郭慧清　洪建明　曾勁松

編者按：2023年《中國數(shù)學(xué)教育》高考?？?qǐng)來自全國13個(gè)省、市的權(quán)威專家撰稿，分“命題分析”和“解題分析”兩個(gè)專版，按“整體評(píng)價(jià)”和“專題評(píng)價(jià)”兩個(gè)層次，以全國卷為主，兼顧地方卷，突出對(duì)高考命題改革新變化的分析，并從中歸納教學(xué)新導(dǎo)向，輔助教師把握新高考的命題理念和考查要求，促進(jìn)學(xué)生理解高考試題的考查要點(diǎn)和解題方向. 文章中所用高考試題如有出入，以官方發(fā)布為準(zhǔn). 本專題文章持續(xù)刊登，歡迎廣大教師圍繞本專題內(nèi)容踴躍投稿！

摘? 要：對(duì)2023年高考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行整體梳理，從基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性等方面對(duì)試題進(jìn)行特點(diǎn)分析. 通過對(duì)典型試題的分析，揭示試題的知識(shí)背景，挖掘試題所蘊(yùn)含的思想方法；以精選試題作為題例進(jìn)行解法分析，重視試題解答的通性通法，強(qiáng)調(diào)各種解答之間所表現(xiàn)出的數(shù)學(xué)聯(lián)系性. 并在此基礎(chǔ)上結(jié)合實(shí)例為高考復(fù)習(xí)備考提供策略與建議.

關(guān)鍵詞：高考試題；試題特點(diǎn)；解題分析；復(fù)習(xí)建議

每年的高考數(shù)學(xué)試題都被人們廣泛關(guān)注，也不斷有人對(duì)其作出分析與解答. 但是，我們到底要關(guān)注什么？怎樣分析與解答才能獲得試題對(duì)于數(shù)學(xué)教與學(xué)的確切啟示？

2023年高考數(shù)學(xué)試題重視對(duì)數(shù)學(xué)概念與原理的考查，突出檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟程度，從基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性等多角度反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，測(cè)量學(xué)生的“四基”“四能”與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 試題力求反映數(shù)學(xué)內(nèi)容的特殊與一般、聯(lián)系與綜合等特征，對(duì)今后的高中數(shù)學(xué)教學(xué)具有啟發(fā)性，也為一線教師評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平提供了重要參考.本文通過對(duì)2023年高考數(shù)學(xué)試題的解題分析，力求闡明2023年高考數(shù)學(xué)試題的主要特點(diǎn)，并以此為2024年高考數(shù)學(xué)備考提供參考建議.

一、試題特點(diǎn)分析

1. 強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性

數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化與數(shù)學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)性決定了高考數(shù)學(xué)試題必須強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性. 因此，從數(shù)學(xué)的基本概念與基本模型、基本方法與基本思想出發(fā)探求試題的解題途徑，是解題思維的起點(diǎn)與基本路徑.

分析：此題考查集合的運(yùn)算，對(duì)交集意義的理解，以及一元二次不等式的解法. 通常的做法是先求出不等式[x2-x-6≥0]的解集，再找出集合M與集合N的公共元素，并由此得到答案. 這樣做雖然可以得到正確的答案，但耗時(shí)較多，也沒有體現(xiàn)出對(duì)交集意義的深入理解. 如果注意到求[M?N]的本質(zhì)，就是檢驗(yàn)集合M的元素哪些在集合N中，當(dāng)[x≤1]時(shí)，利用絕對(duì)值三角不等式容易作出判斷，這樣只需要觀察集合M中絕對(duì)值較大的數(shù)-2，2是否滿足不等式[x2-x-6≥0]即可.

將-2，2分別代入不等式[x2-x-6≥0]驗(yàn)證，只有-2是該不等式的解，故[M?N]=[-2].

【評(píng)析】深刻理解數(shù)學(xué)概念是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵與基本功．“交”是集合最基礎(chǔ)的運(yùn)算，其本質(zhì)是尋找兩個(gè)集合的公共元素，也就是求滿足兩個(gè)集合條件的元素. 此題中由于集合M中的元素明確且少量，故相對(duì)于解法1，解法2能更快捷地得到答案，這也是高水平數(shù)學(xué)思維的基本特征，這在規(guī)定時(shí)間的考試中非常重要．

分析：此題考查復(fù)數(shù)的基本概念與基本運(yùn)算，同時(shí)可以檢驗(yàn)學(xué)生知識(shí)的“寬度”與“深度”. 根據(jù)虛數(shù)單位[i]的意義及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，將復(fù)數(shù)[z]化為代數(shù)形式，然后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出答案. 除此之外，也可

【評(píng)析】解法1是使用計(jì)算的方式考查邏輯推理，當(dāng)然不是簡單的數(shù)字計(jì)算，而是結(jié)合作圖與證明進(jìn)行的. 基本步驟可以歸納為作圖、證明、計(jì)算. 作圖是作出必要的輔助線或待求的幾何量；證明是運(yùn)用三段論的方式進(jìn)行演繹推理；計(jì)算大多數(shù)在三角形中進(jìn)行. 這三步緊密聯(lián)系，構(gòu)成用純幾何法解決空間度量問題的思維程序，是數(shù)學(xué)能力的綜合體現(xiàn).

【評(píng)析】全概率公式[PB=i=1nPAiPBAi]是高中數(shù)學(xué)課程中新增加的內(nèi)容，是概率論最基本的公式之一，提供了求復(fù)雜事件概率的方法，即將一個(gè)復(fù)雜事件表示為若干兩兩互斥事件的和，進(jìn)而將難求的復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為可求事件的概率來解決問題．

現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材在必修和選擇性必修課程中介紹了[Eax+b=aEx+b]，但沒有介紹[Ex+y=Ex+][Ey]（x，y是隨機(jī)變量，a，b是常數(shù)），而這又是解決第（3）小題的依據(jù)，這提醒學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)要處理好必修、選擇性必修與選修課程之間的關(guān)系.

【評(píng)析】第（2）小題的求解難點(diǎn)是如何對(duì)[a]進(jìn)行分類，也就是找到對(duì)[a]分類的“界”. 出發(fā)點(diǎn)是在x = 0處，[fx]的符號(hào)應(yīng)該是左正右負(fù). 基于對(duì)稱性，對(duì)于正數(shù)a，只要存在正數(shù)m使得[fx]< 0在區(qū)間[0，m]上恒成立即可. 由第（1）小題，可知[ax-ax2

與此類似的試題有2023年全國甲卷（理科）第21題.

例10 （全國新高考Ⅰ卷·22）在直角坐標(biāo)系[xOy]中，點(diǎn)[P]到[x]軸的距離等于點(diǎn)[P]到點(diǎn)[0， 12]的距離，記動(dòng)點(diǎn)[P]的軌跡為[W]．

（1）求[W]的方程；

（2）已知矩形[ABCD]有三個(gè)頂點(diǎn)在[W]上，證明：矩形[ABCD]的周長大于[33]．

分析：此題以拋物線為載體，考查求軌跡方程，以及不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的綜合問題.

第（1）小題設(shè)[Px，y]，根據(jù)點(diǎn)[P]應(yīng)該滿足的幾何條件列出方程，化簡即可. 對(duì)于第（2）小題，可以把問題轉(zhuǎn)化到拋物線[y=x2]上考慮求解. 設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為[At，t2，Bt1，t12，Dt2，t22，] 或者設(shè)[At，t2]和直線[AB]的斜率為[k]，利用[AB⊥AD]，建立[t，t1，t2]或[t，k]之間的關(guān)系，然后求出矩形[ABCD]周長的表達(dá)式，再利用不等式放縮減少變量的個(gè)數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值. 這里的工具有導(dǎo)數(shù)、基本不等式或三角換元等，最后驗(yàn)證等號(hào)均成立的條件不具備即可.

【評(píng)析】此題以現(xiàn)代通信中的信息傳輸為背景，體現(xiàn)了概率知識(shí)在實(shí)際問題中的應(yīng)用. 將信息傳輸中的基本狀態(tài)和譯碼規(guī)則與隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的和與積對(duì)應(yīng)起來是解決問題的關(guān)鍵．比較兩個(gè)概率的大小，則要用到作差法比較兩數(shù)大小及代數(shù)式的恒等變形．

例13 （全國新高考Ⅱ卷·19）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖13和圖14所示.

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值[c]，將該指標(biāo)大于[c]的人判定為陽性，小于或等于[c]的人判定為陰性. 此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為[pc]；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為[qc]. 假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布. 以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

（1）當(dāng)漏診率[pc=0.5%]時(shí)，求臨界值[c]和誤診率[qc]；

（2）設(shè)函數(shù)[fc=pc+qc]. 當(dāng)[c∈95，105]時(shí)，求[fc]的解析式，并求[fc]在區(qū)間[95，105]的最小值．

分析：此題考查用樣本估計(jì)總體的思想和函數(shù)思想；考查數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

指標(biāo)[c]在兩個(gè)圖中是同一個(gè)位置，大于[c]判定為陽性，不大于[c]判定為陰性. 圖13是患病者指標(biāo)分布，因此小于[c]對(duì)應(yīng)漏診率；圖14是未患病者指標(biāo)分布，因此不小于[c]對(duì)應(yīng)誤診率. 第（1）小題根據(jù)漏診率，即圖13中[c]左邊矩形的面積和為0.5%確定[c]的值，從而在圖14中求得[c]右邊的矩形面積和，即誤診率. 第（2）小題將[c]作為自變量，先求得[fc]的解析式，再求[fc]的最小值．

【評(píng)析】此題以醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)為背景，揭示了確定醫(yī)學(xué)指標(biāo)臨界值[c]的過程. 試題要求學(xué)生能從圖文中正確讀取數(shù)據(jù)信息，通過臨界值[c]將從兩個(gè)圖得到的信息聯(lián)系起來進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，充分反映了高中概率統(tǒng)計(jì)課程的基本要求，也是學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的具體體現(xiàn)．

4. 引導(dǎo)創(chuàng)新性

2023年高考數(shù)學(xué)試題在考查學(xué)生創(chuàng)新精神、創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力方面有新的突破，不僅出現(xiàn)了應(yīng)用全概率公式計(jì)算概率這樣考查新內(nèi)容的試題，也出現(xiàn)了解析幾何與不等式證明、求函數(shù)最值相結(jié)合的試題. 特別值得注意的是，以往試題中所涉及的數(shù)學(xué)對(duì)象，在給出一定條件后就成為確定的數(shù)學(xué)對(duì)象或一元數(shù)學(xué)對(duì)象，2023年高考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)了在給定條件下是二元數(shù)學(xué)對(duì)象的試題（如全國新高考Ⅰ卷第12題），這值得大家關(guān)注和分析總結(jié)．

例14 （全國新高考Ⅰ卷·12）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（? ? ）.

（A）直徑為[0.99 m]的球體

（B）所有棱長均為[1.4 m]的四面體

（C）底面直徑為[0.01 m]，高為[1.8 m]的圓柱體

（D）底面直徑為[1.2 m]，高為[0.01 m]的圓柱體

分析：此題考查正方體與正四面體、球體、圓柱體等的簡單組合體，要求學(xué)生運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算等方式認(rèn)識(shí)和探索空間圖形的結(jié)構(gòu)特征（形狀、大小、位置）. 根據(jù)題意，結(jié)合正方體內(nèi)部的球、正四面體、圓柱及正方體直徑（正方體上兩點(diǎn)間的最大距離）、截面等逐項(xiàng)分析判斷即可求解. 對(duì)于選項(xiàng)D，可以考慮以正方體的體對(duì)角線為軸的圓柱，也可以考慮正方體的最大面積的截面的內(nèi)切圓.

解：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)槔忾L為[1]的正方體，其內(nèi)切球的直徑為[1>0.99]，所以直徑為[0.99]的球體能夠被整體放入此正方體內(nèi). 故正確.

對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)槔忾L為[1]的正方體的面對(duì)角線長為[2>1.4]，如圖15中棱長為[2]的正四面體[ABCD]在棱長為[1]的正方體內(nèi)，所以棱長為[1.4]的正四面體能夠被整體放入此正方體內(nèi). 故正確.

對(duì)于選項(xiàng)C，正方體上任意兩點(diǎn)間的最大距離為體對(duì)角線長，因?yàn)槔忾L為[1]的正方體的體對(duì)角線長為[3]，且[3<1.8]，所以高為[1.8]的圓柱體不能夠被整體放入此正方體內(nèi). 故錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)D，由[1.2>1]，可知棱長為[1]的正方體底面正方形不能包含底面直徑為[1.2]的圓柱底面圓. 如圖16，假設(shè)底面圓直徑為[1.2]的圓柱以正方體對(duì)角線[BD1]為軸，圓柱的上底面圓M（點(diǎn)M為圓心）、下底面圓N（點(diǎn)N為圓心）均與多面體的面相切，設(shè)圓N與正方體下底面相切于點(diǎn)[E]，由于底面圓半徑為[0.6]，所以[NE=35].

【評(píng)析】此題具有豐富的實(shí)際背景，在工程、材料、包裝、雕塑等設(shè)計(jì)領(lǐng)域經(jīng)常會(huì)遇到類似的空間組合體問題. 如果學(xué)生善于觀察生活，掌握一些常見空間幾何組合體模型（如柱體、錐體、臺(tái)體、球體等的接、切、截），則很容易判斷此題選項(xiàng)A，B，C的正誤. 對(duì)于選項(xiàng)D，則需要學(xué)生具有較強(qiáng)的空間想象與估算能力. 2018年全國新課標(biāo)Ⅰ卷第12題也曾考查過正方體的最大截面問題.

與此類似的試題有2023年上海卷第12題.

例15 （全國新高考Ⅱ卷·15）已知直線[x-my+][1=0]與[⊙C： x-12+y2=4]交于[A，B]兩點(diǎn)，寫出滿足“[△ABC]面積為[85]”的[m]的一個(gè)值________.

分析：此題主要考查直線與圓的方程及直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等；考查數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想. 根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長[AB]，以及點(diǎn)[C]到直線[AB]的距離，結(jié)合面積公式即可解出答案．

【評(píng)析】此題具有一定的開放性，答案不唯一，解題方法也較多. 上述解法1是通法，解法2是注意到題中直線過特殊的定點(diǎn)（在圓上，也在橫軸上），因而只需考慮直線[y=85]或直線[y=-85]與圓的交點(diǎn)即可. 當(dāng)然，發(fā)現(xiàn)[A-1，0]后，也可以利用圓的參數(shù)方程求解：設(shè)[B1+2cosθ，2sinθ，] 則[CA=-2，0， CB=2cosθ，2sinθ][0≤θ<2π.] 所以[S△ABC=12CACBsinπ-θ=2sinθ=85.]由此求得[sinθ]的值后，再求點(diǎn)[B]的坐標(biāo)和m的值.

分析：此題考查圓錐曲線的基礎(chǔ)知識(shí)；考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理素養(yǎng).

若曲線是“自相關(guān)曲線”，則存在定點(diǎn)M，當(dāng)曲線上任一點(diǎn)P到M的距離為d時(shí)，曲線上必有相應(yīng)的點(diǎn)Q到點(diǎn)M距離為[1d]. 問題可以轉(zhuǎn)化為“設(shè)曲線上任一點(diǎn)到某定點(diǎn)M距離的取值范圍為A，若d?A時(shí)[1d]?A，則該曲線為自相關(guān)曲線”. 因此，求[PM]的取值范圍是關(guān)鍵.

解：對(duì)于命題①，不妨設(shè)橢圓的方程為[x2a2+y2b2=1][? a>b>0，Mm，0 m>a.] 由幾何直觀，可得[PM]的取值范圍為A =[m-a，m+a]. 令[m-am+a=1，]解得m =[1+a2].

可見，存在點(diǎn)M[1+a2，0，] 對(duì)于橢圓上任意一點(diǎn)P，在橢圓上都有點(diǎn)Q，使得[PMQM=1]. 所以橢圓為“自相關(guān)曲線”. 故為真命題．

對(duì)于命題②，對(duì)于任意的點(diǎn)M和雙曲線上的點(diǎn)[P]，顯然[PM]存在最小值m（m > 0），即[PM]的取值范圍是A =[m，+∞]. 假設(shè)雙曲線是“自相關(guān)曲線”，且雙曲線上某點(diǎn)P滿足[PM=d]，則所求的Q須滿足[QM]=[1d]. 所以[d>m]且[1d>m]. 由[d>m]，得[1d]< m. 這與[1d>m]矛盾，所以點(diǎn)Q不存在. 所以不存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”，故為假命題．

【評(píng)析】此題求解的關(guān)鍵在于深入理解新定義，并能夠?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為求曲線上任一點(diǎn)到定點(diǎn)M的距離的取值范圍. 對(duì)于命題①，考慮到這是一個(gè)存在性問題，因此假設(shè)定點(diǎn)為M（m，0），并且m > a，這樣可以更輕松地得到[PM]的取值范圍. 當(dāng)m =[1+a2]時(shí)，[PM]的取值范圍是A =[1+a2-a， 1+a2+a]，兩端點(diǎn)的值互為倒數(shù)（積為1）. 滿足若d∈A，必有[1d]∈A. 可見，此題本質(zhì)上就是當(dāng)[PM]的取值范圍是一段區(qū)間時(shí)，判斷這個(gè)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)是否互為倒數(shù)即可，但是雙曲線不具有這一特點(diǎn)，有了這個(gè)認(rèn)識(shí)，就可以迅速判斷命題②的真假．

二、優(yōu)秀試題剖析

一道試題如果能用自然樸素、簡潔明了的方式表達(dá)，既能測(cè)量學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念原理、思想方法的理解，反映學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，區(qū)分學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，便于高校選拔人才，又能幫助一線教師正確理解《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》精神，引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)，使日常教學(xué)朝著數(shù)學(xué)育人的方向進(jìn)行，這樣的試題一定是一道優(yōu)秀試題．

在2023年高考數(shù)學(xué)試題中，有很多對(duì)日后教學(xué)有所啟示，值得我們認(rèn)真分析和總結(jié)的優(yōu)秀試題．

例18 （全國新高考Ⅱ卷·13）已知向量a，b滿足[a-b=3]，[a+b=2a-b]，則[b]的值為? ? ? .

由此我們認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系性永遠(yuǎn)是教學(xué)的主題與數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的重要課程.

例19 （全國新高考Ⅰ卷·15）已知函數(shù)[fx=][cosωx-1 ω>0]在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則[ω]的取值范圍是________．

試題賞析：此題考查對(duì)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的理解；考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想.

教學(xué)啟示：此題涉及的數(shù)學(xué)模型是余弦函數(shù)，引入?yún)?shù)[ω]后使得余弦函數(shù)演變?yōu)橛嘞倚秃瘮?shù)，但其基本性質(zhì)仍與余弦函數(shù)密切相關(guān). 教學(xué)過程中，在幫助學(xué)生回顧余弦函數(shù)y = cos x的圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)上，應(yīng)使學(xué)生理解參數(shù)[ω]對(duì)余弦型函數(shù)性質(zhì)的影響. 解決問題時(shí)，可以換元，然后利用更熟知的余弦函數(shù)（圖象固定）觀察區(qū)間[0，2ωπ]右端點(diǎn)的變化；也可以固定區(qū)間[0，2π]，觀察函數(shù)[y=cosωx]的圖象，利用[ω]對(duì)圖象的影響解決問題．

例20 （全國新高考Ⅰ卷·17）已知在△ABC中，[A+B=3C，2sinA-C=sinB]．

（1）求[sinA]；

（2）設(shè)AB = 5，求邊AB上的高．

試題賞析：此題考查解三角形、正弦定理的應(yīng)用；考查學(xué)生三角恒等變形的能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

第（1）小題中的三角形在給定兩個(gè)條件下是一元數(shù)學(xué)對(duì)象，求解目標(biāo)是探求可變對(duì)象的不變性；第（2）小題中的三角形在增加一個(gè)條件后成為零元數(shù)學(xué)對(duì)象，三角形中的距離與角度都可求.

在第（1）小題中，由[A+B=3C]，可知[C=π4]. 將[C=π4]代入[2sinA-C=sinB]并保留A消去B，得到A的某個(gè)三角函數(shù)，從而得到[sinA]的值. 至此，三個(gè)內(nèi)角全部已知，使三角形降為一元數(shù)學(xué)對(duì)象. 在第（2）小題中，AB = 5說明△ABC是確定的，故只需要解其中的直角三角形即可求得邊AB的高，但要與△ABC聯(lián)系起來解決問題．

教學(xué)啟示：三角形是基本的數(shù)學(xué)對(duì)象，是我們用元思想理解數(shù)學(xué)對(duì)象的典范. 教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)該以解三角形為例，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)對(duì)象的元對(duì)于認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象并掌握數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)的重要性. 數(shù)學(xué)對(duì)象的特殊情形是認(rèn)識(shí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)對(duì)象解決問題的重要基礎(chǔ). 在此題中，利用含CH的直角三角形求邊AB上的高，比用其他方法會(huì)更有效. 因此，教學(xué)中應(yīng)重視對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象特殊性的認(rèn)識(shí)與運(yùn)用.

教學(xué)啟示：在教學(xué)中，要注意正弦型函數(shù)是特殊的函數(shù)，因此可以用導(dǎo)數(shù)幫助研究其圖象與性質(zhì). 確定[φ]的值通常用最值點(diǎn)更好，這樣可以避免討論. 如果用零點(diǎn)條件求解，就會(huì)涉及兩種不同情形的討論. 在此題中，如果不利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷，就很難排除由三角函數(shù)的多值性引起的分類討論，就會(huì)使得問題的解答變得更加復(fù)雜.

例22 （全國新高考Ⅰ卷·20）設(shè)等差數(shù)列[an]的公差為[d]，且[d>1]. 令[bn=n2+nan]，記[Sn，Tn]分別為數(shù)列[an， bn]的前[n]項(xiàng)和．

（1）若[3a2=3a1+a3，S3+T3=21]，求[an]的通項(xiàng)公式；

（2）若[bn]為等差數(shù)列，且[S99-T99=99]，求[d]．

試題賞析：對(duì)于第（1）小題，等差數(shù)列是一個(gè)二元數(shù)學(xué)對(duì)象，通常由兩個(gè)獨(dú)立條件就可以確定. 在此題中，不僅有等差數(shù)列[an]，還有一個(gè)數(shù)列[bn]，且這兩者之間知其一便知其二. 因此，把條件轉(zhuǎn)化為[an]的元表示，則可以求出[an]的通項(xiàng)公式. 對(duì)于第（2）小題，在已知[bn]也為等差數(shù)列的情況下，[an， bn]作為一個(gè)完整的數(shù)學(xué)對(duì)象是四元對(duì)象，但是條件[bn=][n2+nan]使得[an， bn]降為一元數(shù)學(xué)對(duì)象. 在條件[S99-][T99=99]下，[an， bn]就確定了，這里最重要的是由[bn=n2+nan]和[bn]為等差數(shù)列找到[a1]與[d]之間的關(guān)系[a1=d]或[a1=2d].

三、復(fù)習(xí)備考建議

高考試題為復(fù)習(xí)備考提供了豐富的信息，啟發(fā)我們不僅要抓基礎(chǔ)、重綜合、講應(yīng)用、求創(chuàng)新，還要在落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的基礎(chǔ)上，加強(qiáng)對(duì)基本數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟與運(yùn)用，體會(huì)為何要重視數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以及如何發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 同時(shí)，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)該做好以下幾點(diǎn).

1. 加強(qiáng)知識(shí)之間的整體聯(lián)系

通過對(duì)2023年高考數(shù)學(xué)試題特點(diǎn)的分析，我們看到許多試題涉及多個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，綜合程度較高. 因此，復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，盡早樹立整體數(shù)學(xué)觀，這樣在面對(duì)一個(gè)具體問題時(shí)，才能快速、準(zhǔn)確地找到解決問題的途徑，并獲得正確答案. 同時(shí)，為了加強(qiáng)知識(shí)之間的聯(lián)系與整體數(shù)學(xué)觀，建議學(xué)生從高三開始每隔一段時(shí)間做一份高考要求的綜合測(cè)試，以清楚自己處于什么位置.

由此看到，當(dāng)我們把各部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來時(shí)，不僅可以深入體會(huì)方程與函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想也變得自然并充滿力量.

2. 深入體會(huì)數(shù)學(xué)思想

平時(shí)做再多的題，也大概率不會(huì)是高考遇到的題. 因此，復(fù)習(xí)做題的目的是弄清問題背后的概念原理和思想方法，使自己的知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，并借此提升數(shù)學(xué)思維水平，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)及分析問題和解決問題的能力. 因此，每做一道題目，都要把問題中的概念弄清，原理弄透，方法弄熟，思想弄通.

在例3中，若從元思想出發(fā)理解，三棱錐是一個(gè)六元數(shù)學(xué)對(duì)象，需要6個(gè)獨(dú)立的一階條件才能確定. 而三棱錐[P-ABC]的底面是以2為邊長的正三角形，這相當(dāng)于3個(gè)一階獨(dú)立條件，[PA=PB=2]，[PC=6]又是3個(gè)一階獨(dú)立條件，所以一共有6個(gè)一階獨(dú)立條件. 所以三棱錐[P-ABC]是一個(gè)確定的數(shù)學(xué)對(duì)象，因而問題按常規(guī)思路就可以解決.

3. 步驟化解決基本問題

數(shù)學(xué)試題的形式千變?nèi)f化，但萬變不離其宗. 因此，復(fù)習(xí)時(shí)要學(xué)會(huì)對(duì)試題進(jìn)行歸納分類，這樣就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中有些內(nèi)容的考查方式經(jīng)常出現(xiàn)，我們把圍繞這些內(nèi)容的考查所形成的常見考查形式稱為這一內(nèi)容的基本問題. 例如，在立體幾何試題中，常見的基本問題有證明平行或垂直、求距離與角度、求體積與表面積、圖形的割補(bǔ)與折疊和立體圖形的截面等.

我們弄清楚解決某個(gè)基本問題的基本步驟，就相當(dāng)于解決好了一類問題. 例如，在例7中包含以下基本問題：（1）直線[A1C]與平面[ABC]的垂直（性質(zhì)）；直線BC與平面[A1ACC1]的垂直（判定）；（2）求點(diǎn)A到平面[BCC1B1]的距離；（3）求直線[AB1]與平面[BCC1B1]所成角. 用幾何法求直線[AB1]與平面[BCC1B1]所成角這個(gè)基本問題的步驟如下.

第1步，求點(diǎn)A到平面[BCC1B1]的距離[d1]；

第2步，求線段[AB1]的長[d2]；

第3步，計(jì)算[sinθ=d1d2]并得出結(jié)果.

用向量解決這個(gè)基本問題的基本步驟如下.

第1步，建立空間直角坐標(biāo)系；

第2步，求出向量[AB1]的坐標(biāo)；

第3步，求出平面[BCC1B1]的法向量n；

第4步，計(jì)算[sinθ=AB1 ? nAB1n]并得出結(jié)果.

4. 以教材視角審視試題

任何一道高考試題都是運(yùn)用教材中的概念、原理、方法與思想解決問題的具體體現(xiàn)，這就要求學(xué)生尊重教材所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)表達(dá). 如果學(xué)生試圖按照自己的不符合數(shù)學(xué)要求的方式去思考或表達(dá)，一定會(huì)出現(xiàn)許多漏洞甚至錯(cuò)誤. 如果深入分析試題，你會(huì)發(fā)現(xiàn)高考試題均由教材中的基本問題組合而成，有些試題還是教材習(xí)題的變式. 例如，全國新高考Ⅰ卷第7題與人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第二冊(cè)第25頁綜合應(yīng)用第7題就有著密切的聯(lián)系.

5. 與好問題做“好朋友”

一個(gè)好的問題不僅可以幫助我們深入理解數(shù)學(xué)概念與原理，深刻體會(huì)數(shù)學(xué)方法與思想，還能在遇到一個(gè)新問題時(shí)，以“好朋友”的身份幫助我們找到解決問題的途徑與方法. 因此，我們要做“好問題”，并把“好問題”做好，真正體會(huì)到“做好問題比多做問題重要”. 只有使一定量的好問題成為自己思維的“好朋友”，才能使高考復(fù)習(xí)高質(zhì)、高效. 例如，對(duì)于例22的第（2）小題，最基本的想法就是得到關(guān)于[d]的方程并求解，但是在列方程的過程中不可能不涉及其他的量（如首項(xiàng)[a1]），這時(shí)就需要列多元方程組來求解，則求解的難度便與選取的相關(guān)量密切相關(guān). 因此，如例22的分析所述，嘗試選取不同的量作為元去求解，才能體會(huì)該怎樣優(yōu)化解題過程.

6. 以提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目的選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容

雖然高考試題中涉及的知識(shí)不會(huì)超出數(shù)學(xué)必修和選擇性必修的內(nèi)容，但是解答試題的方法與能力是沒有限制的. 例如，直線的參數(shù)方程不在現(xiàn)在的必修與選擇性必修內(nèi)容中，有關(guān)解析幾何的試題也可以不用它來解決，但是如果用直線的參數(shù)方程求解相關(guān)問題往往會(huì)使得求解過程變得簡單. 因此，在現(xiàn)在高中課程鼓勵(lì)學(xué)生加大選修力度的情況下，對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生而言，多學(xué)習(xí)一些類似于參數(shù)方程、數(shù)學(xué)歸納法、復(fù)數(shù)的三角形式的內(nèi)容是有利于考試和最終發(fā)展的.

當(dāng)你不僅是因?yàn)榭荚嚩鴮W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而是以追求數(shù)學(xué)的美與力量，以欣賞和渴求人類智慧的姿態(tài)而沉浸于數(shù)學(xué)的世界. 不僅是為了獲得試題的答案而去分析與解答，而是為了明確試題背后的概念、原理、方法和思想，那么數(shù)學(xué)在你的心中一定是：夢(mèng)你是畫，畫你是詩，吟你是歌．

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］郭慧清. 元的思想及其運(yùn)用［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，1995（3）：10-14.

［3］郭慧清. 元在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與作用［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2006，45（5）：26-29.

［4］郭慧清，黃文輝，葛一偉. 映山紅盛開，夜亦是紅色：2022年高考數(shù)學(xué)試題解題分析及復(fù)習(xí)備考建議［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2022（7 / 8）：3-20.

作者簡介：郭慧清（1961— ），男，正高級(jí)教師，廣東省特級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究；

洪建明（1966— ），男，高級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)教育研究；

曾勁松（1974— ），男，高級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)教育研究.