仇學(xué)春

摘 要：多邊形的面積是小學(xué)數(shù)學(xué)課程核心內(nèi)容之一?！毒耪滤阈g(shù)》是我國(guó)數(shù)學(xué)經(jīng)典名著，其中關(guān)于土地面積計(jì)算的方法涉及不同的平面圖形，一以貫之地體現(xiàn)了“以盈補(bǔ)虛”化歸為長(zhǎng)方形面積計(jì)算的思路，以及由特殊推及一般的數(shù)學(xué)思想方法，能為多邊形面積公式推導(dǎo)的教學(xué)提供有益的啟示。 由此，“多面形的面積”單元的教學(xué)有幾點(diǎn)新思路：將對(duì)高的認(rèn)識(shí)有機(jī)融入面積計(jì)算的過程，體現(xiàn)知識(shí)產(chǎn)生的內(nèi)在合理性;推導(dǎo)三角形面積公式，體現(xiàn)化歸方法的一致性和歸納的方法;推導(dǎo)梯形面積公式，體現(xiàn)化歸方法的一致性和一般化方法;統(tǒng)一面積公式，建立二維空間觀念。

關(guān)鍵詞：《九章算術(shù)》；以盈補(bǔ)虛；多邊形面積；公式推導(dǎo)

多邊形的面積是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的核心內(nèi)容之一。這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)既是解決實(shí)際問題的需要，也有助于增強(qiáng)學(xué)生的空間觀念和推理意識(shí)。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中能夠從測(cè)量的角度深化對(duì)平面圖形的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步感悟測(cè)量的基本方法。

現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材關(guān)于多邊形面積教學(xué)內(nèi)容的編排，呈現(xiàn)的基本邏輯順序是：長(zhǎng)方形的面積→平行四邊形的面積→三角形的面積→梯形的面積。其中，平行四邊形面積公式的推導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生將平行四邊形剪拼成長(zhǎng)方形（學(xué)生在認(rèn)識(shí)平行四邊形時(shí)已經(jīng)認(rèn)識(shí)了高，或者在推導(dǎo)多邊形的面積公式之前單獨(dú)認(rèn)識(shí)了高）。而三角形和梯形面積公式的推導(dǎo)，則重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生將兩個(gè)完全相同的三角形或梯形拼成一個(gè)平行四邊形。有的也呈現(xiàn)了將一個(gè)三角形或梯形剪拼成學(xué)過的圖形推導(dǎo)面積公式的方法。學(xué)生將一個(gè)圖形剪拼成已知圖形來推導(dǎo)面積公式是有經(jīng)驗(yàn)的，如將平行四邊形剪拼成長(zhǎng)方形。如果以方格作為面積單位，則更容易在數(shù)方格的過程中，想到將不滿整格的湊成整格，從而發(fā)現(xiàn)可將平行四邊形沿著高剪下一個(gè)三角形或梯形，拼成長(zhǎng)方形，實(shí)現(xiàn)圖形的化歸。而在三角形、梯形面積公式的推導(dǎo)過程中，學(xué)生一般很難想到將兩個(gè)完全一樣的三角形或梯形拼成一個(gè)平行四邊形。由于這樣拼成平行四邊形后推導(dǎo)面積公式的過程相對(duì)簡(jiǎn)單，所以教材都以這一推導(dǎo)面積公式的方法作為重點(diǎn)。那么，如何既順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實(shí)，又回歸多邊形面積計(jì)算的本質(zhì)，凸顯面積計(jì)算方法的一致性呢？

《九章算術(shù)》是我國(guó)數(shù)學(xué)經(jīng)典名著，其中關(guān)于土地面積計(jì)算的方法涉及不同的平面圖形，一以貫之地體現(xiàn)了“以盈補(bǔ)虛”化歸為長(zhǎng)方形面積計(jì)算的思路，以及由特殊推及一般的數(shù)學(xué)思想方法，能為多邊形面積公式推導(dǎo)的教學(xué)提供有益的啟示。

一、《九章算術(shù)》中涉及的土地面積計(jì)算方法及其教學(xué)啟示

《九章算術(shù)》的《方田章》主要涉及“以御田疇界域”的問題，給出了長(zhǎng)方形、三角形、梯形等直線形的面積公式。

第一，長(zhǎng)方形的面積?！胺教镄g(shù)曰：廣從步數(shù)相乘得積步?！保?］方田即長(zhǎng)方形田，“廣”為東西的度量，“從”為南北的度量。這里以“步”作為長(zhǎng)度單位，積步相當(dāng)于平方步，即為面積單位。

第二，三角形的面積?！靶g(shù)曰：半廣以乘正從。半廣知，以盈補(bǔ)虛為直田也。亦可半正從以乘廣?！保?］《九章算術(shù)》中的圭田，通常指三角形田，也有人認(rèn)為指等腰三角形田?！耙杂a(bǔ)虛為直田也”，意指將圖1中的Ⅰ、Ⅱ分別移至Ⅰ′、Ⅱ′。

第三，梯形的面積。對(duì)于直角梯形，《九章算術(shù)》稱為“邪田”，“邪”指直角梯形中的斜邊?！靶g(shù)曰：并兩邪而半之，以乘正從若廣。又可半正從若廣，以乘并……并而半之者，以盈補(bǔ)虛也?！保?］如圖2，“兩邪”指與“邪”相鄰的兩廣或兩從?！耙杂a(bǔ)虛”的方式如圖3，將Ⅰ移至Ⅰ′即可。

對(duì)于一般梯形，《九章算術(shù)》稱為“箕田”（如圖4）?！靶g(shù)曰：并踵、舌而半之，以乘正從……中分箕田則為兩邪田，故其術(shù)相似。又可并踵、舌，半正從，以乘之?！保?］《九章算術(shù)》認(rèn)為，將箕田中分，成兩邪田（如圖5）。

圖形測(cè)量的重點(diǎn)是確定圖形的大小，一維圖形的大小是對(duì)圖形長(zhǎng)度的度量，二維圖形的大小是對(duì)圖形面積的度量，三維圖形的大小是對(duì)圖形體積的度量。圖形成為數(shù)學(xué)研究對(duì)象的真正動(dòng)力，是土地測(cè)量等生產(chǎn)實(shí)踐。《九章算術(shù)》中的土地面積計(jì)算方法對(duì)多邊形面積公式推導(dǎo)教學(xué)有頗多啟示，主要體現(xiàn)在方法邏輯維度。

《九章算術(shù)》在土地面積計(jì)算的過程中重視體現(xiàn)化歸和一般化的數(shù)學(xué)思想方法?；瘹w的思路是：以長(zhǎng)方形的面積計(jì)算為基礎(chǔ)，將三角形化歸為長(zhǎng)方形，將直角梯形化歸為長(zhǎng)方形?；瘹w的方法是：以盈補(bǔ)虛。在梯形的面積計(jì)算中，化歸的思路是靈活的：直角梯形化歸為長(zhǎng)方形，而一般梯形則化歸為直角梯形。另外，先研究直角梯形的面積計(jì)算方法，再過渡到一般梯形，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想方法。

這給我們的教學(xué)啟示是：（1）化歸的目標(biāo)指向長(zhǎng)方形。長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法在多邊形中是最簡(jiǎn)單的，因?yàn)樗苋菀子擅娣e單位的度量這一基本方法優(yōu)化得到，最便于學(xué)生體會(huì)多邊形的面積是二維屬性的度量。都?xì)w為長(zhǎng)方形這一基本圖形，能夠更好地凸顯面積計(jì)算方法的本質(zhì)，即平面圖形的面積是二維屬性的度量，與兩個(gè)維度相關(guān)。（2）化歸的方法是“以盈補(bǔ)虛”。平面圖形之間的聯(lián)系十分豐富，彼此之間化歸的方式也是多樣的。如三角形可以通過“以盈補(bǔ)虛”化歸成長(zhǎng)方形，也可以“加倍拼接”化歸成平行四邊形。其中，“以盈補(bǔ)虛”的方法是實(shí)現(xiàn)圖形化歸的基本方法，也體現(xiàn)了度量的運(yùn)動(dòng)不變性。

需要注意的是，現(xiàn)行教材中三角形面積計(jì)算方法的得出，主要是引導(dǎo)學(xué)生通過將兩個(gè)完全相同的三角形拼成一個(gè)平行四邊形發(fā)現(xiàn)的。這樣的方法對(duì)于學(xué)生而言，與其頭腦中自然形成的關(guān)于測(cè)量的運(yùn)動(dòng)不變性認(rèn)識(shí)存在“隔閡”（因?yàn)楦淖兞藴y(cè)量對(duì)象的面積），需要進(jìn)行很多鋪墊和引導(dǎo)。學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)仍然是“以盈補(bǔ)虛”，教學(xué)時(shí)要基于這一知識(shí)經(jīng)驗(yàn)幫助他們實(shí)現(xiàn)圖形的化歸，而不能因?yàn)槟撤N方法容易操作就“強(qiáng)加”給他們。另一方面，在引導(dǎo)學(xué)生探索圖形面積計(jì)算的方法時(shí)，又要根據(jù)圖形的具體特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，感受化歸方法的多樣性，發(fā)展思維的靈活性。也即，可以把銳角三角形、鈍角三角形分成兩個(gè)直角三角形，把梯形分成兩個(gè)三角形計(jì)算面積。這樣的方法體現(xiàn)了測(cè)量的有限可加性，也是學(xué)生容易理解的方法。

二、“多邊形的面積”教學(xué)思路新探

由此，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“多邊形的面積”單元的教學(xué)，有以下幾點(diǎn)新思路：

（一）將對(duì)高的認(rèn)識(shí)有機(jī)融入面積計(jì)算的過程，體現(xiàn)知識(shí)產(chǎn)生的內(nèi)在合理性

現(xiàn)行教材對(duì)高的認(rèn)識(shí)有兩種處理方式：一是在認(rèn)識(shí)多邊形時(shí)將高作為認(rèn)識(shí)圖形的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)；二是在教學(xué)多邊形的面積公式前先安排一課時(shí)，認(rèn)識(shí)各種多邊形的高。在認(rèn)識(shí)多邊形時(shí)認(rèn)識(shí)高，學(xué)生可能缺乏認(rèn)知的心理需求，因?yàn)楦卟⒉恢苯訕?gòu)成多邊形的組成要素，多邊形高的特征往往表現(xiàn)為多邊形邊和角的特征。在教學(xué)面積公式前認(rèn)識(shí)高，符合知識(shí)之間的邏輯順序，測(cè)量多邊形的面積需要測(cè)量高，所以在學(xué)習(xí)面積測(cè)量之前應(yīng)先認(rèn)識(shí)高。但如何解決學(xué)生的認(rèn)知需求問題，仍是難點(diǎn)。將對(duì)高的認(rèn)識(shí)融入面積計(jì)算的問題解決過程中，可以體現(xiàn)知識(shí)產(chǎn)生的內(nèi)在合理性，是一條可行的教學(xué)思路。

高和底是一組相關(guān)聯(lián)的概念。平行四邊形的高和底，三角形的高和底，梯形的高和上底、下底分別共同決定了各個(gè)圖形面積的大小。為了引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)識(shí)高的需求，應(yīng)將高的認(rèn)識(shí)有機(jī)融入各種多邊形面積公式的教學(xué)過程。突破這一認(rèn)知的起點(diǎn)和關(guān)鍵是平行四邊形的面積計(jì)算。教學(xué)時(shí)可用細(xì)木條做一個(gè)可拉動(dòng)的平行四邊形框架，由長(zhǎng)方形逐漸拉扁，體會(huì)邊長(zhǎng)不變，但水平方向?qū)叺木嚯x逐漸縮短，面積逐漸變小；反之亦然。平行四邊形面積的變化如圖5所示。

（二）推導(dǎo)三角形面積公式，體現(xiàn)化歸方法的一致性和歸納的方法

在推導(dǎo)三角形面積公式時(shí)，以學(xué)生容易理解的“以盈補(bǔ)虛”方法為主，而將兩個(gè)完全相同的三角形拼成平行四邊形的方法作為練習(xí)處理。“以盈補(bǔ)虛”的方法和平行四邊形的面積計(jì)算方法是一致的，學(xué)生容易理解，也容易發(fā)現(xiàn)。 “以盈補(bǔ)虛”的方法將三角形化歸為長(zhǎng)方形，容易凸顯三角形的面積也與底、高兩個(gè)元素相關(guān)。如果采用將兩個(gè)完全相同的三角形拼成一個(gè)平行四邊形的方法，則和學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)不一致，且不符合測(cè)量的基本原理。

考慮到三角形分為直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形三類，按照由易到難的順序，可以分別探索直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形的面積公式。這樣做的優(yōu)勢(shì)在于：直角三角形化歸為長(zhǎng)方形最容易；銳角三角形和鈍角三角形可以作一條高，化歸為兩個(gè)直角三角形，也可以化歸為一個(gè)長(zhǎng)方形，體現(xiàn)了思維方法的靈活性。這樣的思路也體現(xiàn)了歸納的方法。

（三）推導(dǎo)梯形面積公式，體現(xiàn)化歸方法的一致性和一般化方法

按照由易到難、由特殊到一般的順序，先教學(xué)直角梯形的面積計(jì)算，鼓勵(lì)學(xué)生自己探索多樣的方法，重點(diǎn)關(guān)注“以盈補(bǔ)虛”的方法，以進(jìn)一步體會(huì)底和高決定梯形的面積大小，增強(qiáng)二維的空間觀念。再教學(xué)一般梯形的面積計(jì)算，鼓勵(lì)學(xué)生靈活運(yùn)用多種方法，重點(diǎn)關(guān)注化歸為兩個(gè)直角梯形的方法，體會(huì)圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系。

（四）統(tǒng)一面積公式，建立二維空間觀念

上述推導(dǎo)多邊形面積公式的過程，始終圍繞圖形中非水平位置邊的中點(diǎn)進(jìn)行分割，實(shí)現(xiàn)“以盈補(bǔ)虛”（如圖6所示）。因此，可引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)這些多邊形的面積具有統(tǒng)一的公式：多邊形的面積=中位線×高。

這一內(nèi)容可以作為一個(gè)彈性的教學(xué)活動(dòng)。一方面，這樣的認(rèn)識(shí)有助于學(xué)生體會(huì)“以盈補(bǔ)虛”作為一般的推導(dǎo)多邊形面積公式方法的意義。另一方面，統(tǒng)一多邊形面積公式有助于學(xué)生更清晰地建立二維空間觀念，并可將計(jì)算二維圖形面積的方法經(jīng)驗(yàn)遷移到計(jì)算三維柱體體積的過程中（柱體的體積=截面的面積×高）。

以上教學(xué)思路，是一次嘗試，讓《九章算術(shù)》與“多邊形的面積”教學(xué)完美結(jié)合；也是一次突破，運(yùn)用“以盈補(bǔ)虛”從定性和定量的維度解決了多邊形面積公式教學(xué)的難點(diǎn)；更是一種創(chuàng)新，既滿足了學(xué)生解決問題的需求，也有助于增強(qiáng)學(xué)生的空間觀念和推理意識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

［1］［2］［3］［4］? 郭書春.九章算術(shù)譯注［M］.上海：上海古籍出版社，2009：13，35，37，38.

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃一般課題“雙螺旋互動(dòng)：小學(xué)數(shù)學(xué)主線問題教學(xué)模型的開發(fā)與研究”（編號(hào)：D/2021/02/554）的階段性研究成果。