般規(guī)則，了解從實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過(guò)程，感受數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中理性思維的作用，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng).

（3）理解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，理解復(fù)數(shù)的概念，理解復(fù)數(shù)相等的含義.

2. 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的一般規(guī)則，理解復(fù)數(shù)的概念.

難點(diǎn)：對(duì)數(shù)系擴(kuò)充的基本原則以及虛數(shù)單位i的理解.

關(guān)于這節(jié)課的幾點(diǎn)思考

1. 準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)史料中的“深度”，依據(jù)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律重建適合學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的問(wèn)題情境

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確指出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).”創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問(wèn)題情境，是提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的有效通道.

本節(jié)課中，筆者沒(méi)有從復(fù)雜的解三次方程公式的產(chǎn)生過(guò)程說(shuō)起，而是利用學(xué)生可接受的對(duì)方程x3-15x-4=0的求解，分析學(xué)生因式分解的解法和在學(xué)生認(rèn)知能力范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)家的求解過(guò)程，發(fā)現(xiàn)解是一樣，但是求解過(guò)程中出現(xiàn)了現(xiàn)有知識(shí)結(jié)構(gòu)中無(wú)法解釋的一個(gè)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考，誘發(fā)學(xué)生提出問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)到了引入復(fù)數(shù)集的必要性.在數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中，筆者沿著數(shù)學(xué)家們的足跡，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“自然數(shù)集→整數(shù)集→有理數(shù)集→實(shí)數(shù)集”的擴(kuò)充，在擴(kuò)充過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)家們的數(shù)學(xué)思想，正是這樣一個(gè)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律、適合學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生感受到了探究的樂(lè)趣，也實(shí)現(xiàn)了學(xué)生主動(dòng)積極積累從實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集所需要的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2. 結(jié)合概念的生成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維能力

理性思維是人類(lèi)思維的一種高級(jí)形式，它是建立在證據(jù)和邏輯推理上的一種思維能力. 在培養(yǎng)人的理性思維、科學(xué)精神，促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過(guò)程中，數(shù)學(xué)發(fā)揮著不可替代的作用，而這正是學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界必須具備的思維品格.

本節(jié)課中，筆者通過(guò)解三次方程提出疑問(wèn)，啟發(fā)學(xué)生大膽猜想、理性思考疑問(wèn)，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行合作探究，回顧已知的數(shù)系發(fā)展的基本知識(shí)，反思數(shù)系發(fā)展涉及的基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基本技能，讓學(xué)生理性思考必須無(wú)中生有一些“新數(shù)”以及引入“新數(shù)”的原則，體會(huì)數(shù)學(xué)理性思考所帶來(lái)的魅力. 合理引入虛數(shù)單位，整體認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式以及復(fù)數(shù)的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，這些正是學(xué)生對(duì)數(shù)系擴(kuò)充進(jìn)行理性思考的結(jié)果. 這樣一個(gè)認(rèn)知過(guò)程，也是培養(yǎng)學(xué)生理性思維能力的一個(gè)過(guò)程.

3. 設(shè)置合適的問(wèn)題串，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)概念的自主研究

有的教師在概念教學(xué)中常常采用“一個(gè)定義、三項(xiàng)注意”的形式，課堂結(jié)束后，自我感覺(jué)概念講得很清楚，學(xué)生聽(tīng)得很明白. 但這樣的教學(xué)方式?jīng)]有讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力，更沒(méi)有給學(xué)生帶來(lái)繼續(xù)探究下去的動(dòng)力. 長(zhǎng)此以往，學(xué)生就會(huì)感覺(jué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)枯燥且乏味. 因此，教師在概念教學(xué)中，要努力探索概念背后的深層次的數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生成為問(wèn)題探究的主體；提出的有價(jià)值的問(wèn)題要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)層次性，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的過(guò)程中，親身經(jīng)歷概念生成和生長(zhǎng)的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)概念的自主研究.

本節(jié)課中，筆者深入探索復(fù)數(shù)產(chǎn)生的過(guò)程，精心設(shè)置了11個(gè)問(wèn)題，組成問(wèn)題串. 通過(guò)問(wèn)題“在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解關(guān)于x的方程x3-15x-4=0”“對(duì)于這樣的解法你有什么疑惑嗎”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行理性思辨，自主探索問(wèn)題產(chǎn)生的原因.當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)后，筆者又提出問(wèn)題“那我們?nèi)绾蝸?lái)研究它呢”，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想“我們認(rèn)知范圍內(nèi)的數(shù)不夠用了，該怎么辦呢”，促使學(xué)生積極思考要對(duì)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充. 問(wèn)題“在數(shù)集的每一次擴(kuò)充過(guò)程中，我們都是在原來(lái)數(shù)集的基礎(chǔ)上添加一些‘新數(shù)，這些‘新數(shù)需要滿(mǎn)足什么樣的條件才會(huì)被引入”的提出，帶領(lǐng)學(xué)生理性思考數(shù)系擴(kuò)充的目的和原則. 而問(wèn)題6、問(wèn)題7、問(wèn)題8、問(wèn)題9、問(wèn)題10、問(wèn)題11的提出與解決，正是學(xué)生應(yīng)用已掌握的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行自主探究并完成了實(shí)數(shù)集到復(fù)數(shù)集的擴(kuò)充.這樣一個(gè)問(wèn)題串的設(shè)置，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生對(duì)概念的自主探究.

4. 深度把握“大觀念、大主題、大單元”的教學(xué)理念，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科整體性、系統(tǒng)性和聯(lián)系性的發(fā)展

數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性很強(qiáng)的系統(tǒng)性學(xué)科，大家總是想從不斷變化的問(wèn)題中找到不變的、永恒的規(guī)律. 這就要求教師站在更高的角度來(lái)思考和理解知識(shí)，通盤(pán)考慮整個(gè)學(xué)段的知識(shí)，突破單元知識(shí)的壁壘，認(rèn)清單元知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，重組、整合單元知識(shí)，形成完整的知識(shí)鏈，并在平時(shí)的教學(xué)中主動(dòng)帶領(lǐng)學(xué)生構(gòu)建具有“大觀念”的“大主題”和“大單元”的知識(shí)體系［3］，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，不僅僅能學(xué)到知識(shí)，還能提煉思想方法，更重要的是促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科整體性、系統(tǒng)性和聯(lián)系性的發(fā)展.

本節(jié)課中，學(xué)生提出負(fù)數(shù)無(wú)法開(kāi)平方后，筆者并沒(méi)有馬上給出復(fù)數(shù)的相關(guān)定義，而是提出“之前我們有沒(méi)有遇到過(guò)類(lèi)似這樣的問(wèn)題”，引導(dǎo)學(xué)生回顧以前學(xué)習(xí)過(guò)程中有無(wú)相關(guān)聯(lián)的問(wèn)題，這些問(wèn)題的研究思路和解決方法是什么.比如學(xué)生學(xué)習(xí)完指數(shù)函數(shù)后，又會(huì)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及三角函數(shù)等基本函數(shù)進(jìn)行研究，教師在引導(dǎo)中要主動(dòng)提出：我們研究一個(gè)新函數(shù)時(shí)，都會(huì)研究函數(shù)的哪些內(nèi)容呢？以此幫助學(xué)生建立“大觀念、大主題、大單元”下的探索方向. 學(xué)生在這樣的引導(dǎo)下，能很快回憶到研究函數(shù)的“兩域四性一圖”（即定義域、值域、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、周期性、有界性和圖象）. 引導(dǎo)學(xué)生從“自然數(shù)集→整數(shù)集→有理數(shù)集→實(shí)數(shù)集”進(jìn)行擴(kuò)充后，學(xué)生不會(huì)自覺(jué)提出“要研究運(yùn)算律”這樣的問(wèn)題，此時(shí)筆者提出“在數(shù)集的每一次擴(kuò)充過(guò)程中，我們都是在原來(lái)數(shù)集的基礎(chǔ)上添加一些‘新數(shù)，這些‘新數(shù)需要滿(mǎn)足什么樣的條件才會(huì)被引入”這個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生回顧剛學(xué)習(xí)的向量的研究過(guò)程，即“定義→表示→關(guān)注特殊元→兩元關(guān)系及分類(lèi)→構(gòu)造運(yùn)算（運(yùn)算律）及性質(zhì)→應(yīng)用”——這是我們研究新定義的一個(gè)基本研究思路，從而讓學(xué)生明確本節(jié)課的研究對(duì)象和內(nèi)容. 在課堂小結(jié)中，筆者帶領(lǐng)學(xué)生回顧研究思路：“數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)問(wèn)題→探究問(wèn)題的本質(zhì)→回顧數(shù)學(xué)發(fā)展史中有沒(méi)有類(lèi)似問(wèn)題的出現(xiàn)，是如何解決的→對(duì)研究方法進(jìn)行類(lèi)比，得到新的數(shù)集，完成數(shù)系的再一次擴(kuò)充.”對(duì)研究思路的明確是教師對(duì)基于“大觀念”的“大主題”和“大單元”的理解，對(duì)新舊知識(shí)進(jìn)行合理融合、逐漸滲透，讓學(xué)生在一次又一次的探究過(guò)程中，感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性、系統(tǒng)性和聯(lián)系性的重要.

結(jié)束語(yǔ)

HPM視角下問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的重要途徑.在實(shí)際教學(xué)中，教師要對(duì)數(shù)學(xué)史進(jìn)行合理的梳理和取舍，使數(shù)學(xué)史能真正融入課堂. 教師在“大觀念、大主題、大單元”的教學(xué)理念的指導(dǎo)下，主動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想方法發(fā)生和發(fā)展的過(guò)程，促使學(xué)生積極主動(dòng)地進(jìn)行理性思考，積累基本的數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生可持續(xù)學(xué)習(xí)、終身學(xué)習(xí)打下良好的知識(shí)和能力基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

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基金項(xiàng)目：江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度青年教師專(zhuān)項(xiàng)課題“新課程標(biāo)準(zhǔn)下的初高中數(shù)學(xué)銜接的過(guò)渡研究”（C-c/2021/02/91）.

作者簡(jiǎn)介：呂兆勇（1978—），中小學(xué)高級(jí)教師，張家港市學(xué)科帶頭人，從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究工作.