楊孝斌+吳璐璐+羅永超+張和平

摘 要：清水江文書林業(yè)契約主要是指清水江流域山林經(jīng)營過程中的民間契約和木材交易記錄，在這些契約和記錄中，存在著大量的民間記數(shù)數(shù)碼和記數(shù)方法。研究發(fā)現(xiàn)，其中的記數(shù)數(shù)碼與中國古代的籌算數(shù)碼在形式上和使用方法上具有較高程度上的相似性，其中的股份制記數(shù)法與《九章算術(shù)》中的比例分配問題在問題的實(shí)踐來源、問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)和問題解決過程中的算法本質(zhì)等方面，也具有明顯的相似性。

關(guān)鍵詞：清水江文書；林業(yè)契約；記數(shù)數(shù)碼；股份制記數(shù)法；九章算術(shù)

中圖分類號：H123 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-621X（2016）02-0054-06

清水江文書，又稱錦屏文書，是繼敦煌文書和徽州文書之后國內(nèi)發(fā)現(xiàn)的第三大文書，它是指自明、清以來，以貴州省錦屏縣為中心的清水江中下游地區(qū)苗、侗族人民在生產(chǎn)經(jīng)營過程中形成的、反映當(dāng)?shù)厣鐣?huì)生活和歷史面貌的歷史記錄。它具有時(shí)間跨越長（明、清兩代至民國時(shí)期）、地域覆蓋廣（以錦屏縣為中心的清水江中下游地區(qū)，包括貴州省錦屏、黎平、天柱、三穗、劍河、臺(tái)江等縣）、研究價(jià)值高（可與“徽州文書”、納西“東巴文書”比肩）、涉及學(xué)科多（經(jīng)濟(jì)學(xué)、歷史學(xué)、考古學(xué)、社會(huì)學(xué)、民族學(xué)、法學(xué)、生態(tài)學(xué)、人類學(xué)乃至數(shù)學(xué)等諸多學(xué)科）的特點(diǎn)，是我國乃至世界保存較為完整、系統(tǒng)、集中的重要?dú)v史文獻(xiàn)和珍貴民間檔案。

清水江文書的發(fā)現(xiàn)，在國內(nèi)外學(xué)術(shù)界引起極大反響。國內(nèi)外專家慕名探奇，英國牛津大學(xué)教授、著名歷史學(xué)家柯大衛(wèi)在對錦屏林業(yè)契約考察后認(rèn)為：“錦屏的契約非常珍貴。像這樣大量、系統(tǒng)的反映一個(gè)地方民族、經(jīng)濟(jì)及社會(huì)發(fā)展?fàn)顩r的契約在世界上也不多見，希望加強(qiáng)保護(hù)和搶救。”他甚至斷言清水江文書“完全有基礎(chǔ)申請世界文化遺產(chǎn)”；一直潛心于貴州本土歷史文化研究的貴州大學(xué)歷史文獻(xiàn)學(xué)教授張新民認(rèn)為：“在如此狹小的區(qū)域內(nèi)，發(fā)現(xiàn)如此翔實(shí)的原始文獻(xiàn)，即使是在中國文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)史上也實(shí)屬罕見?！苯?jīng)過各級政府和多方專家的共同努力，錦屏文書的收集、整理和保護(hù)工作得到了很好的開展。2010年2月，錦屏文書被列入《中國檔案文獻(xiàn)遺產(chǎn)名錄》。

清水江文書林業(yè)契約存在著大量的民間記數(shù)數(shù)碼和記數(shù)方法。研究發(fā)現(xiàn)，其中的記數(shù)數(shù)碼與中國古代的籌算數(shù)碼在形式上和使用方法上具有較高程度上的相似性，其中的股份制記數(shù)法與《九章算術(shù)》中的比例分配問題也具有明顯的相似性。

一、清水江文書林業(yè)契約中的記數(shù)數(shù)碼與中國古代籌算數(shù)碼的比較

圖1① ①本文所用的清水江文書圖片資料（圖1、圖3）均來源于錦屏縣檔案館。 是一份賣木分銀后期分賬清單及其局部放大圖。其中左圖的文字翻譯如下。

民國六年歲次丁巳，七月十二日，發(fā)賣地名污加下。丁容依、雖（疑為隋，姓）青山與本寨姜志超坎（應(yīng)為砍）伐下河。界限上憑盤路，下抵溪，左憑沖，右憑沖與楊大碩山為界，憑中議價(jià)錢七千二百八十文，內(nèi)除各食錢三百文，存錢六千九百八十文，此山分為六股，每股該錢一千一百六十三文，列名于后：楊大碩占山一股該錢一千一百六十三文，姜東山占山一股該錢一千一百六十三文，姜為斌占山一股該錢一千一百六十三文，姜盛齊占山一股半該錢一千七百四十四文，姜永方占山一股半該錢一千七百四十四文。

三紙（相當(dāng)于“一式三份”）：大碩存一紙，永方存一紙，盛齊存一紙。楊順漋筆

圖1 一份賣木分銀后期分賬清單及其局部放大圖 圖1的右圖是左圖中“列名于右”部分的放大圖。其中，在記數(shù)部分分別用“〡”或“—”表示數(shù)字“1”，用“〣”表示數(shù)字“3”，用“〤”表示數(shù)字“4”，用“〦”表示數(shù)字“6”，用“〧”表示數(shù)字“7”。

結(jié)合清水江文書中其他有關(guān)數(shù)字的表達(dá)方式，在清水江文書林業(yè)契約中的記數(shù)過程中，主要采用數(shù)碼“〡 〢 〣 〤 〥 〦 〧 〨 〩 十”分別對應(yīng)我們現(xiàn)在漢字的“一二三四五六七八九十”。特別需要指出的是，當(dāng)記號“〡 〢 〣” 相遇時(shí)，為避免混淆，將會(huì)根據(jù)需要采用“〡 〢 〣”的橫式記號“一二三”來表示。此外，零采用記號“0”。

從數(shù)學(xué)史的有關(guān)史料可知，中國古代數(shù)學(xué)家運(yùn)用“籌”（或稱算子，即用于計(jì)算的小棍子）排列成如圖2所示的籌碼進(jìn)行計(jì)算。據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵。千十相望，萬百相當(dāng)[1]。

圖2 中國古代的籌算數(shù)碼示意圖 很容易看出，清水江文書林業(yè)契約中所采用的數(shù)碼符號與中國古代的籌算數(shù)碼在形式上和使用方法上具有較高程度上的相似性，其中“〡 〢 〣”及其橫式記號“”與古代籌算數(shù)碼完全一致；“〦 〧 〨”與古代籌算數(shù)碼中6、7、8的橫式完全一致；并且數(shù)碼“〡 〢 〣”相遇時(shí)根據(jù)需要改用橫式記號“一二三”來表示的方法，這也與古代籌算過程中的“縱橫交錯(cuò)”一致。

此外，在計(jì)算的時(shí)候，往往數(shù)據(jù)較大，為了方便人們記數(shù)，在千位的下面寫上一個(gè)“千”字（如圖1所示），單位從左至右依次變小。從歷史的角度看，這相當(dāng)于《孫子算經(jīng)》中所說的“凡算之法，先識其位”，也與明朝以后的“珠算中的定位方法”相一致，同時(shí)與現(xiàn)代記數(shù)法中的國際通用的“三位分節(jié)法”（這里的“千”字就相當(dāng)于“千位符分隔符”）相一致。

二、清水江文書林業(yè)契約中的股份制記數(shù)法

（一） 股份制記數(shù)法釋義

所謂股份制記數(shù)法，是在眾多的清水江文書林業(yè)契約中頻繁使用到的一種記數(shù)方法，它把復(fù)雜的數(shù)據(jù)按照股份來記錄和計(jì)算，本質(zhì)上就是按比例記數(shù)，這種記數(shù)方法多用于林業(yè)契約的家族山林財(cái)產(chǎn)細(xì)分及經(jīng)營管理中，非常實(shí)用與便利。

調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，明清時(shí)期在黔東南苗族侗族地區(qū)80%左右的山林財(cái)產(chǎn)為各姓家族、宗族共有，家族中各房分股（即按比例）占有林業(yè)所有權(quán)，在同一家族宜林地區(qū)內(nèi)有誰種誰得的傳統(tǒng)，一經(jīng)種上林木，可以直接傳給子孫，待砍伐出賣以后按股分利，以后林地又由家族統(tǒng)一協(xié)調(diào)更新，直到阻伐為止[2]。事實(shí)上，在收集民間契約文書的過程中，我們已經(jīng)注意到，通常一個(gè)家族不同歷史時(shí)期訂立的文契，今天多保存在該家族某一后裔手中，盡管這個(gè)家族可能已經(jīng)繁衍出很多的分支和家庭，但往往都只不過意味著來自同一祖先購置的山場在家族成員共同享有的股份的不斷分化而已，而文契在多數(shù)情況下則統(tǒng)一保存在每一世代的長子家中[3]。

（二） 清水江文書林業(yè)契約中的股份制記數(shù)法應(yīng)用舉例

（1）股份制記數(shù)方法在林業(yè)契約中的直接存在方式——以賣木分銀后期分賬清單為例。仍以圖1所示的契約為例，承上所述，這個(gè)契約中賣掉木頭后的總收入是7 280文錢，除去伙食300文錢，最后剩下6 980文錢為最后總收入，契約中把總收入分成6股，每股約是1 163文錢。用A、B、C、D、E分別表示這5個(gè)人，那么A、B、C各占了1股，即分別得1 163文錢，D、E各占了15股，即分別約得1 744文錢。很顯然，因?yàn)榭倲?shù)6 680不能被6整除，所以只能取近似值。在苗、侗族人民的計(jì)算習(xí)慣中，除不盡的余數(shù)大都直接省略，即都取不足近似值[4]而非四舍五入。所以A、B、C、D、E五人真正得到的錢的總和是6 977文錢，余下的3文錢留著它用。

很明顯，這里的“分股”就是分成幾份，是廣泛流傳于民間的一種計(jì)算方法。比如這里的分成6股，實(shí)際上就是每股占總數(shù)的1/6，即為6 980×（1/6）≈1 163。（2）股份制記數(shù)方法在林業(yè)契約中的間接存在方式——以賣木分銀前期投入清單為例。

圖3是一份賣木分銀前期投入清單，其文字翻譯如下：

立分銀單合同人等，今將歸遂溪沖虎馬（應(yīng)為虎馬沖，原文敘述有誤），界限上憑田凹，下憑溪，左憑田沖，右憑小沖直下溪過園一個(gè)腦頂，腳木十五根，發(fā)賣與木客陳元匡砍伐下河，每根議價(jià)錢四百八十文，此山分為五股派列名于左：姜德明占山七錢五分，姜紹銀占山七錢五分，姜盛永占山六錢六分六厘，姜盛齊占山六錢六分六厘，姜志寅弟兄共占山六錢六分六厘，姜為明占山三錢七分五厘，姜為澄占山三錢七分五厘，姜為召占山三錢七分五厘，姜為衡占山三錢七分五厘。（共立七紙）德明存為衡筆，盛永存宣校筆，為衡存德明筆，為明存盛齊筆，盛齊存德明筆，志寅存為衡筆，紹銀弟兄存志寅筆，宣統(tǒng)三年八月二十四日，德明筆。

圖3是清水江文書林業(yè)契約中的一份賣木分銀前期投入清單（注：實(shí)質(zhì)是賣木頭時(shí)寫出的前期投入賬單）。從表面上看，這張賬單在記錄投入時(shí)用到的不是股份制記數(shù)方法。但仔細(xì)分析每個(gè)人的前期投入，可以發(fā)現(xiàn)這張賬單實(shí)際上仍然采用的股份制記數(shù)方法，只不過沒有明確每個(gè)人具體投入了多少股（幾分之幾），其理由如下：

在這張分賬單中，并沒有記錄每個(gè)人的最后所得，而僅僅記錄了前期的投入和最后的總收入。圖3表明，有8個(gè)人（實(shí)際是9個(gè)人，因姜志寅弟兄合在一起計(jì)算的，視為8個(gè)人）在栽種時(shí)投入了銀子，姜德明投入7錢5分銀子，姜紹銀投入7錢5分銀子，姜盛永投入6錢6分6厘銀子，姜盛齊投入6錢6分6厘銀子，姜志寅弟兄共投入6錢6分6厘銀子，姜為明投入3錢7分5厘銀子，姜為澄投入3錢7分5厘銀子，姜為召投入3錢7分5厘銀子，姜為衡投入3錢7分5厘銀子。把總投入加起來，約為50錢即5兩銀子（實(shí)為4998錢，為四舍五入之故）；而賣掉木頭后所得收入是480×15=7 200文錢。（至于1兩銀子等于多少文錢、是否賣掉全部的木頭，不得而知，也不在本文研究的范圍。）

圖3 一份賣木分銀前期投入清單 用A、B、C、D、E、F、G、H、I分別表示8個(gè)投入者，他們總投入的銀子為5兩。A、B分別投入了7錢5分銀子，即各占總投入的3/20；C、D、E分別投入了6錢6分6厘銀子，即各占總投入的2/15；F、G、H、I分別投入了3錢7分5厘銀子，即各占總投入的3/40。取20、15、40的最小公倍數(shù)120，換作股份制記數(shù)方法就是：總的視為120股，那么A、B各占18股，C、D、E各占16股，F(xiàn)、G、H、I各占9股。這樣就可以清楚地看到在前期投入時(shí)是按照股份來投入的，而不是隨意的投入了一定資金。換句話說，在資金投入階段就已經(jīng)有意識地按股份制（比例）來進(jìn)行投入，這是為了方便后來的結(jié)算和利益分配。這充分體現(xiàn)了股份制記數(shù)方法給復(fù)雜的契約記錄帶來的便利，是清水江流域勞動(dòng)人民智慧的體現(xiàn)。

三、清水江文書林業(yè)契約中的股份制記數(shù)法與《九章算術(shù)》比例分配問題的比較

我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的“粟米” “衰分” “均輸”諸章集中討論比例問題， 并提出“今有術(shù)”作為解決各類比例問題的基本算法。以“今有術(shù)”為基礎(chǔ)，“衰分”章處理各種正、反比例分配問題[1] 72。

“衰分”，即定量分配、按比例分配。下面以“衰分”章的第三題為例來討論清水江文書林業(yè)契約中的股份制記數(shù)法與《九章算術(shù)》中的比例分配問題的關(guān)系。例如《九章算術(shù)》衰分章，題三 [5]：

今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢。欲以錢數(shù)多少衰出之，問各幾何。

答曰：甲出五十一錢一百九分錢之四十一；乙出三十二錢一百九分錢之一十二；丙出一十六錢一百九分錢之五十六。

術(shù)曰：各置錢數(shù)為列衰，副并為法。以百錢乘未并者，各自為實(shí)。實(shí)如法得一錢。

譯文如下：

今有甲持錢560，乙持錢350，丙持錢180，甲乙丙三人一起出關(guān)，關(guān)稅共計(jì)100錢，要按各人帶錢多少的比率交稅，問3人各應(yīng)付稅多少？

答：甲應(yīng)出5141109錢，乙應(yīng)出3212109錢，丙應(yīng)出1656109。

算法：各取所持錢數(shù)為分配比率，另取總比率之和為除數(shù)，以100乘各自的比率（即“未并者”）為被除數(shù)，以除數(shù)去除被除數(shù)，便得出每人應(yīng)承擔(dān)的關(guān)稅錢數(shù)。

可列式如下：

各自的分配比率（未并者）為：甲，560；乙，350；丙，180。

眾比率之和為：560+350+180=1 090

依算法有：

甲應(yīng)付關(guān)稅：100×5601 090=5141109錢；

乙應(yīng)付關(guān)稅：100×3501 090=3212109錢；

丙應(yīng)付關(guān)稅：100×1801 090=1656109錢。

通過比較清水江文書林業(yè)契約中的股份制記數(shù)法與《九章算術(shù)》中的比例分配問題，至少可以得出以下三點(diǎn)：

（一）二者都是與生產(chǎn)生活密切相關(guān)的實(shí)際問題。清水江文書林業(yè)契約中的股份制記數(shù)法是在村民合伙購買山場、林場建設(shè)投入、賣木分銀等實(shí)際問題中逐漸發(fā)展起來的一種民間實(shí)用算法；《九章算術(shù)》全書共有246個(gè)應(yīng)用題，基本上都是與生產(chǎn)實(shí)踐、日常生活有聯(lián)系的實(shí)際應(yīng)用問題，除本文給出的“衰分章題三”以外，《九章算術(shù)》中“衰分章”其余各題以及“粟米”“均輸”等章中的比例分配問題，也都是與生產(chǎn)生活密切相關(guān)的實(shí)際問題。

（二）二者所承載的數(shù)學(xué)問題都屬于按比例分配問題。在清水江文書林業(yè)契約中，無論是股份制記數(shù)法的直接表達(dá)還是間接蘊(yùn)含，其間的比例關(guān)系都普遍存在。上述圖1和圖3所包含的股份制記數(shù)法，究其本質(zhì)屬于按比例分配問題。圖1是將總收入分成了6股，其中A、B、C 3人各占1股即為總數(shù)的16，D、E 2人各占15股即為總數(shù)的312（=16×1.5）；圖3雖然只是列出了前期投入清單后最后賣木所得，并沒有給出具體的分配方案，但是按前期投入共分為120股，A、B各占18股（即320），C、D、E各占16股（即215），F(xiàn)、G、H、I各占9股（即340），最后的收支結(jié)算和利益分配將以此比例進(jìn)行。在《九章算術(shù)》的“粟米” “衰分”“均輸”等章中，集中討論了比例問題，且包含有反比例問題。至于《九章算術(shù)》“衰分章”的第三題，上述結(jié)果就是按比例計(jì)算得出的。反之，還可以將甲、乙、丙應(yīng)付的關(guān)稅換算成股份制記數(shù)法，即是：將所應(yīng)繳納的關(guān)稅總數(shù)視為109股，那么根據(jù)上述結(jié)果知道，甲占56股、乙占35股、丙占18股。

（三）二者在問題的解決過程中具有明顯的算法本質(zhì)。所謂“算法”，不只是單純的計(jì)算，而是為了解決一整類實(shí)際或科學(xué)問題而概括出來的、帶有一般性的計(jì)算方法[1]68。《九章算術(shù)》全書的思想方法特點(diǎn)就是“開放的歸納體系、算法化的內(nèi)容、模型化的方法”，全書采用“問——答——術(shù)”的寫作體例，其中的“術(shù)”通常是解題的思想方法、公式和法則，也就是解決該類問題的一般方法。關(guān)于《九章算術(shù)》中的比例分配問題，問題解決過程帶有明顯的算法本質(zhì)，該類問題的通用計(jì)算公式如公式（1）所示：

各自的分配量=各自的分配比率眾比率之和×分配總量

（1）

而在清水江文書林業(yè)契約中有關(guān)問題，如果是股份制的直接表達(dá)，即如果知道具體分成多少股，可直接用公式（2）進(jìn)行計(jì)算：

各自的分配量=各自所占股數(shù)總股數(shù)×分配總量

（2）

如果不知道具體分成多少股，而只知道各自投入的錢數(shù)（如圖3所示的契約），可先換算成股數(shù)再按公式（2）進(jìn)行分配，也可直接用公式（3）進(jìn)行計(jì)算：

各自的分配量=各自所投錢數(shù)總投入錢數(shù)×分配總量

（3）

很顯然，公式（1）、公式（2）和公式（3）在本質(zhì)上是一致的。

值得一提的是，除“股份制記數(shù)法”以外，清水江文書林業(yè)契約中也有直接用比例進(jìn)行換算的。如光緒十七年（1891）的一份賣山分銀清單中記載：原價(jià)寶紋十七兩八錢，三六扣水，凈兌來寶銀十七兩一錢五分九厘”。即紋銀178兩只能兌換寶銀17159兩，扣水0641兩。其計(jì)算方法是：178-178×361 000=17159 2≈17159。這里所說的“三六扣水”，其原因在于：清光緒年間，清水江流域同時(shí)流通著寶銀和紋銀等貨幣單位，其中寶銀因成色高于紋銀而比紋銀值錢，如果寶銀兌換成紋銀則升值36‰，俗稱“三六升水”；反之，如果紋銀要兌換為寶銀，則紋銀要扣水36‰，俗稱“三六扣水”[6]。這里的17.8×361 000，就是直接用比例列式計(jì)算的。

四、結(jié)束語

通過以上論述可以得出初步結(jié)論：（1）清水江文書林業(yè)契約中所采用的數(shù)碼符號與中國古代的籌算數(shù)碼在形式上和使用方法上具有較高程度上的相似性；（2）清水江文書林業(yè)契約中的股份制記數(shù)法與《九章算術(shù)》中的比例分配問題，在問題的實(shí)踐來源、問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)和問題解決過程中的算法本質(zhì)等方面，也具有很高的相似性。

上述事實(shí)表明，清水江流域的各族人民（特別是與林業(yè)生產(chǎn)、交易有關(guān)的勞動(dòng)者）在長期的生產(chǎn)生活實(shí)踐中發(fā)展出了一套相對完整的記數(shù)數(shù)碼和用于按比例分配收入的股份制記數(shù)法。從數(shù)學(xué)史的角度看，這些數(shù)學(xué)知識和方法的獲得，與其它數(shù)學(xué)知識和方法的發(fā)生發(fā)展一樣，都是人類理性思維的結(jié)果，是人類文明進(jìn)程中的自然產(chǎn)物。

上述林業(yè)契約中所采用的數(shù)碼符號與中國古代的籌算數(shù)碼的相似性、股份制記數(shù)法與《九章算術(shù)》中的比例分配問題的相似性，共同反映出中國廣大勞動(dòng)人民的智慧。由于清水江文書主要出自明、清及以后，而古代籌算數(shù)碼和《九章算術(shù)》的出現(xiàn)應(yīng)不晚于東漢，從文化傳播和文化遷移的角度，可以大膽猜測，清水江文書林業(yè)契約中的數(shù)碼符號可能受到中國古代籌算數(shù)碼的影響，清水江文書林業(yè)契約中的股份制記數(shù)法也有可能受到《九章算術(shù)》中的比例分配問題的影響。這進(jìn)一步印證了中華各族文明同出一脈且源遠(yuǎn)流長，即便是在偏遠(yuǎn)的“兩山地區(qū)”① ①此處的“兩山地區(qū)”指貴州省黔東南州月亮山、雷公山地區(qū)。 腹地，地方文化的發(fā)展也受到中華主流文化的影響。關(guān)于清水江文書林業(yè)契約中的數(shù)碼符號和股份制記數(shù)法的起源探索以及股份制記數(shù)法對林業(yè)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的影響等，我們將作進(jìn)一步的深入研究。這些問題的研究，將在一定程度上填補(bǔ)我國數(shù)學(xué)史研究長期缺乏田野素材的空白。

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On the Counting digital， Numeration of Joint-stock System in

Forestry Contract of Qingshuijiang Documents

YANG Xiaobin1，WU Lulu2，LUO Yongchao1，ZHANG Heping1，3

（1.School of Mathematical Sciences， Kaili University， Kaili， Guizhou， 556011； 2.Leishan Paili Primary School，Leishan，

Guizhou， 557101； 3.Faculty of education， Southwest University， Chongqing， 400715， China）

Abstract： The forestry contract of Qingshuijiang documents mainly refers to the records of folk contract and wood trading in the process of forest management in Qingshuijiang. In these contracts and records， there exists plenty of folk counting and digital counting methods. It was found that there were similarities in form and use of the method between the counting digital and ancient Chinese digital， among which there were obvious similarities between the numeration joint-stock system and the proportional distribution in “The Nine Chapters on Mathematical Art”.

Key words： Qingshuijiang documents； forestry contract； digital counting； stock count method； The Nine Chapters of Mathematical Art