費珊博

摘 要：《九章算術(shù)》中的兩鼠穿墻問題的解法：逐一計算、盈不足術(shù)、解方程組法、等比數(shù)列求和、計算機編程語言（條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)），兩鼠穿墻問題從古至今的解法就是一部活生生的數(shù)學(xué)發(fā)展史。

關(guān)鍵詞：《九章算術(shù)》;兩鼠穿墻;盈不足術(shù);解方程組;等比數(shù)列求和;計算機編程

古往今來，數(shù)學(xué)與人類生產(chǎn)生活密不可分，數(shù)學(xué)是社會進步的產(chǎn)物，也是推動社會發(fā)展的動力，可以說沒有數(shù)學(xué)的發(fā)展，就不會有今天高度發(fā)展的文明社會。近幾年高考數(shù)學(xué)題中，由古代數(shù)學(xué)著作改編的題目屢見不鮮，我們也應(yīng)該在教學(xué)活動中滲透數(shù)學(xué)知識的古往今來，前世今生。不僅有助于學(xué)生在審題和解題中領(lǐng)略到古代數(shù)學(xué)的博大精深，也能讓學(xué)生認識到中國古代數(shù)學(xué)的輝煌成就，激發(fā)學(xué)生的民族自信心和自豪感。

筆者對《九章算術(shù)》中兩鼠穿墻問題從古至今解題方法有過粗略的研究，并且設(shè)計了一堂課與同學(xué)們共同探討兩鼠穿墻問題用逐一計算、盈不足術(shù)、解方程組法、等比數(shù)列求和及計算機編程語言（條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)）等方法解題的過程，領(lǐng)略不同時代解題的妙處和局限性，以及改進方法的必要性。解題方法的進步折射出時代的發(fā)展、科技的進步，讓同學(xué)們感受到方法的進步、科技的進步給人類生產(chǎn)生活帶來的便捷。

以下是人教版必修2.5等比數(shù)列的前n項和（第一課時）中的某個教學(xué)片斷：

師：（新課引入）同學(xué)們，我們的老祖宗在幾百年前甚至幾千年前就給我們留下了許許多多的高考數(shù)學(xué)題目，這些題目經(jīng)命題專家精細加工，再滲透現(xiàn)代的數(shù)學(xué)思想方法，編制出精妙絕倫的當(dāng)今數(shù)學(xué)高考題。今天我們一起來研究數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個經(jīng)典數(shù)學(xué)問題。

生：（迫不及待）老師，是什么問題？

師：今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問幾何日相逢？各穿幾何？我們把這個問題取名為“兩鼠穿墻”問題。

生1：兩只老鼠第一天打洞1+1=2尺，第二天打洞，2+0.5=2.5尺，兩天打洞共4.5尺，第三天只要再打洞0.5尺即可，所以第三天就可以把墻打穿。

師：哪位同學(xué)能夠精確到幾分之幾天呢？

生2：（補充）第三天兩鼠的速度和為4+0.25=4.25，第三天只用了天，總共用了天。

師：很好，我們的古人就是這么思考問題的。但是隨著社會的發(fā)展，這種解法越來越不能滿足生產(chǎn)、生活當(dāng)中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)問題的解答。因此古人總結(jié)出了解決此類問題的一個機械的算法公式，收錄在《九章算術(shù)》里面。

2天穿墻后差0.5尺，3天穿墻后多3.75尺，古人利用公式得到兩只老鼠相遇的天數(shù)：天。

生：（疑惑不解）老師，這個公式是什么意思？

師：我們的古人那時侯還沒有設(shè)參數(shù)，解方程的思想。所以他們通過長時間的積累總結(jié)出了很多的算法公式，用以解決日常生活中的數(shù)學(xué)問題。解決“兩鼠穿墻”問題的公式是“盈不足術(shù)”當(dāng)中的一個算法公式。

生3：老師，什么叫做“盈不足術(shù)”？

（給學(xué)生簡單介紹一下《九章算術(shù)》中收錄的內(nèi)容）《九章算術(shù)》共收錄有246個數(shù)學(xué)問題，分為九章，主要內(nèi)容有：第一章：“方田”，主要講述平面幾何圖形面積的計算方法;第二章：“粟米”，主要講述谷物糧食的按比例折算;第三章：“衰分”，主要講述比例分配問題;第四章：“少廣”，主要講述已知面積、體積，反求其邊長和徑長的問題;第五章：”商功”，主要講述土石工程、體積計算;第六章“：均輸”，主要講述合理攤派賦稅;第七章：”盈不足”，即雙設(shè)法，主要講述“盈虧問題”;第八章：“方程”，主要講述一次方程問題（這里的方程不是我們現(xiàn)在學(xué)的方程，古時候人們用算籌來布置方程，主要思想是加減消元法）;第九章：勾股，主要是對勾股數(shù)的研究。簡單地說古人把生產(chǎn)生活中遇到的數(shù)學(xué)問題分為九類，解決每一類問題都要套用書中給出的公式，我們上面的解法就套用了“盈不足”里面的一個公式。那么這個公式究竟是什么意思呢？

師：初中數(shù)學(xué)里我們學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程。方程的思想源于13世紀，意大利大數(shù)學(xué)家斐波那契提出的單設(shè)法、雙設(shè)法。斐波那契的雙設(shè)法就是盈不足術(shù)。中國的盈不足術(shù)是通過阿拉伯傳到西方的，比西方的雙設(shè)法整整早了1000多年。下面我們就用方程的思想來介紹一下盈不足術(shù)。我們先來看另外一個簡單的問題

引例：x人出y元購物，每人出a錢則盈（多）m錢，每人出b錢則虧（少）n錢，問：每人出多少錢正好？（用a、b、m、n表示）

（學(xué)生興趣十足，躍躍欲試）

生：可以列出方程組：

∴每人出錢

師：以上的公式就是古人推出的盈不足術(shù)公式（當(dāng)然古人可不是用解方程的思想推出的），兩鼠穿墻問題我們就可以看成一個盈不足問題，請同學(xué)們回答這里的a，m，b，n分別指什么？

生4：a指穿墻3天，m指多穿3.75米，b指穿墻2天，n指少穿0.5米，穿墻的天數(shù)為。

師：請同學(xué)們把穿墻天數(shù)求出來。

生5：x，y，x指兩鼠的平均速度，y指距離，

這種推導(dǎo)的思想就是“盈不足術(shù)”的思想方法。在沒有計算機的古代，“盈不足術(shù)”已是非常先進的算法工具，西方人甚至把它稱為“黃金方法”。它避開了每天變化的速度，把含有變量的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為常量的數(shù)學(xué)問題。

我們再用方程的思想求解兩鼠穿墻問題就不再那么難了。設(shè)兩鼠的平均速度x（變量轉(zhuǎn)化為常量是解題的精華），穿墻的距離和為y，2天差0.5尺，3天多3.75尺，列方程組為，穿墻的天數(shù)為，

，

師：接下來我們很容易就能解決第二個問題了，兩只老鼠分別穿墻幾尺呢？

生6：大鼠穿墻：尺，小鼠穿墻：尺。

師：同學(xué)們，方程的求解經(jīng)歷了漫長的歷史發(fā)展過程，我們的古人盡管在《九章算術(shù)》成書時代就掌握了負數(shù)概念、分數(shù)運算法則、以及移項的方法，但由于代數(shù)符號的缺失，方程的求解體系無法形成。直到韋達創(chuàng)立符號代數(shù)之后，方程的現(xiàn)代解法才變得可能。盈不足術(shù)和解方程組的思想雖然先進，但是會耗費我們大量的時間和人工，雖然已知公式，已知方法，但是計算過程非常繁雜，計算結(jié)果難免會出現(xiàn)這樣那樣的錯誤。

接下來我們就來學(xué)習(xí)“兩鼠穿墻”問題的現(xiàn)代解法。（學(xué)習(xí)等比數(shù)列求和公式）

師：同學(xué)們，我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的求和公式后，再來解決“兩鼠穿墻”問題是不是更加方便了呢？

生7：n天穿墻距離為

師：同學(xué)們，這個方法又會給我們帶來什么局限性呢？

生8：n是整數(shù)，不能夠精確到幾分之幾天。

師：很好，我們能用我們所學(xué)的知識求出時，n的值嗎？

生9：用零點存在性定理解決。

師：接下來我們就用零點存在性定理解決。

設(shè)

∴s（2）·s（3）<0∴存在x0∈（2，3）使得s（x0）=0

取

，使得時

依次類推，只要給出一個精確度，就可以求出：時x0的值。

師：利用數(shù)列求和公式解決就是一個非常簡潔的數(shù)學(xué)問題，特別是求n的整數(shù)值。局限性仍然是計算量特別大的問題。

師：《九章算術(shù)》所創(chuàng)立的機械算法體系顯示出比西方歐幾里得幾何學(xué)更高的水準。并將其擴展到其它領(lǐng)域，其算法體系至今仍推動計算機的發(fā)展與應(yīng)用。特別是《九章算術(shù)》中的循環(huán)結(jié)構(gòu)思想對無窮數(shù)的推衍和論證起到了至關(guān)重要的作用，也對計算機算法史影響深遠。我們也可以利用計算機編程語言編寫兩鼠穿墻問題。

師：同學(xué)們：我們可以輸入任一個T（表示墻的厚度），利用方法一的編程語言，計算機直接會得出精確的穿墻天數(shù);我們也可以輸入精確度m和初始值a，b，利用方法二的編程語言，計算機就會幫我們算出幾乎精確（只要精確度夠小）的穿墻天數(shù)。這大大減少了我們的計算過程，降低了人力物力成本。當(dāng)然由于老師的水平有限，這兩個程序不是最完美的，學(xué)過編程的同學(xué)可以去嘗試編寫一個更加簡潔完美的程序語言來解決此類問題。

中國古代有很多跟數(shù)學(xué)相關(guān)的著作，例如《九章算術(shù)》、《周髀算經(jīng)》、《數(shù)學(xué)九章》、《孫子算經(jīng)》等，這都是有可能提取出高考數(shù)學(xué)試題素材的書籍。國外的書籍中，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》也是可能的出題素材。另一方面，兩鼠穿墻問題從古至今的解法就是一部活生生的數(shù)學(xué)發(fā)展史。這節(jié)課有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)文化、了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史。

結(jié)束語

數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史是曲折的，數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵不僅僅是它本身的知識，更重要的是它的歷史進程，以及在歷史進程中的重要地位。數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)，它不是任何一個時代、任何一個民族的單獨產(chǎn)物，而是若干個年代，許多個民族的共同產(chǎn)物。數(shù)學(xué)的每一次發(fā)展都是對之前理論體系的的提煉與升華，前人思考問題的方式給了我們解決新問題的靈感和方向。適當(dāng)將數(shù)學(xué)的歷史引入課堂，可以豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)知識和學(xué)生的數(shù)學(xué)視野。5G的推廣、人工智能的應(yīng)用，航天事業(yè)的發(fā)展、宇宙的探秘等未來科技行業(yè)需要更多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家參與其中，未來的社會將會更加發(fā)達，人類將涌現(xiàn)更多更優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，我們的學(xué)生也將會是其中一員。

參考文獻

[1]《九章算術(shù)》第七章“盈不足”