作者簡介：王斌（1982～），男，漢族，甘肅天水人，甘肅省天水市田家炳中學(xué)，研究方向：高中數(shù)學(xué)。

摘? 要：分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，它能夠?qū)?fù)雜的問題分解成若干個簡單的問題，幫助學(xué)生更好地理解和解決這些問題。文章首先針對分類討論思想的內(nèi)涵進行了探討，分析了分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中應(yīng)用的重要性，探討了分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練應(yīng)用中的問題。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合實際提出了分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中的實踐運用策略，旨在通過這樣的探討，充分發(fā)揮分類討論思想的應(yīng)用價值，從而提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性，提升學(xué)生的多元化能力。

關(guān)鍵詞：分類討論思想；高中數(shù)學(xué)；解題訓(xùn)練；應(yīng)用策略

中圖分類號：G633.6??? 文獻標(biāo)識碼：A??? 文章編號：1673-8918（2024）09-0069-05

高中數(shù)學(xué)是一門邏輯性和思維性很強的學(xué)科，它不僅需要學(xué)生掌握基本的概念和定理，還需要學(xué)生具備靈活運用知識的能力。分類討論思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，能夠幫助學(xué)生更好地理解和解決數(shù)學(xué)問題。在高考中，很多題目也經(jīng)常需要使用分類討論思想來解答。因此，探討分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中的應(yīng)用策略具有重要的意義。現(xiàn)階段，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中依然存在一系列問題，而分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中的應(yīng)用能夠很好地解決這些問題并且提升教學(xué)質(zhì)量。

一、 分類討論思想的內(nèi)涵

分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它通過將一個復(fù)雜的問題分解成若干個簡單的問題來解決。在應(yīng)用分類討論思想時，需要確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，將問題按照不同的類型進行分類，然后針對每種類型的問題選擇合適的方法進行解決。分類討論思想的應(yīng)用范圍很廣，在高中數(shù)學(xué)中，很多問題都可以通過分類討論思想得到解決。例如，在解決含參方程或不等式的問題時，可以根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進行分類討論；在解決幾何問題時，可以根據(jù)圖形的不同位置或形狀進行分類討論；在解決數(shù)列或函數(shù)問題時，可以根據(jù)自變量的取值范圍或函數(shù)的不同單調(diào)性進行分類討論。

首先，分類討論思想強調(diào)對每一種類型的問題進行深入分析，針對每種類型的特點選擇合適的解決方法。這需要學(xué)生扎實地掌握各種數(shù)學(xué)知識和方法，能夠靈活運用知識解決實際問題。通過對每種類型問題的細致分析，可以逐步推導(dǎo)出問題的答案或找到解決問題的途徑。

其次，分類討論思想強調(diào)思維的縝密性和完整性。在解決問題時，不僅需要關(guān)注主要問題的解決，還需要對可能出現(xiàn)的各種情況進行充分的考慮。對每種類型的問題，都需要給出相應(yīng)的解答或處理方法，確保解決問題的全面性和完整性。

最后，分類討論思想的應(yīng)用能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和邏輯思維能力。通過運用分類討論思想，學(xué)生可以更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識，提高解題能力和問題解決能力。同時，這種思維方式也可以幫助學(xué)生更好地解決其他學(xué)科的問題，促進其全面發(fā)展。

二、 分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中的應(yīng)用意義

（一）提升解題效率

首先，在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中運用分類討論思想能夠提高學(xué)生的解題思路清晰度。在面對復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生往往感到無從下手，思路容易混亂。而通過分類討論，學(xué)生可以將問題分解成若干個簡單的子問題，使問題的脈絡(luò)更加清晰，更容易把握問題的本質(zhì)和關(guān)鍵點。其次，分類討論思想能夠減少學(xué)生的解題疏漏。在解決數(shù)學(xué)問題時，有些學(xué)生容易忽略一些細節(jié)或特殊情況，導(dǎo)致解題結(jié)果不完整或錯誤。而通過分類討論，學(xué)生可以更加全面地考慮問題，對各種可能的情況進行細致的分析，從而減少了解題的疏漏。再次，分類討論思想能夠提高學(xué)生的解題速度。通過分類討論，學(xué)生可以針對性地分析問題，避免了盲目嘗試和浪費時間的情況。同時，在解決問題時，學(xué)生可以更加熟練地運用數(shù)學(xué)知識，提高了解題的速度和準(zhǔn)確性。最后，分類討論思想的應(yīng)用還能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和邏輯推理能力。通過運用分類討論思想解決問題，學(xué)生需要具備一定的思維能力和邏輯推理能力，而這種能力的培養(yǎng)正是數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一。因此，分類討論思想的應(yīng)用不僅能夠提高解題效率，還能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維能力。

（二）增強思維縝密度

首先，分類討論思想能夠幫助學(xué)生培養(yǎng)思維縝密的習(xí)慣。在解決問題時，學(xué)生需要對問題的各個方面進行細致的分析，對可能出現(xiàn)的各種情況進行全面的考慮。這樣的分析過程可以逐步培養(yǎng)學(xué)生的思維縝密習(xí)慣，使學(xué)生更加注重細節(jié)和全面性。其次，分類討論思想能夠幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)和糾正錯誤。在解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生可能會出現(xiàn)考慮不全面或思維錯誤的情況。而通過分類討論，學(xué)生可以更加全面地分析問題，發(fā)現(xiàn)并糾正自己的錯誤，從而提高了解題的正確性和思維縝密度。再次，分類討論思想能夠幫助學(xué)生提高解題的完整性和規(guī)范性。通過分類討論，學(xué)生可以更加全面地分析問題，對各種情況都進行合理的解答和處理，使解題更加完整和規(guī)范。最后，分類討論思想的應(yīng)用還能夠幫助學(xué)生提高對數(shù)學(xué)知識的掌握和應(yīng)用能力。通過分類討論思想的訓(xùn)練和應(yīng)用，學(xué)生可以更加深入地理解和掌握數(shù)學(xué)知識，提高解題能力和思維能力。同時，這種思維方式也可以幫助學(xué)生更好地解決其他學(xué)科的問題，促進其全面發(fā)展。

（三）促進知識掌握和應(yīng)用

首先，分類討論思想的應(yīng)用有助于學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識。通過分類討論，學(xué)生可以將復(fù)雜的問題分解成若干個簡單的問題，從而更容易理解問題的本質(zhì)和解決方法。在分類討論的過程中，學(xué)生需要回顧和運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，從而加深了對數(shù)學(xué)知識的理解和記憶。其次，分類討論思想有助于提高學(xué)生的解題能力和思維能力。通過分類討論，學(xué)生可以逐步分析問題，找到問題的突破口，并針對性地運用數(shù)學(xué)知識進行解答。這樣的思維方式可以幫助學(xué)生形成良好的解題習(xí)慣，提高學(xué)生的解題能力和思維能力。再次，分類討論思想有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和邏輯推理能力。在運用分類討論思想解決問題時，學(xué)生需要具備嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)思維和邏輯推理能力。通過對問題的合理分類、對每種類型問題的深入分析以及綜合討論的結(jié)果，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和邏輯推理能力。最后，分類討論思想的應(yīng)用還有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實踐能力。通過運用分類討論思想，學(xué)生可以更加全面地分析問題，發(fā)現(xiàn)新的解題方法和思路。同時，在解決實際問題時，分類討論的方法也可以幫助學(xué)生更好地分析問題、找到解決方案，從而培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維和實踐能力。

三、 分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中的問題

（一）分類討論的原因不明確

分類討論思想是高中數(shù)學(xué)中一個重要的思維方式，它通過對問題按照不同的類別進行劃分，逐一討論，最終得出結(jié)論。然而，有些時候，學(xué)生在解題訓(xùn)練中會遇到分類討論的原因不明確的問題，這使得學(xué)生無法確定如何進行分類。究其原因：①問題的條件不夠清晰。有時候，題目中會給出一些模糊的條件，這些條件可能涉及一些不確定性或者多樣性，導(dǎo)致學(xué)生無法準(zhǔn)確地確定問題的分類標(biāo)準(zhǔn)。②學(xué)生對問題的背景不夠了解。有時候，題目中涉及一些學(xué)生不熟悉的概念或者模型，這些概念或者模型可能已經(jīng)對學(xué)生對問題的理解產(chǎn)生了一些干擾。在這種情況下，學(xué)生往往無法確定如何進行分類討論，因為學(xué)生對問題的背景不夠了解，無法確定哪些因素是重要的，哪些因素是不重要的。③學(xué)生對問題的本質(zhì)不夠清楚。有時候，題目中涉及一些復(fù)雜的問題，這些問題可能涉及多個因素和多個層次，使得學(xué)生無法準(zhǔn)確地把握問題的本質(zhì)。在這種情況下，學(xué)生往往無法確定如何進行分類討論，因為學(xué)生無法確定問題的本質(zhì)是什么。

（二）分類討論的方法不恰當(dāng)

首先，分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，它通過將一個復(fù)雜的問題分解成若干個簡單的問題，從而簡化問題的解決過程。然而，在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，有些學(xué)生可能會出現(xiàn)分類討論方法不恰當(dāng)?shù)膯栴}。從分類討論思想的基本步驟來看，主要包括明確討論的對象；確定分類的標(biāo)準(zhǔn)；科學(xué)地劃分類型；逐類分別討論；綜合概括結(jié)論。但是，有些學(xué)生可能會忽視某些步驟，導(dǎo)致分類不清晰或者漏分類。比如在處理不等式問題時，有些學(xué)生可能會忽視對變量正負情況的討論，從而漏掉一些情況。其次，有些學(xué)生可能會過于復(fù)雜地分類，把簡單問題復(fù)雜化。例如，在處理排列組合問題時，有些學(xué)生可能會對每一個排列都進行討論，而不是利用組合的性質(zhì)簡化計算。這樣不僅會增加問題的復(fù)雜性，還可能導(dǎo)致錯誤的結(jié)果。最后，有些學(xué)生可能會在分類后對每一類都采用同樣的方法進行處理，而沒有根據(jù)各類特點采用不同的方法。例如，在處理立體幾何問題時，有些學(xué)生可能會對每一類證明都采用同樣的證明方法，而沒有根據(jù)題目要求選擇合適的方法。這樣做不僅會浪費時間，還可能會因為方法不當(dāng)而導(dǎo)致證明失敗。

（三）對分類結(jié)果的討論不足

首先，分類討論思想通過對問題進行合理分類，并對每一類分別進行討論，從而找到解決問題的最佳途徑。然而，在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，有些學(xué)生可能會出現(xiàn)對分類結(jié)果的討論不足的問題。對分類結(jié)果的討論是分類討論思想的重要組成部分。通過對每一類的結(jié)果進行深入討論，可以發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)和規(guī)律，從而得到更加準(zhǔn)確和全面的答案。但是，有些學(xué)生可能會忽視這個步驟，導(dǎo)致對問題的理解不夠深入。比如在處理函數(shù)問題時，有些學(xué)生可能會只考慮函數(shù)的單調(diào)性而沒有對函數(shù)的極值點進行討論，從而漏掉一些重要的結(jié)果。其次，有些學(xué)生可能會在分類后對每一類都采用同樣的討論方式，而沒有根據(jù)各類特點采用不同的討論方法。例如，在處理排列組合問題時，有些學(xué)生可能會對每一類情況都采用同樣的計算方法，而沒有根據(jù)題目要求選擇合適的方法。這樣做不僅會浪費時間，還可能會因為方法不當(dāng)而導(dǎo)致錯誤的結(jié)果。最后，有些學(xué)生可能會對分類結(jié)果討論的順序不當(dāng)。例如，在處理不等式問題時，有些學(xué)生可能會先考慮絕對值大的情況而沒有考慮絕對值小的情況，或者先考慮特定情況而沒有考慮一般情況。這樣做不僅會漏掉一些重要的情況，還可能會導(dǎo)致結(jié)論不完整或者錯誤。

四、 分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中的實踐運用策略

（一）統(tǒng)計概率的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計概率解題中，分類討論思想的應(yīng)用主要體現(xiàn)在對事件的分類和對概率的分類兩個方面。首先，在對事件的分類方面，分類討論思想要求將復(fù)雜事件分解為簡單事件，并根據(jù)事件的互斥性、獨立性、互逆性等性質(zhì)進行分類。例如，在計算古典概型概率時，需要將事件分為若干個互斥子事件，并分別計算每個子事件的概率，最后根據(jù)概率的加法公式求得總概率。其次，在概率的分類方面，分類討論思想要求根據(jù)已知條件對概率進行分類討論。例如，在求解離散型隨機變量的期望和方差時，需要根據(jù)隨機變量的取值情況將概率分為若干個區(qū)間，并分別計算每個區(qū)間的期望和方差，最后根據(jù)加權(quán)平均值公式求得總期望和方差。最后，分類討論思想在統(tǒng)計概率中的應(yīng)用還表現(xiàn)在對一些復(fù)雜的數(shù)據(jù)進行分類整理、對一些變化的量進行分類討論以及在處理實際問題的數(shù)據(jù)時需要對各種不同的情況進行分類討論等。

舉個例子：在一個盒子中，有10個大小、形狀完全相同的球，其中5個是紅球，5個是藍球。現(xiàn)在我們要從盒子中隨機取出5個球，取到紅球和取到藍球的概率分別是多少？

應(yīng)用分類討論思想來解決這個問題時，可以將取球的情況分為以下幾類：

1. 取到全部紅球或全部藍球：這種情況只有一種，概率為125。

2. 取到部分紅球和部分藍球：這種情況有4種，分別對應(yīng)紅球數(shù)量為1，2，3，4，藍球數(shù)量為4，3，2，1。每種情況的概率可以通過組合數(shù)計算得到。

對每一類情況，需要分別計算其概率，并將所有情況的概率相加，得到總概率。

通過分類討論思想的應(yīng)用，可以將一個復(fù)雜的問題分解為幾個簡單的情況，并分別計算每個情況的概率，最終得到問題的答案。

（二）平面幾何的應(yīng)用

平面幾何解題訓(xùn)練中，分類討論思想的應(yīng)用主要體現(xiàn)在對圖形的分類和對證明方法的分類兩個方面。在對圖形的分類方面，分類討論思想要求根據(jù)圖形的形狀、大小、位置等特征進行分類。例如，在求解兩個圓的位置關(guān)系時，可以根據(jù)兩個圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系將圖形分為相離、相切、相交、內(nèi)含等幾種情況。又如，在求解正多邊形的面積時，可以根據(jù)正多邊形的邊數(shù)將圖形分為三角形、正方形、正五邊形等幾種情況，并分別計算其面積。在證明方法的分類方面，分類討論思想要求根據(jù)題目的要求和條件選擇合適的證明方法。例如，在證明兩個三角形全等時，可以根據(jù)兩個三角形對應(yīng)邊和對應(yīng)角的關(guān)系分為SAS、ASA、AAS等幾種情況，并分別進行證明。又如，在證明函數(shù)的單調(diào)性時，可以根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義將函數(shù)分為單調(diào)遞增、單調(diào)遞減、既不單調(diào)遞增也不單調(diào)遞減等幾種情況，并分別進行證明。最后，分類討論思想在平面幾何中的應(yīng)用還表現(xiàn)在對一些復(fù)雜的圖形進行分解、對一些變化的量進行分類討論以及在處理實際問題的數(shù)據(jù)時需要對各種不同的情況進行分類討論等。

例如，在解決直線和圓的交點問題時，我們可以根據(jù)直線和圓方程的形式分類討論其交點性質(zhì)。當(dāng)直線和圓的方程都是標(biāo)準(zhǔn)形式時，我們可以通過解方程求出交點。當(dāng)直線方程是一般形式、圓方程是標(biāo)準(zhǔn)形式時，我們可以將直線方程代入圓方程求二元一次方程組的解。當(dāng)直線和圓的方程都是一般形式時，我們可以將直線方程代入圓方程計算，再通過求解二次方程來獲取交點的坐標(biāo)。這樣的分類討論有助于學(xué)生遇到幾何問題時快速判斷和選擇解題方法，更好地掌握平面幾何的解題技巧和思路。

（三）數(shù)列問題的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題解題訓(xùn)練中，分類討論思想的應(yīng)用主要體現(xiàn)在對數(shù)列的項進行分類和對數(shù)列的通項公式進行分類兩個方面。在對數(shù)列的項進行分類方面，分類討論思想要求根據(jù)數(shù)列項的特征進行分類。例如，在求解等差數(shù)列前n項和的最值時，可以根據(jù)等差數(shù)列的首項和公差的大小關(guān)系分為非負數(shù)列、非正數(shù)列等幾種情況。又如，在求解等比數(shù)列的項的值時，可以根據(jù)等比數(shù)列的公比和項的序號的關(guān)系分為整除、小數(shù)、分數(shù)等情況。在對數(shù)列的通項公式進行分類方面，分類討論思想要求根據(jù)數(shù)列的通項公式的特征進行分類。例如，在求解等差數(shù)列的通項公式時，可以根據(jù)等差數(shù)列的公差和項的序號的關(guān)系分為常數(shù)列、一次函數(shù)、二次函數(shù)等情況。又如，在求解等比數(shù)列的通項公式時，可以根據(jù)等比數(shù)列的公比和項的序號的關(guān)系分為常數(shù)列、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等情況。分類討論思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用還表現(xiàn)在對一些復(fù)雜的數(shù)列進行分解、對一些變化的量進行分類討論以及在處理實際問題的數(shù)據(jù)時需要對各種不同的情況進行分類討論等。

以下列問題為例闡述分類討論思想在數(shù)列問題解題中的應(yīng)用：在一個等差數(shù)列中，前三項分別為a，b，c，求這個等差數(shù)列的通項公式。

在運用分類討論思想來解決這個問題時，可以將求通項公式的過程分為以下幾步：

1. 考慮等差數(shù)列的性質(zhì)，前三項分別為a，b，c，那么公差d=b-a=c-b=c-a2。

2. 根據(jù)公差和項的序號的關(guān)系，可以分為以下幾種情況：

當(dāng)公差為0時，這個等差數(shù)列的通項公式為常數(shù)列，因此前三項分別為a，a，a，那么公差也為0，通項公式為an=a。

當(dāng)公差不為0時，這個等差數(shù)列的通項公式是一次函數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可以得出通項公式為an=a+d（n-1）。

在這個問題的解決過程中，運用了分類討論思想，將問題分解為幾個簡單的情況，并分別進行求解。這種方法使問題更加清晰易懂，也更容易找到解決問題的途徑。

通過這個例子，可以看到分類討論思想在數(shù)列問題解題中的應(yīng)用。通過對數(shù)列的項和通項公式進行分類討論，可以更加準(zhǔn)確地解決數(shù)列問題。

（四）函數(shù)知識的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識解題訓(xùn)練中，分類討論思想的應(yīng)用主要體現(xiàn)在對函數(shù)性質(zhì)的分類和對函數(shù)圖像的分類兩個方面。在對函數(shù)性質(zhì)的分類方面，分類討論思想要求根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性等性質(zhì)進行分類。例如，在求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，需要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)分為單調(diào)遞增、單調(diào)遞減、既不單調(diào)遞增也不單調(diào)遞減等幾種情況。又如，在求解函數(shù)的值域時，需要根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將函數(shù)分為奇函數(shù)、偶函數(shù)、既奇又偶函數(shù)等幾種情況。在對函數(shù)圖像的分類方面，分類討論思想要求根據(jù)函數(shù)圖像的形狀、位置、變化趨勢等特征進行分類。例如，在求解函數(shù)的零點時，需要根據(jù)函數(shù)圖像與x軸的交點位置將函數(shù)分為有零點、無零點等幾種情況。又如，在求解函數(shù)的最值時，需要根據(jù)函數(shù)圖像的最高點和最低點的位置將函數(shù)分為有最值、無最值等幾種情況。分類討論思想在函數(shù)知識解題訓(xùn)練中的應(yīng)用還表現(xiàn)在對一些復(fù)雜的函數(shù)進行分解、對一些變化的量進行分類討論以及在處理實際問題的數(shù)據(jù)時需要對各種不同的情況進行分類討論等。例如，在處理實際問題的數(shù)據(jù)時，需要對各種不同的情況進行分類討論，從而得到更加準(zhǔn)確和全面的答案。

以一個具體的函數(shù)問題為例：函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x+2）為偶函數(shù)，求證：f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱。

在應(yīng)用分類討論思想來解決這個問題時我們可以將證明過程分為以下幾步：

1. 根據(jù)題意，我們知道f（x+2）是偶函數(shù)，這意味著f（x+2）的圖像關(guān)于y軸對稱。

2. 由于f（x+2）的圖像關(guān)于y軸對稱，我們可以推斷出f（x）的圖像也關(guān)于y軸對稱。

3. 我們可以通過繪制簡單的圖形來幫助理解這個證明過程。例如，假設(shè)f（x）表示的是一個以y軸為對稱軸的拋物線，那么f（x+2）表示的則是一個平移了2個單位后的拋物線，仍然以y軸為對稱軸。

在這個證明過程中，運用分類討論思想將問題分解為幾個簡單的情況，并分別進行證明。這種方法使問題更加清晰易懂，也更容易找到解決問題的途徑。

五、 結(jié)論

分類討論思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，能夠幫助學(xué)生更好地理解和解決高中數(shù)學(xué)問題。在解題訓(xùn)練中，學(xué)生需要掌握分類討論思想的應(yīng)用策略。同時，教師也需要明確分類討論思想的應(yīng)用意義，并且針對分類討論思想應(yīng)用存在的問題進行分析，提出可行策略并加強引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生掌握分類討論思想，提高學(xué)生的解題能力和思維能力。

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