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夯實基礎 關注綜合

2023-11-24 18:50:49王浩宇王紅權
關鍵詞:集合試題分析不等式

王浩宇 王紅權

摘? 要:分析2023年高考“集合、常用邏輯用語、不等式”專題試題,發(fā)現(xiàn)題型和難度相對穩(wěn)定. 試題注重考查學生對基礎知識的掌握、理解和運用,以及對數(shù)學思想方法的靈活運用. 通過對典型試題的解法分析和解題規(guī)律的總結,提出復習備考的建議.

關鍵詞:集合;常用邏輯用語;不等式;試題分析;解法分析

“集合、常用邏輯用語、不等式”屬于主題一“預備知識”的內容,是由初中階段數(shù)學學習過渡到高中階段數(shù)學學習的銜接,也是高考必考內容. 這部分知識本身難度不大,單一知識點考查以簡單題為主;作為解決問題的工具考查時,往往與函數(shù)、幾何等內容綜合,試題難度較大,主要考查學生的數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng).

一、試題特點分析

2023年高考“集合、常用邏輯用語、不等式”專題試題的考查方式并未有太大變動,基本延續(xù)2022年的命題思路. 單獨考查集合、常用邏輯用語、不等式內容的試題相對較少,更多是與函數(shù)、數(shù)列等內容綜合體現(xiàn)其工具性,具體情況如表1所示.

由表1可知,2023年高考的集合試題以單選題為主,且除上海卷外基本出現(xiàn)在全卷的起始位置. 主要考查集合的含義與表示(重點考查列舉法和描述法)和集合間的關系與運算(包括求交集、并集和補集的運算). 試題中規(guī)中矩、難度較小,可以安撫學生情緒,體現(xiàn)人文關懷.

常用邏輯用語試題以選擇題為主,題量較少. 全國新高考Ⅰ卷和全國新高考Ⅱ卷中均未設置獨立考查常用邏輯用語知識的試題,體現(xiàn)了其與全國甲卷和全國乙卷的差異. 獨立成題的只有“充要條件”類試題,且全國甲卷和全國乙卷僅在理科試卷中出現(xiàn),體現(xiàn)了文、理科試題之間的差異. 盡管“充要條件”類試題在北京卷和上海卷中也有出現(xiàn),但上海卷中并未將其作為單獨考點,而是以試題的限制條件出現(xiàn),這種考法在2022年全國新高考Ⅰ卷第22題中出現(xiàn)過. 量詞“任意”和“存在”沒有單獨試題,都是與其他知識融合成題,以工具的形式出現(xiàn),往往有一定計算量.

不等式是2023年高考數(shù)學重點考查的內容之一,直接考查的有解不等式、比較大小和線性規(guī)劃等. 更多的則是與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等綜合考查. 例如,利用不等式性質求定義域、值域、證明不等關系等,全面考查學生的抽象能力、推理能力和運算能力,體現(xiàn)了不等式的綜合性和應用性.

1. 考查必備知識,注重基礎性

2023年高考“集合、常用邏輯用語、不等式”專題試題注重考查基本概念和運算,考查形式通常為運算,題型多為選擇題. 此類試題只需要學生掌握相應概念,能進行簡單計算即可,而且能篩選粗心的學生.

目標解析:此題主要考查向量的計算與三角函數(shù)最值的求解,需要結合圖象建立平面直角坐標系解決問題,考查學生的數(shù)形結合、數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng).

解法分析:解法1通過建立平面直角坐標系并設點為未知量,將問題轉化為求動點橫坐標的最小值,之后根據(jù)圓的幾何特征獲取動點的軌跡完成求解;解法2設角為未知量,數(shù)形結合地將問題轉化為求三角函數(shù)的最值. 解法1和解法2均屬于通解,解法1側重幾何,解法2側重代數(shù). 解法3則完全利用幾何法,借助投影向量求解.

題源分析:此題的命題思路來自人教A版教材選擇性必修第一冊“2.4 圓的方程”課后習題中的動點問題,核心在于正確作出示意圖,然后將數(shù)量積的問題轉化為三角函數(shù)求最值的問題. 解題時需要數(shù)形結合,選擇合適的變量對所求式子進行轉化與化歸,解題難度與所選的未知量有一定關系. 當不等式與其他知識模塊結合后,試題的跨度大,既可以直觀考查學生對相關基礎知識的掌握情況,還能考查學生對知識的綜合運用情況. 值得注意的是,2023年高考全國卷中未考查立體幾何中的動點關系.

類題賞析:動點問題一直是學生學習的痛點,高考中的動點問題主要包括直線運動、曲線運動、拋體運動和圓周運動等. 求解方法主要是通過設未知量,利用坐標、向量和幾何關系等建立方程并求解,將問題轉化為函數(shù)的最值問題. 高考中的同類動點問題還有2023年天津卷第18題、2022年全國甲卷(理科)第16題(公共點問題)和2021年全國甲卷(理科)第19題(立體幾何中的動點問題)等.

二、優(yōu)秀試題分析

例4 (全國乙卷·理10)已知等差數(shù)列[an]的公差為[2π3],集合S =[cosann∈N*],若S =[a,b],則ab的值為(? ? ).

(A)-1 (B)-[12]

(C)0 (D)[12]

題意理解:此題綜合考查數(shù)列、三角函數(shù)與集合知識,體現(xiàn)集合的工具性. 主要考查學生對等差數(shù)列通項公式、余弦函數(shù)的周期性和集合元素性質的理解. 通過試題條件可以得到等差數(shù)列[an]的通項公式,結合余弦函數(shù)的周期性和集合中元素的互異性確定集合S. 試題求解的難點在于如何將周期數(shù)列的周期為3與集合中只有兩個元素相結合. 另外,要求解集合S中元素的乘積,隱藏了問題本質,在一定程度上增加了試題的難度.

思路探求:因為等差數(shù)列[an]的公差為[2π3],所以an = a1 +[2π3n-1][=2π3]n +[a1-2π3]. 所以cos an周期為3,即cos an最多有3個不同的取值. S =[a,b]表示集合中僅存在兩個元素,故同一周期內,cos an必有兩個取值相同. 接下來共有3種方法能求出答案. ① 分類討論法:對數(shù)列中相同的項進行分類討論. 為了方便計算取數(shù)列前3項,分別討論a1 = a2和a2 = a3. ② 特殊值法:代入容易計算的特殊值求解. ③ 分類討論法:設前兩項相等,借助三角函數(shù)的對稱性,分別討論關于x軸非負半軸對稱和關于x軸非正半軸對稱.

回顧反思:此題是集合、三角函數(shù)與數(shù)列的綜合試題,知識的綜合運用和大量的計算是這類題的設計特點. 此題考查高中數(shù)學中必須掌握的元素的基本特性,即互異性,主要考查學生的數(shù)學運算和邏輯推理能力. 解答時需要根據(jù)條件表示集合中的元素,通過推理和運算獲得答案. 此題的難點在于將“同一周期內,必有一個元素相同”轉化為數(shù)學式子. 解決難點共有3種方法,方法1和方法3均通過分類討論解決難點. 其中,方法1為通解,方法3是對方法1的優(yōu)化. 解題時,通過分類討論能條理清晰地對所有情況進行研究,可以避免遺漏,但是需要學生具有較強的邏輯思維能力. 方法2屬于特解,利用特殊值可以快速求解,但是需要一定的解題技巧和數(shù)學直覺.

回顧反思:此題的本質是考查指數(shù)函數(shù)的性質,培養(yǎng)學生的數(shù)學運算和邏輯推理等素養(yǎng). 通法為作差法,對應的解法1條理清晰,有較強的思維邏輯,是高考對學生的基本要求. 作差計算較困難時,若指數(shù)、底數(shù)有相同的數(shù)字,可以借助函數(shù)的單調性求解;若有相同結構,則可以通過構造函數(shù)求解;若出現(xiàn)熟悉的數(shù)字,可以利用估算求解;還可以選取合適的中間值求解,考查學生的轉化與化歸思想.

比較大小的試題中若出現(xiàn)常見的無理數(shù)或熟悉的函數(shù)結構,可以使用特殊值法求解,對應此題的解法2. 通過代入具體數(shù)字求解能加快解題速度,但是需要一定的計算技巧,屬于特解. 此題的創(chuàng)新點是根據(jù)復合函數(shù)外層函數(shù)的單調性,將問題轉化為比較內層函數(shù)值的大小. 2023年高考中的同類試題還有天津卷第3題和上海卷第21題第(2)小題,其均結合其他知識考查不等式的工具性. 比較大小是2022年高考中的熱點問題,2023年熱度有所降低,且對應試題難度下降.

此題還可以從函數(shù)的性質角度考慮求解,即由[fx]關于x = 1對稱,將[f22],[f32],[f62]的大小比較轉化為對[22],[32],[62]與1的距離的比較.

回顧反思:此題將不等式與解析幾何結合,不等式在其中發(fā)揮工具性作用,主要考查學生對知識的綜合運用. 此題的難點在于對問題的轉化,即通過設點為未知量,將矩形的周長表達為二元式子,再通過矩形鄰邊垂直將二元降至一元,并求得最小值. 此題求解的障礙點是計算,求導復雜,還需要利用絕對值不等式,易錯點是不能同時取等的證明. 解題時,可以通過平移函數(shù)化簡計算,若將函數(shù)向下平移[14]個單位長度后再證明,可以減少部分計算量.

變式設計:(1)將拋物線方程改成橢圓方程或雙曲線方程;(2)將求周長的最小值改成求面積的最小值.

三、復習備考建議

集合、常用邏輯用語和不等式是高中數(shù)學中的基本內容,更是研究數(shù)學問題的工具. 作為高考必考內容,單獨考查時難度較低,多出現(xiàn)在選擇題前幾題的位置. 更多時候以綜合題的形式出現(xiàn),考查其工具性. 通過對2023年高考“集合、常用邏輯用語、不等式”專題典型試題的解題分析,提出以下幾點復習備考建議.

1. 注重基礎,把握基本考點

高考更注重考查學生對概念、性質、定理本身的掌握和運用情況,于細微處著手,考查學生對知識細節(jié)的掌握. 復習過程中,需要以概念和通法為主,打好基礎,做到對知識點融會貫通.

2. 關注情境,學會分析問題

集合、常用邏輯用語在高考中發(fā)揮工具性作用,通常與不等式、函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列等進行綜合考查. 這類試題的題型和難度跨度較大. 解題時,需要將問題中的“恒成立”“存在”轉化為求最值問題.

不等式在高考中既作為考點,考查不等式的性質和一元二次不等式的解法,又發(fā)揮工具性作用,以主觀題形式考查不等式的性質和求解. 后者往往具有情境性,復習時可以借助情境化教學,促使學生在具體情境中熟悉問題轉化的技巧.

3. 感悟思想,培養(yǎng)核心素養(yǎng)

高考復習過程中,要重視學生對數(shù)學思想的感悟和掌握,依據(jù)試題結構歸納解題思路,尋找破題點. 常見的破題點有:分類討論、函數(shù)與方程的轉化、數(shù)形結合、轉化與化歸、反證法、構造函數(shù)等. 解題歸納能讓學生回歸知識本身,使得解題思路更加清晰、有條理;能促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提升,使其遇難題而不慌.

四、典型模擬題

1. 在研究集合時,經(jīng)常遇到有關集合中元素的個數(shù)問題,我們把含有限個元素的集合A叫做有限集,用Card來表示有限集合A中的元素個數(shù). 例如:A =[a,b,c,] 則Card[A]= 3. 現(xiàn)有集合M =[xx≥0,x∈Z],N =[yy=9-log2x,x>1,] 則Card[M∩N]等于? ? ? .

參考文獻:

[1]中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)[M]. 北京:人民教育出版社,2020.

[2]曹媛,李金生. 重視基本概念原理? 強調數(shù)學思維方法:2022年高考“集合、常用邏輯用語、不等式”專題解題分析[J]. 中國數(shù)學教育(高中版),2022(7 / 8):21-31,40.

作者簡介:王浩宇(1998— ),男,二級教師,主要從事課題教學研究;

王紅權(1970— ),男,高級教師,浙江省特級教師,主要從事中學數(shù)學教學研究.

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