【關(guān)鍵詞】思維進(jìn)階；元指導(dǎo)；思維之道

【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2023）46-0087-03

數(shù)學(xué)思維有“道”可循，有“導(dǎo)”可依。元指導(dǎo)是為了有效幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題，從數(shù)學(xué)基本原理、規(guī)律、要素等出發(fā)，對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本內(nèi)容、基本方式、基本過程進(jìn)行指導(dǎo)的教學(xué)方式。本文所提“元指導(dǎo)”主要涉及四個方面：一是揭示思維的原理與規(guī)律；二是揭示思維的緣由與依據(jù)；三是揭示思維的策略與方法；四是揭示思維的路徑與節(jié)點。

1.揭示思維的原理與規(guī)律

“從宏觀到微觀”是一種重要的學(xué)習(xí)邏輯，先總體認(rèn)識再局部細(xì)化，具有進(jìn)階取向。在數(shù)學(xué)內(nèi)部，無論是認(rèn)識空間幾何體，還是認(rèn)識圓錐曲線，都遵循這樣的學(xué)習(xí)邏輯。因此，教師在教學(xué)中要避免向?qū)W生“兜售”零件，應(yīng)強(qiáng)化“整車”思維，“從宏觀到微觀”促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展。

以人教A版高中數(shù)學(xué)（下同）必修一“n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”的教學(xué)為例，需要經(jīng)歷提出問題、猜想結(jié)論、驗證結(jié)論、完善結(jié)論、形成觀念的數(shù)學(xué)思維活動。教學(xué)時，教師可先從an運算的三種形式入手，讓學(xué)生從整體上把握知識的結(jié)構(gòu)，然后再探究解方程：xn=a（n＞1，n∈N*）。鑒于學(xué)生在初中已經(jīng)知道a-n=[1an]（a≠0，n∈N），教師在教學(xué)時自然可以提出問題：指數(shù)冪中的指數(shù)的范圍能否再拓展？2[12]有意義嗎？引導(dǎo)學(xué)生列表呈現(xiàn)2的整數(shù)指數(shù)冪與指數(shù)之間的關(guān)系，觀察相鄰三個整數(shù)指數(shù)冪之間的關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)當(dāng)中間指數(shù)是左右指數(shù)的平均數(shù)時，它所對應(yīng)的冪是左右指數(shù)對應(yīng)冪的乘積的算術(shù)平方根。從直覺到邏輯，設(shè)想依據(jù)整數(shù)指數(shù)冪運算法則，可以得到a[mn]=[amn]（a≥0，m，n∈N*，n＞1）和a[-mn]=[1amn]（a＞0，m，n∈N*，n＞1）。通過不同學(xué)段數(shù)學(xué)知識同構(gòu)式探究的體驗，引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)學(xué)一般觀念：在不改變原來的運算法則的基礎(chǔ)上把原有的數(shù)推廣到新的數(shù)，新產(chǎn)生的數(shù)之間、新產(chǎn)生的數(shù)與原有的舊數(shù)之間的運算，要采用原有的、擴(kuò)充前的運算法則。

2.揭示思維的緣由與依據(jù)

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)揭示思維的緣由與依據(jù)，幫助學(xué)生理清一種事物是如何指示或預(yù)示另一種事物的，從而形成循證、明理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神。

例如，選擇性必修二“等比數(shù)列的前n項和公式”可采用以下教學(xué)方式展開。

第一，錨定目標(biāo)。教師引導(dǎo)學(xué)生觀察等差數(shù)列前n項和公式，發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列前n項和公式也應(yīng)用首項、末項、公比等盡可能少的已知項或值來表示，即用a1、an、q等少數(shù)項或值表示a2、a3…an-1等中間項的和，形成“化多為少，簡化求和”的一般觀念。第二，明晰依據(jù)。等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法是倒序相加法，即m+n=p+q（m，n，p，q∈N*） am+an=ap+aq。類比這種“構(gòu)造相同項，化多為少”的算理，等比數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)的思路和方法也應(yīng)從等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，即an=qan-1，[a2a1]=[a3a2]=…=[anan-1]=q出發(fā)，探索解決問題的途徑。第三，構(gòu)建聯(lián)系。從項的關(guān)系走向和的關(guān)系，通過合比定理建立條件[a2a1]=[a3a2]=…=[anan-1]=q和目標(biāo)Sn=a1+a2+…+an之間的聯(lián)系，可解得Sn=[a1（1-qn）1-q]（q≠1）。第四，以形析數(shù)。等差數(shù)列前n項和公式的幾何背景是梯形的面積公式，觀察希爾賓斯基三角形（見圖1），可以發(fā)現(xiàn)分形的最大特點是“自相似”，即客觀事物的局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時間、空間等方面具有相似性。由幾何直觀引發(fā)代數(shù)直觀，Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q（a1+a2+a3+…+an-1）=a1+qSn-1=a1+q（Sn-an），其中Sn和Sn-1具有相似性。由此可得Sn=[a1（1-qn）1-q]（q≠1）。第五，回溯本質(zhì)。從Sn=a1+a2+…+an變?yōu)镾n=[a1（1-qn）1-q]（q≠1），實質(zhì)上是將中間項的和用a1、an、q來表示，也可以通過構(gòu)造相同項，消去中間項，至此錯位相減法自然生成。

探究解決問題的路徑和方法，應(yīng)關(guān)注直覺背后的邏輯和證據(jù)。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把握事物之間的聯(lián)系，形成理據(jù)充分、邏輯自然的思維方式。

3.揭示思維的策略與方法

優(yōu)化問題解決的過程關(guān)鍵在于靈活運用思維策略與方法，有效地引導(dǎo)、點撥和完善學(xué)生的思維。數(shù)學(xué)思維的策略與方法有很多，比如，以數(shù)學(xué)定義本身為切入點、以條件與結(jié)論之間的差異為切入點、以事物的本源為切入點，等等。

以選擇性必修一中“點到直線的距離公式”教學(xué)中的一組問題的設(shè)計為例。

【問題1】已知△ABC三邊長分別為a，b，c如何求其面積呢？

【問題2】已知，A（1，2），B（-1，-1），C（-3，3），如何求△ABC的面積？

【問題3】如何求點C點到AB的距離？

【問題4】設(shè)點P（x0，y0），直線l：Ax+By+C=0（A，B不同時為0），請推導(dǎo)點P到直線l的距離。

【問題5】對P到直線l的距離，除了看成是點P與垂足H間的距離，它還有其他的“身份”嗎？（見圖2）

【問題6】對這張圖你還有何想法？（見圖3）

以上6個問題構(gòu)成思維進(jìn)階的6個層次。問題1“喚醒”學(xué)生已有的知識、方法及解題經(jīng)驗。在解決問題1的基礎(chǔ)上，以點的坐標(biāo)形式變換學(xué)習(xí)條件，呈現(xiàn)問題2，激發(fā)學(xué)生探索新的解決方法，從數(shù)學(xué)概念的外延（三角形的高）自然轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵（點到直線的距離）。問題3以特例的形式給出求點到直線距離的示范性樣本。為了探尋一般性結(jié)論，進(jìn)而提出問題4。首先，解決A=0和B=0的特殊情況；其次，當(dāng)A≠0，B≠0時，設(shè)過點P且與點P垂直的直線方程為y-y0=[BA]（x-x0），與直線l的方程Ax+By+C=0聯(lián)立，可解得x=[B2x0-ABy0-ACA2+B2]，[y=-ABx0-A2y0+BCA2+B2]；最后，利用兩點間的距離公式求得[（x-x0）2+（y-y0）2]=[Ax0+By0+CA2+B2]。反思求解過程，運算的煩瑣與復(fù)雜引發(fā)學(xué)生的思維沖突，進(jìn)而產(chǎn)生尋求簡化之道的內(nèi)在需求。此時教師對求解目標(biāo)深度追問：求x，y的值方便嗎？如果改成求x-x0，y-y0的值會不會簡單一些呢？能否直接求出（x-x0）2+（y-y0）2的值呢？啟發(fā)學(xué)生嘗試整體化處理問題。問題5另辟蹊徑，引導(dǎo)學(xué)生多角度理解點到直線的距離，構(gòu)建并完善知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。問題6引出教材的處理方法，讓學(xué)生自然地發(fā)現(xiàn)面積法解決問題。

在解決問題中抓住恰當(dāng)?shù)臅r機(jī)，介入合適的思維策略和方法，有助于學(xué)生完善思維結(jié)構(gòu)，提升思維能力，進(jìn)而由具體事例中的處理經(jīng)驗遷移為解決一般問題的方法論。

4.揭示思維的路徑與節(jié)點

教師開展單元教學(xué)的過程中，應(yīng)強(qiáng)化整體化的思維教學(xué)，探索問題解決的一般思路和基本路徑，揭示數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在邏輯。

例如，必修二“平面向量及其應(yīng)用”單元主要包括四個方面的內(nèi)容：向量的概念、向量的運算、向量的定理以及坐標(biāo)表示、向量的應(yīng)用。提出研究向量問題、構(gòu)建向量概念時，教師可圍繞“向量是一種怎樣的數(shù)學(xué)工具”這一大任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生探究向量的特征、表示及性質(zhì)，明晰用數(shù)學(xué)的觀點刻畫和研究現(xiàn)實事物的方法和途徑。對于向量的運算，教師可在“如何借助代數(shù)運算刻畫幾何對象”這一大任務(wù)的驅(qū)動下，揭示幾何直觀與代數(shù)運算之間關(guān)系。向量加法的平行四邊形法則為平面向量基本定理提供依據(jù)，教師可圍繞“如何表示平面內(nèi)任意向量”這一大任務(wù)，給出用代數(shù)方法論證幾何關(guān)系的數(shù)學(xué)方法。對于向量的應(yīng)用，教師可圍繞“用向量法解決問題”這一大任務(wù)，構(gòu)建向量模型解決幾何問題、物理問題、三角問題等，將數(shù)與形融為一體。

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生明晰知識發(fā)展的基本路徑，理解認(rèn)知環(huán)節(jié)之間的相互聯(lián)系和影響，在基于具體事例的真實情境中體驗思維持續(xù)、進(jìn)階的演變過程。

（作者單位：江蘇省宜興市丁蜀高級中學(xué)）

本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度重點課題“學(xué)習(xí)進(jìn)階理論下高中數(shù)學(xué)單元學(xué)習(xí)元指導(dǎo)研究”（B/2022/03/65）、江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度重點課題“大概念視角下的高中數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)實踐研究”（B/2021/02/28）階段性研究成果。