安學(xué)保　王艷雪

摘? 要：通過對(duì)2023年高考數(shù)學(xué)9份試卷中復(fù)數(shù)和平面向量試題進(jìn)行綜合研究，從試題特點(diǎn)和試題解法兩個(gè)方面歸納分析，總結(jié)解決復(fù)數(shù)和平面向量問題所需要的數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)思維. 在此基礎(chǔ)上，給出了回歸基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的復(fù)習(xí)備考建議．

關(guān)鍵詞：2023年高考；復(fù)數(shù)；平面向量；解題分析

2023年高考數(shù)學(xué)9份試卷均對(duì)復(fù)數(shù)和平面向量?jī)?nèi)容進(jìn)行了考查. 考查復(fù)數(shù)的試題通常為單獨(dú)的一道題（選擇題或填空題），分值為5分. 考查平面向量的試題通常會(huì)有獨(dú)立的一道客觀題，分值也是5分. 同時(shí)，在平面解析幾何試題中，會(huì)出現(xiàn)以平面向量呈現(xiàn)的條件表述，以及將平面向量作為解決平面幾何問題的工具的試題. 從必備知識(shí)層面，復(fù)數(shù)部分主要考查復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義等；平面向量部分主要考查向量的模、夾角等基本概念，以及向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算等基本運(yùn)算，向量的簡(jiǎn)單應(yīng)用也是?？純?nèi)容.

該部分試題的命制符合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）和《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》的有關(guān)要求. 圍繞復(fù)數(shù)和平面向量?jī)?nèi)容，聚焦重要概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性，注重對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)和通性通法的考查.

一、試題特點(diǎn)分析

2023年高考復(fù)數(shù)和平面向量試題反映了新時(shí)代基礎(chǔ)教育課程理念，突出對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的理解和掌握，難度適中，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性. 相關(guān)試題多以選擇題和填空題的形式呈現(xiàn)，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想和關(guān)鍵能力的考查.

1. 概念是解題的起點(diǎn)，以復(fù)數(shù)和平面向量概念為基礎(chǔ)，考查學(xué)生對(duì)概念的理解和應(yīng)用能力，體現(xiàn)高考試題的基礎(chǔ)性

【評(píng)析】該題主要考查復(fù)數(shù)的乘法和復(fù)數(shù)相等的概念. 在正確運(yùn)算的基礎(chǔ)上，利用復(fù)數(shù)相等的概念將[a+i1-ai=2]轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，即可確定參數(shù)的值. 該題體現(xiàn)了高考試題考查的基礎(chǔ)性，考查了學(xué)生熟練運(yùn)用概念進(jìn)行解題的能力. 人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）中多次出現(xiàn)利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù)的值的題目，該題將教材中的復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算與這種題型的問題進(jìn)行了適當(dāng)?shù)恼?

2. 以運(yùn)算為載體，考查學(xué)生對(duì)運(yùn)算路徑的選擇和運(yùn)用能力，體現(xiàn)高考試題的基礎(chǔ)性

2023年高考復(fù)數(shù)和平面向量試題以運(yùn)算為載體，要求學(xué)生掌握不同的運(yùn)算方法，考查學(xué)生對(duì)不同運(yùn)算路徑進(jìn)行合理選擇和快速運(yùn)用的能力.

【評(píng)析】該題考查的知識(shí)點(diǎn)主要有向量的夾角和模的概念，以及向量的數(shù)乘、加法和數(shù)量積等運(yùn)算. 解法1通過觀察發(fā)現(xiàn)[a+b=-c]，結(jié)合向量的模的平方相等將它們表示出來，然后利用基向量的運(yùn)算和三角函數(shù)的定義解決問題. 這種解法要求學(xué)生有敏銳的觀察力，捕捉題設(shè)條件中各種顯性和隱性的信息，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，有利于提升學(xué)生多角度思考問題的能力. 解法2整體把握試題的走向，考查了學(xué)生利用建立平面直角坐標(biāo)系的方法解決問題的能力，是通性通法. 解法3是在解法1的基礎(chǔ)上，結(jié)合向量的差和夾角公式來解決問題，揭示了向量的數(shù)量積運(yùn)算的幾何意義.

2022年全國(guó)甲卷（理科）第13題、2021年北京卷第13題、2018年全國(guó)Ⅱ卷（文科）第4題等都與該題有著相同的背景. 平面向量數(shù)量積的定義及其變形后的夾角公式、模長(zhǎng)公式是考查數(shù)形結(jié)合思想的重要載體. 正可謂“代數(shù)幾何熔一爐，長(zhǎng)度距離一點(diǎn)通”，多進(jìn)行總結(jié)反思，方能靈活運(yùn)用、得心應(yīng)手.

3. 以應(yīng)用為核心，考查學(xué)生對(duì)各個(gè)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，體現(xiàn)高考試題的綜合性

2023年高考復(fù)數(shù)和平面向量試題，以應(yīng)用為核心，要求學(xué)生對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，考查學(xué)生快速應(yīng)用不同知識(shí)點(diǎn)綜合解決問題的能力.

【評(píng)析】解法1根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解，對(duì)于等號(hào)兩邊的[a+b]與[2a-b]進(jìn)行平方運(yùn)算，得到有效信息，代入[a-b]的平方消除未知量，從而求出[b]. 這是一種不錯(cuò)的選擇，這種方法屬于通性通法. 如果我們僅僅停留在“平方后能求出結(jié)果”這一層面上，那么蘊(yùn)含在題設(shè)中的向量的幾何背景就會(huì)被代數(shù)平方運(yùn)算所掩蓋. 其實(shí)，只要在圖中稍作向量標(biāo)畫，就可以應(yīng)用向量解出答案，這就是解法3，通過數(shù)形結(jié)合，實(shí)現(xiàn)兩種解法的統(tǒng)一. 解法3的核心是心中有數(shù)，腦中有形，心中有模. 解法2利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，令[c=a-b]，通過換元，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解. 對(duì)于較復(fù)雜的計(jì)算，此方法更加適用. 人教A版教材中有很多類似的練習(xí)題目，如必修第二冊(cè)第36頁練習(xí)的第1題“已知[a=-3，4，b=5，2]，求[a， b，] [a ? b]”和第2題“已知[a=2，3，b=-2，4，] [c=-1，-2]，求[a ? b， a+b ? a-b，a ? b+c， a+b2]”等.

這類平面向量試題在歷年高考中考查次數(shù)較多. 例如，2022年全國(guó)乙卷（理科）第3題和2021年北京卷第13題等. 以兩個(gè)向量的數(shù)量積為依托，靈活運(yùn)用夾角公式與模長(zhǎng)公式處理問題，是處理向量問題的有力抓手，而數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用又將長(zhǎng)度與距離進(jìn)行了更高層次的升華.

二、優(yōu)秀試題分析

回顧反思：解決該題的關(guān)鍵是尋找變化之中的不變量. 雖然割線[PB]的位置在發(fā)生變化，但是[OA]與[PA]的垂直關(guān)系、[OD]與[PB]的垂直關(guān)系始終保持不變. 這兩個(gè)直角三角形是解決該題的重要條件. [△OAP]是三邊長(zhǎng)度確定的直角三角形，而直角三角形[ODP]的斜邊長(zhǎng)度確定，因?yàn)閇∠OPC]的變化導(dǎo)致兩條直角邊長(zhǎng)度發(fā)生變化. 解法1以[∠OPC]為變量，由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義得[PA · PD=][12-22sin2α-π4]或[PA · PD][=12+22sin2α+π4]，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)確定[PA · PD]的最大值. 解法2利用圖形中的垂直關(guān)系建立平面直角坐標(biāo)系，將動(dòng)點(diǎn)[D]的運(yùn)動(dòng)規(guī)律通過坐標(biāo)得以顯性化，尋找點(diǎn)[D]所在的“隱圓”（一部分），而[PA · PD]的坐標(biāo)表示更是非常簡(jiǎn)單. 該解法中，平面直角坐標(biāo)系的建立方法是使問題簡(jiǎn)單化的關(guān)鍵，在數(shù)形結(jié)合解決平面幾何問題時(shí)，充分利用條件建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，并且利用坐標(biāo)表示也是我們尋找動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的重要方法之一. 大家可以在解題過程中慢慢體會(huì).

三、復(fù)習(xí)備考建議

通過對(duì)2023年高考數(shù)學(xué)試題的分析，結(jié)合近幾年高考復(fù)數(shù)和平面向量試題的特點(diǎn)，筆者提出以下復(fù)習(xí)備考建議供大家參考.

1. 強(qiáng)化核心概念，注重基礎(chǔ)性的落實(shí)

近幾年，復(fù)數(shù)和平面向量試題在高考數(shù)學(xué)中屬于基礎(chǔ)性試題，試題重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)和平面向量的基本概念及運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn). 復(fù)數(shù)部分主要考查的是概念，考查復(fù)數(shù)的定義（含實(shí)部和虛部的概念）、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)等. 復(fù)數(shù)的運(yùn)算重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義. 平面向量部分主要考查平面向量的模、夾角等基本概念，以及平面向量基本定理、向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積等基本運(yùn)算. 另外，向量的平行與垂直的充要條件也是考查的重點(diǎn). 復(fù)習(xí)時(shí)，我們應(yīng)該在復(fù)數(shù)和平面向量的概念理解及基本運(yùn)算的掌握上下功夫，深化解決復(fù)數(shù)和平面向量問題的通性通法.

2. 強(qiáng)化運(yùn)算訓(xùn)練，突出“數(shù)”“形”二維特征

復(fù)數(shù)和平面向量都有“數(shù)”和“形”二重性的特點(diǎn). 從“數(shù)”的角度來看，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算；從“形”的角度來看，有長(zhǎng)度和角度，可以刻畫很多幾何對(duì)象. 復(fù)數(shù)屬于代數(shù)范疇，它肩負(fù)著提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的重任. 復(fù)數(shù)問題的求解要回歸復(fù)數(shù)內(nèi)部，通過復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、模、共軛復(fù)數(shù)等性質(zhì)，讓復(fù)數(shù)的運(yùn)算充滿“復(fù)數(shù)味”. 平面向量“數(shù)”方面的特征也不單是相應(yīng)坐標(biāo)的運(yùn)算，還有平面向量代數(shù)表示的運(yùn)算. 復(fù)數(shù)和平面向量問題的解決不能局限在“數(shù)”這個(gè)層面，更要關(guān)注到“形”的特征，要讓復(fù)數(shù)和平面向量的運(yùn)算飄著“圖形香”. 如此才能體現(xiàn)新高考數(shù)學(xué)對(duì)“必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值”四層內(nèi)容的考查.

在進(jìn)行該專題復(fù)習(xí)備考時(shí)，我們不僅要掌握解決復(fù)數(shù)和平面向量問題的通性通法，還要重點(diǎn)突出各類題型的典型解法. 例如，在求向量的數(shù)量積時(shí)，可以通過基向量法和建立平面直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)處理等方法進(jìn)行求解. 在這些通性通法的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)理解和消化重要概念和定理，利用概念優(yōu)化解題過程. 在復(fù)習(xí)過程中，要善于思考，分析問題的本質(zhì)，利用典型解法來解決問題.

3. 深化知識(shí)聯(lián)系，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想提煉

復(fù)數(shù)與平面向量的內(nèi)容中滲透了大量的數(shù)學(xué)解題思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、方程思想等，所以在復(fù)習(xí)備考過程中應(yīng)該重視數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)和提煉，提高應(yīng)用思想方法解題的意識(shí). 幾何與代數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程的主線，在復(fù)習(xí)備考過程中，要突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合，即通過“形”與“數(shù)”的結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)整體性的理解. 要善于從本質(zhì)上抓住這些聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)語言與向量語言、圖形語言之間的靈活轉(zhuǎn)化，便可輕松獲取解題路徑. 這是幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想的重要途徑，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)最有效的方法.

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作者簡(jiǎn)介：安學(xué)保（1975— ），男，中小學(xué)正高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與評(píng)價(jià)研究；

王艷雪（1992— ），女，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題研究.