李秀文

摘要：當(dāng)前，小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中存在缺乏對(duì)算理與算法融合的教學(xué)行為與意識(shí)。通過基于算理與算法深度融合的教學(xué)實(shí)踐，立足多元表征、數(shù)形結(jié)合、自主探究等方式，能夠有效引導(dǎo)學(xué)生理解算理、掌握算法，促進(jìn)算理與算法的深度融合，使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：算理；算法；深度融合；數(shù)學(xué)運(yùn)算；小學(xué)數(shù)學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，運(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力，指向能夠明晰運(yùn)算的對(duì)象和意義，理解算法與算理之間的關(guān)系；能夠理解運(yùn)算的問題，選擇合理簡潔的運(yùn)算策略解決問題；能夠通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力的提升。在“數(shù)與運(yùn)算”部分主要強(qiáng)調(diào)數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，學(xué)生要經(jīng)歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法；感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)。

運(yùn)算能力是構(gòu)成小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是小學(xué)生理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)不可或缺的能力之一。而在實(shí)際教學(xué)中，很多教師忽略了算理與算法的融合，運(yùn)用大量簡單重復(fù)的機(jī)械式訓(xùn)練進(jìn)行教學(xué)，采取“題海戰(zhàn)術(shù)”。大量計(jì)算訓(xùn)練確實(shí)是鞏固算法的重要途徑和方法，但過多的機(jī)械、簡單、重復(fù)的訓(xùn)練會(huì)使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生抵觸情緒。小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的核心所在是在理解算理的基礎(chǔ)上合理運(yùn)用算法，對(duì)計(jì)算進(jìn)行簡潔、快速、準(zhǔn)確地展開。也就是說，算理指向了“為什么這樣算”，體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)運(yùn)算的意義、法則與性質(zhì)的深度理解，以及對(duì)數(shù)學(xué)計(jì)算做出的科學(xué)化與合理化的思考、判斷與執(zhí)行；算法是基于算理基礎(chǔ)上的手段，體現(xiàn)的是工具意義。運(yùn)算能力的核心成分是在理解算理的基礎(chǔ)上尋求合理簡潔的途徑解決問題。這里所說的算理，具體地說就是基于運(yùn)算意義、運(yùn)算律、運(yùn)算性質(zhì)以及運(yùn)算自身特點(diǎn)進(jìn)行判斷、推理和選擇的思考過程。

小學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算能力的培養(yǎng)與發(fā)展，關(guān)鍵在于理解算理，基于運(yùn)算特征科學(xué)、合理、靈活地選擇具體的算法。那么，如何避免教學(xué)中的“題海戰(zhàn)術(shù)”，用符合學(xué)生認(rèn)知的手段，尊重學(xué)生身心健康發(fā)展的科學(xué)態(tài)度，幫助學(xué)生理解算理、學(xué)會(huì)算法，體會(huì)兩者之間的深度融合，理性領(lǐng)悟兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系。小學(xué)數(shù)學(xué)課堂又應(yīng)該如何高效地開展基于算理與算法深度融合的教學(xué)？基于對(duì)計(jì)算教學(xué)策略在小學(xué)實(shí)踐研究的感悟，筆者特整理成文，與同行分享，望激起更多思考。

1? ?算法與算理的辯證關(guān)系

研究數(shù)學(xué)運(yùn)算中的算法與算理，有必要明確兩者的辯證關(guān)系。通俗地講，算理是指計(jì)算的理論依據(jù)，就是計(jì)算的道理。算理一般由數(shù)學(xué)概念、定律、性質(zhì)等構(gòu)成，用其說明計(jì)算過程的合理性和科學(xué)性。算理通常用來解決“為什么”的問題；算法就是計(jì)算的基本程序或者方法，是算理指導(dǎo)下的一些人為規(guī)定，用來說明計(jì)算過程中的規(guī)則和邏輯順序。從存在性講，算理是客觀的，是客觀世界的必然屬性，不以人的意志而轉(zhuǎn)移；算法是主觀的，是人們?cè)谑褂门c學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中人為抽象創(chuàng)造的。從與數(shù)學(xué)運(yùn)算的關(guān)系看，算理是數(shù)學(xué)運(yùn)算的根據(jù)，是“根本準(zhǔn)則”；算法則是數(shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ)，算法是一種運(yùn)算“程序”， 也可以理解為運(yùn)算步驟、操作方法等。從兩者互為依存的關(guān)系看，算理為數(shù)學(xué)運(yùn)算提供了正確的思維方式，保證了計(jì)算的合理性和可行性；而算法是算理的載體，為數(shù)學(xué)運(yùn)算提供了外顯的作用與展示。從數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程與意義看，兩者互相依存，缺一不可，算理與算法不能獨(dú)立產(chǎn)生促使素養(yǎng)有效提升的根本作用。

數(shù)學(xué)運(yùn)算一直推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展，也是新課標(biāo)所強(qiáng)調(diào)的基本素養(yǎng)之一。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、使用數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)運(yùn)算過程中，對(duì)算理與算法來說不能“厚此薄彼”，而是應(yīng)該“深度融合”，這樣才能有效地促進(jìn)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升與發(fā)展。

2? ?算理與算法深度融合教學(xué)的創(chuàng)新實(shí)踐

2.1多元表征加強(qiáng)算理與算法的和諧統(tǒng)一

借助多元表征能幫助學(xué)生深入數(shù)學(xué)的本質(zhì)，突出數(shù)學(xué)計(jì)算的一般規(guī)律，建立數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維橫向和縱向的聯(lián)系。對(duì)于從“零起點(diǎn)”的一年級(jí)學(xué)生來說，100以內(nèi)的加（減）運(yùn)算不管是口算還是筆算，都需要經(jīng)歷復(fù)雜的步驟，即“拆”“加（減）”“合”；也要經(jīng)歷算理與算法的體會(huì)與感悟。從一年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知能力看，對(duì)于蘊(yùn)含形象思維之外的感知相對(duì)比較弱，因此，產(chǎn)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感悟與思維構(gòu)建往往是短時(shí)的，容易退化和消散的。那么，對(duì)于口算，如何有效引進(jìn)形象思維開展教學(xué)，在算理與算法相融互通方面就比較考驗(yàn)教師的教學(xué)智慧。

列豎式計(jì)算教學(xué)中，如果只注意“數(shù)位對(duì)齊”，且在加法運(yùn)算時(shí)只關(guān)注個(gè)位滿10進(jìn)1，減法運(yùn)算時(shí)，只關(guān)注“不夠減則從十位借1，并在個(gè)位加10再減”，這種教學(xué)方法忽視了算理與算法的相融互通，容易使教師落入違反學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的“簡單算法”教學(xué)束縛中。學(xué)生對(duì)“規(guī)則”的單一表征容易產(chǎn)生疑惑、遺忘和錯(cuò)誤理解，對(duì)法則的掌握與應(yīng)用更容易形成障礙。此時(shí)，教師應(yīng)該通過多元表征，增加形象思維環(huán)境創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生先理解感悟算理，再提煉算法。用多管齊下、多維驗(yàn)證的方式，讓學(xué)生從動(dòng)作表征、語義表征與符號(hào)表征中體會(huì)算理，且能在演算過程中感悟算法，并熟練掌握算法。以人教版一年級(jí)下冊(cè)“100以內(nèi)的加法與減法”教學(xué)為例，其中，動(dòng)作表征可以通過使用多種學(xué)具，如計(jì)數(shù)工具算數(shù)棒、玩具算盤、幼兒計(jì)算器等，讓學(xué)生在動(dòng)作中體會(huì)數(shù)的加減過程及計(jì)算蘊(yùn)含的形態(tài)特征。語義表征則可以在學(xué)生探索的過程中，通過問題引導(dǎo)學(xué)生思考，如提出“這樣計(jì)算的依據(jù)是什么？”“個(gè)位的數(shù)不夠減，怎么辦？”“從十位上借了1，實(shí)際上是借到了幾個(gè)1？”等，促使學(xué)生展開深入思考，感悟計(jì)算的步驟、程序和方法，形成算理，使計(jì)算印象更為深刻，促使學(xué)生深入思考，并運(yùn)用語言描述計(jì)算原理。符號(hào)表征則引導(dǎo)學(xué)生通過紙和筆畫各種圓圈、方塊等形狀圖形進(jìn)行計(jì)算演示，用分解式表示分的過程，開展豎式和橫式的計(jì)算書寫，培養(yǎng)學(xué)生的初步抽象思維與概括能力。

多元表征的介入能夠推動(dòng)學(xué)生在演算過程中經(jīng)歷多維度的觀察、探索、感悟與思考，讓學(xué)生從具象特征走向抽象思維，融合學(xué)具、動(dòng)作、語言、豎式等形態(tài)，經(jīng)歷“循理悟法”達(dá)成“理”“法”的和諧統(tǒng)一。

2.2數(shù)形結(jié)合促進(jìn)算理與算法的融合

數(shù)形結(jié)合能幫助學(xué)生將抽象的概念轉(zhuǎn)化為具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，從而形成數(shù)學(xué)計(jì)算的思維能力，最終提升學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力。圖形的形象化表達(dá)有助于小學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中形成形象思維，促進(jìn)學(xué)生感悟算理與算法。因此，通過數(shù)形結(jié)合的方式構(gòu)建感悟算理與算法學(xué)習(xí)的場(chǎng)域，有助于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)運(yùn)算，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)乘整數(shù)”的教學(xué)為例，若直接給出情境與問題“每個(gè)風(fēng)箏9.5元，買3個(gè)風(fēng)箏需要付多少錢”，此時(shí)小紅的思路為“9.5元+9.5元+9.5元=28.5元”，小亮的思路為“9.5元=9元5角，9元×3=27元，5角×3=15角，27元+15角=28.5元”，這種缺乏前置算理與算法的鋪墊而提出的數(shù)學(xué)計(jì)算問題，容易造成學(xué)生的思維障礙。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)該從學(xué)生視角出發(fā)，設(shè)計(jì)前后連貫、思維延續(xù)的問題，遵循學(xué)生認(rèn)知“最近發(fā)展區(qū)”，為問題情境的解決做好合理鋪墊。具體來說，可以通過數(shù)形結(jié)合的形式，把計(jì)算對(duì)象適當(dāng)“降維”。例如，可以先進(jìn)行算法探索，感悟算理。教師提出問題：你能計(jì)算0.2×3嗎？學(xué)生可能會(huì)把乘法轉(zhuǎn)化為相同加數(shù)的加法運(yùn)算，即0.2+0.2+0.2；也可能會(huì)思考把0.2×3先轉(zhuǎn)化為2×3，再思考小數(shù)點(diǎn)的處理（應(yīng)該會(huì)出現(xiàn)思維障礙，不會(huì)成功）；也會(huì)有學(xué)生采用作圖的形式，通過圖像輔助思考。教學(xué)中，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生一般會(huì)采用兩種作圖方法，即方格圖與條形圖。教師可適時(shí)對(duì)學(xué)生作圖進(jìn)行展示，并通過追問“請(qǐng)說明你畫的圖形中每1份表示多少？”“你畫的圖形想表達(dá)什么意思？”“在你的圖形中，0.2×3表示什么？”“從你的圖形中怎么體會(huì)0.2×3被轉(zhuǎn)化為3個(gè)0.2相加？”等。學(xué)生結(jié)合圖形對(duì)計(jì)算過程進(jìn)行思考與表達(dá)，引導(dǎo)全體學(xué)生遵循兩位學(xué)生的思維展開思路演示，并進(jìn)行深入思考。這樣的教學(xué)過程能有效地利用“數(shù)形結(jié)合”的方式，使學(xué)生的觀察更加立體、思考更加全面，更容易理解乘法轉(zhuǎn)化為加法的算理，成功為后續(xù)總結(jié)與歸納算法奠定理性的思維。

3? ?思考

算法具有程序自動(dòng)化的特征，學(xué)生就算沒能感悟算理，依然可以通過大量機(jī)械式訓(xùn)練達(dá)成對(duì)算法的熟練掌握，這也是很多教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中開展“題海戰(zhàn)術(shù)”的原因。而這樣無視算理、算理與“理”“法”融合的教學(xué)在本質(zhì)上忽視了算法與算理的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系，與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必然規(guī)律背道而馳。事實(shí)上，算理與算法相融既要和諧統(tǒng)一，又要有所側(cè)重：對(duì)算理，要讓學(xué)生“知其然，又知其所以然”，避免機(jī)械式運(yùn)用計(jì)算程序，停留于形式化的計(jì)算；理解算理之后的算法應(yīng)用，則不能過多糾結(jié)于算理時(shí)時(shí)刻刻的“解釋”，而應(yīng)該在算理、算法與運(yùn)算技巧中，讓算理“隱于市”，讓算法“用于巧”，讓計(jì)算技巧“展于形”。

隨著新課標(biāo)的實(shí)施，新課程概念持續(xù)有效地推進(jìn)，基于深度學(xué)習(xí)的理性教學(xué)與素養(yǎng)導(dǎo)向逐漸受到重視，立足算理與算法融合的小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)也需要不斷地進(jìn)行實(shí)踐與發(fā)展。文章基于本課題開展了相關(guān)研究工作，認(rèn)為在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中，教師應(yīng)該關(guān)注多元表征，加強(qiáng)算理與算法的和諧統(tǒng)一，促進(jìn)算理與算法的和諧共生、自主探究，推動(dòng)算理與算法的融合，同時(shí)還需要?jiǎng)?chuàng)新科學(xué)、合理、符合學(xué)生認(rèn)知與思維特征的教學(xué)方式，促進(jìn)算理與算法相融相通，有效促進(jìn)學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上，讓算法與算理達(dá)成自然交融，形成良好的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]紀(jì)永海.緊扣算理以理馭法：以蘇教版教材“三位數(shù)乘兩位數(shù)”教學(xué)為例[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2020（Z4）：27-29.

[2]孫惠惠.理解算理比掌握算法更重要[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2017（10）：56-57.

[3]陸濤.構(gòu)建多元表征 深挖筆算算理：《筆算小數(shù)加法和減法》教學(xué)設(shè)計(jì)與說明[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2021（29）：45-47.

[4]劉漢民.數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中的應(yīng)用[J].天津教育，2022（29）：25-27.

[5]鄭振興.教學(xué)應(yīng)盡可能從學(xué)生視角出發(fā)：談一節(jié)復(fù)習(xí)課的改進(jìn)與反思[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2022，61（4）：19-21.

[6]沈開峰.比較分析：讓計(jì)算教學(xué)彰顯活力[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（1）：21-22.

基金項(xiàng)目：

此文章是2022年度廣州市教育科學(xué)規(guī)劃課題萌芽課題《“六融合”計(jì)算教學(xué)策略在農(nóng)村小學(xué)的實(shí)踐與研究》（課題編號(hào)202214179）的階段成果。