趙小強　張海營

摘? 要：2023年高考概率與統(tǒng)計試題具有背景豐富、難度穩(wěn)定、考查主干知識和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等特點. 通過系統(tǒng)梳理2023年高考數(shù)學(xué)試卷中的概率與統(tǒng)計試題，分析了試題考點，歸納了解題方法，分析了學(xué)生在解題中出現(xiàn)的困惑與常見錯誤，并闡釋了命題改革的方向，在此基礎(chǔ)上提出了新一輪高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考的建議.

關(guān)鍵詞：概率與統(tǒng)計；計數(shù)原理；解題分析；復(fù)習(xí)建議

概率與統(tǒng)計主要研究現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)和客觀世界中的隨機現(xiàn)象，通過對數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析，以及對事件可能性的刻畫，來幫助人們作出合理的決策，具有很強的應(yīng)用性，是高中數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，也是培養(yǎng)學(xué)生理性思維方式、提高學(xué)生分析問題和解決問題能力的重要載體. 2023年高考數(shù)學(xué)共有9份試卷：全國甲卷（文、理科）、全國乙卷（文、理科）、全國新高考Ⅰ卷、全國新高考Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上海卷. 其中涉及的概率與統(tǒng)計試題考查內(nèi)容與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）要求相一致，與課程內(nèi)容的比例相當(dāng)，注重考查內(nèi)容的全面性和層次性，突出對核心概念、主干知識和重要思想的考查. 試題重在對基礎(chǔ)知識的考查，強調(diào)基本思想方法，通過適度的綜合與創(chuàng)新，考查了學(xué)生對概率與統(tǒng)計基本原理的深入理解和應(yīng)用. 試題結(jié)合生活實際，突出考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng). 下面主要圍繞全國甲卷（文、理科）、全國乙卷（文、理科）、全國新高考Ⅰ卷、全國新高考Ⅱ卷進(jìn)行解題分析.

一、試題特點分析

1. 試題數(shù)量和整體難度相對穩(wěn)定

2023年的9份高考數(shù)學(xué)試卷中，共有24道概率與統(tǒng)計試題（文、理科相同試題不累計），其分布在各份試卷第4題到第21題之間. 與2022年高考概率與統(tǒng)計試題相比，主要有兩點變化：一是全國新高考Ⅰ卷和全國新高考Ⅱ卷分別在多選題中設(shè)置了一道概率與統(tǒng)計試題，在全國新高考Ⅱ卷中更是出現(xiàn)在了選擇題壓軸題的位置，閱讀量較大；二是全國新高考Ⅰ卷中的概率與統(tǒng)計解答題由全卷第20題移到了第21題的位置，重點考查全概率公式及離散型隨機變量的分布問題，并且與等比數(shù)列相結(jié)合，思維量和計算量均較大，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的綜合性. 全國卷對于概率與統(tǒng)計知識的考查，除全國甲卷（文科）設(shè)置一道客觀題和一道解答題外，其他試卷均設(shè)置兩道客觀題和一道解答題，分值占全卷總分值的11.3%—14.7%. 整體來看，全國卷對概率與統(tǒng)計知識的考查基本保持穩(wěn)定，題型搭配協(xié)調(diào)合理. 地方卷與全國卷情形大致相同.

2. 設(shè)置豐富的現(xiàn)實情境，注重知識方法的應(yīng)用

2023年高考概率與統(tǒng)計試題一如既往地突出反映了所學(xué)知識與豐富的、背景公平的現(xiàn)實情境之間的緊密聯(lián)系. 例如，信道傳輸中的信號傳輸方案，藥物或臭氧濃度對動物的影響，醫(yī)學(xué)中對某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)的差異性研究，籃球投籃命中率問題，不同工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的影響，對國內(nèi)生產(chǎn)總值等經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的分析，學(xué)校興趣俱樂部的參加人數(shù)，等等. 這些試題情境與我國的社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展，以及生產(chǎn)、生活實際相結(jié)合，與學(xué)生的生活經(jīng)驗緊密聯(lián)系，富有時代特征，突出了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性和實踐性. 在實際情境中考查學(xué)生運用概率與統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識和基本方法解決實際問題的能力.

3. 考查主干知識，凸顯素養(yǎng)立意

2023年高考概率與統(tǒng)計試題全面考查了概率與統(tǒng)計部分的主要知識和基本方法，考查的知識覆蓋面廣，系統(tǒng)性、聯(lián)系性較強，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計知識的特點.

概率部分考查的主要內(nèi)容如下.

（1）古典概型的概率計算. 例如，全國甲卷（文科）第4題、全國甲卷（理科）第6題、全國乙卷（文科）第9題、天津卷第13題.

（2）幾何概型的概率計算. 例如，全國乙卷（理科）第5題、全國乙卷（文科）第7題.

（3）條件概率、全概率公式與相互獨立事件. 例如，全國新高考Ⅱ卷第12題、上海卷第19題、天津卷第13題.

（4）隨機變量分布列與數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、兩點分布. 例如，全國新高考Ⅰ卷第21題、上海卷第19題.

統(tǒng)計部分考查的主要內(nèi)容如下.

（1）統(tǒng)計圖表與數(shù)據(jù)的數(shù)字特征. 例如，全國乙卷（文 / 理科）第17題、全國新高考Ⅰ卷第9題、上海卷第9題、全國新高考Ⅱ卷第19題.

（2）成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性、散點圖. 例如，上海卷第14題.

（3）獨立性檢驗. 例如，全國甲卷（文 / 理科）第19題.

計數(shù)原理部分考查的主要內(nèi)容如下.

（1）排列組合. 例如，全國甲卷（理科）第9題、全國乙卷（理科）第7題、全國新高考Ⅰ卷第13題、全國新高考Ⅱ卷第3題、上海卷第12題.

（2）二項式定理. 例如，北京卷第5題、上海卷第10題、天津卷第11題.

二、具體分析

1. 計數(shù)原理，注重兩個原理的運用，分清分類與分步的區(qū)別與聯(lián)系

例1 （全國新高考Ⅰ卷·13）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案的種數(shù)為___________（用數(shù)字作答）．

目標(biāo)解析：此題考查了計數(shù)原理的實際應(yīng)用，考查了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng). 排列組合是兩個原理的數(shù)學(xué)體現(xiàn)，高考要求學(xué)生理解計數(shù)原理的意義，掌握排列數(shù)和組合數(shù)的計算公式及組合數(shù)的性質(zhì)，并能利用其解決一些簡單的問題. 排列組合內(nèi)容是概率與統(tǒng)計的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，雖然此類試題在高考中所占比重較小，但是試題都具有一定的靈活性和綜合性.

解法分析：第一種求解思路是直接法，即分類討論選修2門課或3門課，對于選修3門課再討論具體選修課的分配，然后結(jié)合組合數(shù)運算求解. 第二種求解思路是間接法，即可以先計算在8門課中選2門或者3門的選擇種數(shù)，然后從中去掉來自同一類別的選法，即[C28+][C38-C24-C34-C24-C34=64]. 當(dāng)然，就此題來說利用直接法求解更簡便.

解：當(dāng)從8門課中選修2門時，不同的選課方案共有[C14C14=16]種. 當(dāng)從8門課中選修3門時，若選擇體育類選修課1門，藝術(shù)類選修課2門，則不同的選課方案共有[C14C24=24]種；若選擇體育類選修課2門，藝術(shù)類選修課1門，則不同的選課方案共有[C24C14=24]種. 綜上所述，不同的選課方案共有[16+24+24=64]種.

題源分析：此題源自人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）選擇性必修第三冊第25頁練習(xí)第3題的第（3）小題，其都是運用兩個原理，結(jié)合組合數(shù)運算公式求解的.

類題賞析：2010年全國Ⅰ卷（理科）第6題和2018年全國Ⅰ卷（理科）第15題都是典型的對兩個原理進(jìn)行考查的試題.

2. 古典概型與幾何概型，能準(zhǔn)確判斷不同概型，能通過準(zhǔn)確的計數(shù)計算相關(guān)問題

例2 （全國甲卷·文4）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名. 從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（? ? ）.

（A）[16] （B）[13] （C）[12] （D）[23]

目標(biāo)解析：此題考查了古典概型和實際問題中的組合問題等知識點，要求學(xué)生準(zhǔn)確分辨古典概型，并將所有的可能性全部列舉出來，做到不重不漏，解題思路清晰，屬于容易題. 此題側(cè)重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)，同時考查學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力.

解法分析：此題可以采用列舉法或公式法求解. 列舉法比較形象直觀，但在可能性較多的情況下，容易漏寫或重復(fù)；公式法則可能混淆排列數(shù)和組合數(shù).

解法1：（列舉法）依據(jù)題意，將高一、高二的4名學(xué)生分別記作A1，A2，B1，B2. 從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2六種可能. 其中，這2名學(xué)生來自不同年級有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2四種可能，所以這2名學(xué)生來自不同年級的概率為[46=23].

解法2：（公式法）依據(jù)題意，可知從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演的基本事件有[C24=6]個. 其中，這2名學(xué)生來自不同年級的基本事件有[C12C12=4]個，所以這2名學(xué)生來自不同年級的概率為[46=23].

題源分析：此題源于人教A版教材必修第二冊第237頁例8，考查古典概型相關(guān)問題，是后續(xù)學(xué)習(xí)事件的樣本空間概念的基礎(chǔ)，起到了承上啟下的作用.

類題賞析：古典概型在近幾年的高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，多為容易題. 例如，2023年全國乙卷（文科）第9題、2022年全國甲卷（文科）第6題、2022年全國新高考Ⅰ卷第5題等，其都綜合運用了事件相互獨立等知識點.

3. 考查統(tǒng)計圖表與數(shù)據(jù)數(shù)字特征，理解數(shù)字特征在統(tǒng)計中的意義

例3 （全國乙卷·文 / 理17）某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為[xi]，[yi]（[i=1，2，…，10]），試驗結(jié)果如表1所示.

所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

題源分析：此題源于人教A版教材必修第二冊第217頁習(xí)題9.2第7題. 要計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差，再根據(jù)兩種數(shù)字特征進(jìn)行科學(xué)評價，研究了針對平均值與方差的更加深刻的關(guān)系.

類題賞析：與此題立意最接近的是2021年全國乙卷（理科）第17題，其要求學(xué)生運用統(tǒng)計中樣本估計總體的思想，用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征.比較接近的是2018年全國Ⅲ卷（理科）第18題，要求學(xué)生借助莖葉圖比較兩組數(shù)據(jù)特征的差異.

4. 概率的性質(zhì)

例4 （全國新高考Ⅱ卷·12）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立. 發(fā)送0時，收到1的概率為[α 0<α<1]，收到0的概率為[1-α]；發(fā)送1時，收到0的概率為[β 0<β<1]，收到1的概率為[1-β]. 考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次. 收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）（? ? ）.

（A）采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為[1-α1-β2]

（B）采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為[β1-β2]

（C）采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為[β1-β2+1-β3]

（D）當(dāng)[0<α<0.5]時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率

目標(biāo)解析：此題是在實際背景中考查概率的性質(zhì)，即以發(fā)送和接收信號的不同方案作為背景，重點考查獨立事件和互斥事件相關(guān)的概率. 利用概率加法公式和乘法公式求概率，把要求概率的事件拆分成兩兩互斥事件的和及相互獨立事件的積是解題的關(guān)鍵. 重點考查學(xué)生的閱讀理解能力﹑邏輯思維能力，以及分析與處理數(shù)據(jù)的能力.

解法分析：求解此題的首要任務(wù)就是提取信息，理解試題在表達(dá)什么. 選項A和選項B是對獨立事件相關(guān)概率的求解，它們可以利用乘法計算. 對于選項C，從本質(zhì)上來看收到對應(yīng)信號的個數(shù)是服從二項分布的，因此可以列出所有情況或直接利用二項分布的結(jié)論進(jìn)行求解. 選項D是概率與不等式的綜合，想要比較大小關(guān)系，作差法是比較直接的. 但是對選項D還可以進(jìn)行定性分析，選項中的[α]實際上就是傳輸?shù)腻e誤率，錯誤率越低，則傳輸?shù)拇螖?shù)較多時正確的可能性越大. 這就要求我們盡量去理解一些概念，深入挖掘數(shù)字背后的含義.

解：對于選項A，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積. 因為它們相互獨立，所以所求概率為[1-β1-α1-β=1-α1-β2]. 故正確.

對于選項B，三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到1，0，1的事件，是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1這3個事件的積. 因為它們相互獨立，所以所求概率為[1-ββ1-β=β1-β2.]故正確.

對于選項C，三次傳輸，發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0；1，0，1；0，1，1和1，1，1的事件和，它們互斥. 由選項B，可知所求的概率為[C23β1-β2+1-β3=1-β21+2β.] 故錯誤.

對于選項D，由選項C知，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率[p=1-α21+2α，] 單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率[p=1-α]. 因為[0<α<0.5]，所以[p-][p=1-α21+2α-1-α=α1-α1-2α>0，] 即[p>p.]

故正確. 故答案選ABD.

題源分析：此題是對人教A版教材選擇性必修第三冊第51頁例6的改編. 人教A版教材例6的第（1）小題體現(xiàn)了全概率公式的邏輯結(jié)構(gòu)，第（2）小題是對貝葉斯公式的直接應(yīng)用.

類題賞析：獨立事件和互斥事件的概率問題在歷年高考的客觀題和解答題中均有出現(xiàn)，但更多出現(xiàn)在解答題中與其他知識綜合進(jìn)行考查. 例如，2020年全國Ⅰ卷（理科）第19題、2021年全國新高考Ⅰ卷第8題、2021年全國新高考Ⅱ卷第21題、2022年全國甲卷（理科）第19題，這些試題主要涉及獨立事件和互斥事件概率的定義，并與數(shù)列、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識相結(jié)合.

目標(biāo)解析：此題考查的主要知識點是隨機抽樣、數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖、概率的概念、頻率穩(wěn)定于概率的原理，并與函數(shù)相結(jié)合考查學(xué)生對新定義的理解、頻率的計算、臨界值范圍的判定、分段函數(shù)求最值的方法的掌握情況. 考查目標(biāo)是檢驗學(xué)生對統(tǒng)計圖表的掌握情況，要求學(xué)生能根據(jù)頻率分布直方圖獲取所需的數(shù)據(jù)并進(jìn)行分析，能用樣本估計總體，會依據(jù)頻率與概率的關(guān)系估計隨機事件的概率，會用概率的方法解決有關(guān)統(tǒng)計問題. 重點考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和從特殊到一般的思想，以及閱讀理解﹑邏輯思維﹑數(shù)據(jù)分析與處理和運算求解能力.

解法分析：對于第（1）小題，由圖1先求出[c]的值，再根據(jù)圖2求出[c≥97.5]的矩形面積即可求解；對于第（2）小題，根據(jù)題意確定分段點[100，] 即可得到[fc]的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可求解.可以說是用最基礎(chǔ)的方法解決了新的問題.

題源分析：此題第（1）小題來源于人教A版教材必修第二冊第206頁的探究和第208頁百分位數(shù)的計算；第（2）小題來源于人教A版教材必修第一冊第93頁例1和第94頁例2分段函數(shù)的值域與最值問題. 學(xué)生可能出現(xiàn)的主要問題為不能準(zhǔn)確理解題意和正確進(jìn)行分段函數(shù)的討論. 除此之外，計算失誤也是學(xué)生經(jīng)常會出現(xiàn)的錯誤.

類題賞析：頻率分布直方圖是高考中的常考內(nèi)容，如2017年全國Ⅱ卷（理科）第18題，其中主要涉及頻率分布直方圖、均值及方差、正態(tài)分布的應(yīng)用等知識點. 值得一提的是，雖然《標(biāo)準(zhǔn)》將中位數(shù)的估計拓展為百分位數(shù)的估計，但不變的是用樣本估計總體的統(tǒng)計思想.

三、優(yōu)秀試題分析

2023年高考概率與統(tǒng)計試題聚焦核心素養(yǎng)、強化主干內(nèi)容、突出理性思維、考查關(guān)鍵能力，試題設(shè)計突出數(shù)學(xué)學(xué)科特點，體現(xiàn)命題發(fā)展趨勢，立意深遠(yuǎn)、選材恰當(dāng)、難度適中，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)具有積極的指導(dǎo)意義. 現(xiàn)優(yōu)中選優(yōu)，舉例分析如下.

例6 （全國甲卷·理19）一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.

題意理解：第（1）小題要明確實驗方案情境為“試驗組”和“對照組”，即40只小白鼠“平均”分為兩組；要能夠理解隨機變量X的意義，確定概率模型. 第（2）小題要求學(xué)生能夠注意到題干中給定的兩組各20個數(shù)據(jù)是從小到大排好順序的，求解第①問要能夠依據(jù)中位數(shù)的概念對兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行整合排序，確定最中間兩個數(shù)的平均數(shù)；依據(jù)中位數(shù)進(jìn)行分類，統(tǒng)計相應(yīng)數(shù)據(jù)的個數(shù)，對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行整合；依據(jù)獨立性檢驗的卡方公式計算，對照表3得出結(jié)果.

思路探求：第（1）小題可以運用超幾何分布求解：從40只小白鼠中選取其中2只分配到對照組，有[C240]種方法，兩只小白鼠全部分配到試驗組有[C220C020]種情況，有一只分配到對照組有[C120C120]種情況，全部分配到對照組有[C020C220]種情況，然后利用超幾何分布的知識求解出[X]對應(yīng)取值為0，1，2時事件的概率，進(jìn)而寫出分布列，再結(jié)合數(shù)學(xué)期望的計算公式即可求解. 這是求解此題的最優(yōu)思路，貼近試驗背景，解法具有普遍性. 除此之外，還可以運用古典概型求解：兩只小白鼠分在兩個組，每只小白鼠都各有2種分配方案，總的分配方案為4種. 兩只小白鼠全部分配到試驗組有1種情況，有一只分配到對照組有2種情況，全部分配到對照組有1種情況，利用古典概型的概率公式即可得解. 這種解法運算簡單，但是不具有應(yīng)用的普遍性.

第（2）小題第①問需要將數(shù)據(jù)從小到大排列后找到第20個和第21個數(shù)據(jù)，求得的這兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為中位數(shù)，再根據(jù)中位數(shù)分類填寫2 × 2列聯(lián)表. 在求解這40個數(shù)據(jù)的中位數(shù)時，只需要將兩組已排好順序的數(shù)據(jù)重新組合在一起，按從小到大的順序排列，只要排到第20個和第21個數(shù)據(jù)，進(jìn)而求出兩個數(shù)的平均數(shù)即可. 第②問需要利用列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算出[K2]，依據(jù)參考值進(jìn)行比較，從而得到有多大把握認(rèn)為兩個分類變量是否有關(guān)，判斷結(jié)論是否成立.

所以有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.

回顧反思：第（1）小題的易錯點主要包括：超幾何分布與二項分布概念模糊，概率模型轉(zhuǎn)化錯誤；計算概率值時，組合公式應(yīng)用出錯，期望值計算錯誤；分布列里面，概率值不是最簡形式，概率之和不是1. 第（2）小題的易錯點主要包括：查找第20個和第21個數(shù)據(jù)出錯，后面就會連續(xù)出錯，造成大量失分；不清楚偶數(shù)個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為最中間兩個數(shù)的平均數(shù)，概念模糊導(dǎo)致計算出錯；列聯(lián)表中統(tǒng)計數(shù)據(jù)出錯；計算出錯，或判斷結(jié)論時出錯，特別是小于臨界值時，直接認(rèn)為兩個變量無關(guān)；第②問的解答書寫不規(guī)范，沒下結(jié)論，或簡單寫成“有關(guān)”或“無關(guān)”. 要想避免這些錯誤，一是要審清題并標(biāo)注出關(guān)鍵的條件信息，提煉要點，找到問題解決的突破口；二是厘清超幾何分布與二項分布概念的區(qū)別；三是準(zhǔn)確掌握中位數(shù)的求法、概率計算和期望公式的應(yīng)用，提升運算能力；四是要注意概率與統(tǒng)計解答題的書寫規(guī)范.

例7 （全國新高考Ⅰ卷·21）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃. 無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8. 由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第[i]次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機變量[Xi]服從兩點分布，且[PXi=1=1-PXi=0=qi，i=1，2，…，n，] 則[Ei=1nXi=][i=1nqi]. 記前[n]次（即從第1次到第[n]次投籃）中甲投籃的次數(shù)為[Y]，求[EY]．

題意理解：此題是以現(xiàn)實情境為背景命制的概率綜合題，涉及條件概率公式、全概率公式、數(shù)列遞推公式、數(shù)列求和、兩點分布、隨機變量的數(shù)學(xué)期望等知識，考查了抽象概括、推理論證、數(shù)據(jù)處理、運算求解等能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng). 此題第（1）小題直接考查全概率公式的應(yīng)用，第（2）小題和第（3）小題的求解關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推關(guān)系式，然后根據(jù)數(shù)列的基礎(chǔ)知識求解．

思路探求：求解第（1）小題，首先需要用數(shù)學(xué)符號標(biāo)記相關(guān)事件：[Ai=]“第[i]次投籃的人是甲”，[Bi=]“第[i]次投籃的人是乙”. 由于全概率公式是“由因求果”，因此需要找到導(dǎo)致事件[B2]發(fā)生的原因：事件[A1]或事件[B1]，所以[B2=A1B2+B1B2.] 再利用全概率公式即可求解. 第（2）小題是第（1）小題的一般化，從特殊到一般，是復(fù)雜事件的概率計算問題，這類問題是概率與統(tǒng)計部分的難點，技巧性強、方法靈活，往往與試驗次數(shù)[n]有關(guān)，很難一一枚舉，學(xué)生難以掌握. 要想解決這類問題，首先要找準(zhǔn)完備事件組，然后把每一次試驗中某個事件發(fā)生的概率看成一個數(shù)列，如果能得到這個事件在已知上一次試驗結(jié)果的條件下發(fā)生的概率，便可以利用全概率公式得到這個數(shù)列的遞推關(guān)系式，再結(jié)合數(shù)列遞推關(guān)系的求解方法，求解出這個數(shù)列的通項公式. 第（3）小題根據(jù)題中所給的兩點分布的期望和公式，運用等比數(shù)列求和公式即可解決.

回顧反思：此題的題源是人教A版教材選擇性必修第三冊第91頁復(fù)習(xí)參考題7的第10題，其屬于利用全概率公式推導(dǎo)概率的遞推關(guān)系式的典型題目，題目的現(xiàn)實情境相對簡單，貼近生活，學(xué)生理解起來難度不大，可以作為此類問題的母題. 通過引導(dǎo)學(xué)生對教材習(xí)題的探究，總結(jié)出這類試題的解題思路：利用全概率公式推導(dǎo)概率的遞推公式—構(gòu)造等比數(shù)列—求出通項公式. 這樣可以使學(xué)生對此類問題的理解更加透徹，實現(xiàn)舉一反三、觸類旁通，同時可以培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和深刻性.

例8 （全國甲卷·理6）某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰，50%的同學(xué)愛好滑雪，70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪. 在該地的中學(xué)生中隨機調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（? ? ）.

（A）0.8? ? （B）0.6? ? （C）0.5? ? （D）0.4

題意理解：此題是以現(xiàn)實情境為背景命制的概率問題，涉及條件概率公式、積事件、和事件等知識，考查了學(xué)生推理論證、數(shù)據(jù)處理、運算求解等能力，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)，體現(xiàn)了高考考查的基礎(chǔ)性.

思路探求：此題可以先借助和事件與積事件的關(guān)系得到既愛好滑雪又愛好滑冰的學(xué)生所占比例，再運用條件概率的定義和運算公式求出結(jié)果. 這種解法使得求解目標(biāo)更加明確，只需要把實際應(yīng)用問題抽象為條件概率模型即可.

回顧反思：此題的題源為人教A版教材選擇性必修第三冊第44頁的問題1. 條件概率是概率論中的重要概念，是概率論的理論基礎(chǔ). 關(guān)注樣本空間，先發(fā)生的事件可以作為后發(fā)生事件的條件為處理復(fù)雜問題提供方法，從而也可以解決不獨立事件下的積事件的概率，以及為學(xué)習(xí)全概率公式和貝葉斯公式作鋪墊.

教材通過問題呈現(xiàn)向我們展示了生活中遇到的“某一事件的發(fā)生總是與其另一件事情有關(guān)”，并先直觀地通過列聯(lián)表為我們指明了一種非常直觀的解決問題的方法，進(jìn)而引導(dǎo)我們把問題抽象為古典概型，借助古典概型求概率的過程解決問題，使得我們更加清楚地認(rèn)識到條件概率是概率的推廣，從而引入了條件概率的定義，使得定義更加合理化. 因此，在平時的教學(xué)中，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中善于發(fā)現(xiàn)問題、思考問題，并利用相關(guān)知識解決問題，最后總結(jié)解決問題的方法. 同時，教師要更加重視教材中的例題和習(xí)題，立足教材、用好教材，通過研讀教材尋求更好的教學(xué)思路，將來源于生活的數(shù)學(xué)問題更好地呈現(xiàn)給學(xué)生，并促進(jìn)學(xué)生有效掌握相關(guān)內(nèi)容.

四、復(fù)習(xí)備考建議

概率與統(tǒng)計在大數(shù)據(jù)和人工智能時代發(fā)揮著越來越重要的作用，其基礎(chǔ)知識已經(jīng)成為一個未來公民所必備的數(shù)學(xué)常識. 在高中數(shù)學(xué)課程中，概率與統(tǒng)計是一個重要主題，貫穿必修和選擇性必修課程，是培養(yǎng)學(xué)生有關(guān)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識的重要媒介. 因此，近幾年高考對這部分知識保持了較高的考查頻度，并且考查難度有逐步提高的趨勢，以后也必將是高考考查的核心和熱點. 鑒于以上趨勢及概率與統(tǒng)計知識的特點，提出以下四點復(fù)習(xí)備考建議.

1. 重視數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)

近年來，高考數(shù)學(xué)試題的命制正朝著淡化解題技巧的“反套路”方向邁進(jìn)，對學(xué)生“四能”的要求逐步提升. 概率與統(tǒng)計試題是發(fā)展學(xué)生“四能”的有效載體. 對于該專題內(nèi)容的復(fù)習(xí)切忌題型套路，否則一旦面對新的問題情境時就會顯得茫然不知所措，甚至看不懂題意. 因此，要注重學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀理解能力的提升，提高學(xué)生對文字語言、符號語言和圖形語言的互譯能力.

2. 回歸教材，夯實“四基”，重視對基本概念和公式的理解

在復(fù)習(xí)備考過程中，要特別注重對教材的使用. 作為高考命題的重要參考之一，教材在復(fù)習(xí)備考中具有不可替代的作用. 師生要利用好教材的引領(lǐng)功能：在重現(xiàn)教材例題的過程中規(guī)范解題步驟與格式，在重練教材重點習(xí)題的過程中夯實通性通法. 同時，要關(guān)注教材內(nèi)容的變化，注重概念的對比辨析，增強對概率模型的辨識能力. 通過具體的實例，經(jīng)歷問題解決的過程，學(xué)會用符號表示事件，進(jìn)而準(zhǔn)確構(gòu)建概率模型. 例如，可以利用樹形圖推導(dǎo)全概率公式的遞推關(guān)系式，以增進(jìn)對概念的理解.

3. 聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，注重提煉思想方法

概率與統(tǒng)計專題內(nèi)容的復(fù)習(xí)要聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)和能力. 概率與統(tǒng)計試題的解題過程處處體現(xiàn)出對素養(yǎng)的要求，復(fù)習(xí)過程中要時刻用數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)復(fù)習(xí)的方向. 隨機抽樣的原理、隨機性中的規(guī)律性、統(tǒng)計結(jié)論的或然性、頻率穩(wěn)定于概率的原理、樣本估計總體的思想、隨機變量的概念與含義、獨立性檢驗的思想等概率與統(tǒng)計中特有的思想方法對于掌握概率與統(tǒng)計試題的解題方法至關(guān)重要. 因此，要把對這些數(shù)學(xué)思想方法的參悟貫穿在解題過程中，使復(fù)習(xí)過程能夠體現(xiàn)經(jīng)驗積累和思想升華.

4. 關(guān)注知識內(nèi)涵，注重解題規(guī)范

在復(fù)習(xí)備考過程中，要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，從紛繁復(fù)雜的問題背景中看到其考查的數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，并將其提煉、簡化為基本模式. 對基本模式的提煉本質(zhì)上是對數(shù)學(xué)知識內(nèi)涵的再認(rèn)識. 對于概率與統(tǒng)計解答題，往往需要先將情境問題抽象為數(shù)學(xué)模型，再通過數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)計算、邏輯推理得到數(shù)學(xué)結(jié)論，整個過程需要數(shù)學(xué)語言和自然語言的轉(zhuǎn)化. 因此，在復(fù)習(xí)備考過程中要重視解題格式的訓(xùn)練，做到文字符號準(zhǔn)確、語言表述規(guī)范、邏輯推理嚴(yán)謹(jǐn).

五、典型模擬題

1.（多選題）某商場設(shè)有電子盲盒機，每個盲盒外觀完全相同，規(guī)定每個玩家只能用一個賬號登錄，且每次只能隨機選擇一個開啟. 已知玩家第一次抽盲盒，抽中獎品的概率為[27，] 從第二次抽盲盒開始，若前一次沒抽中獎品，則這次抽中的概率為[12]；若前一次抽中獎品，則這次抽中的概率為[13]. 記玩家第[n]次抽盲盒，抽中獎品的概率為[Pn]，則（? ? ）.

（A）[P2=1942]

（B）數(shù)列[Pn-37]為等比數(shù)列

（C）[Pn≤1942]

（D）當(dāng)[n≥2]時，[n]越大，[Pn]越小

答案：[ABC].

2. 糟蛋是新鮮鴨蛋（或雞蛋）用優(yōu)質(zhì)糯米糟制而成，是中國別具一格的特色傳統(tǒng)美食，以浙江平湖糟蛋、陜州糟蛋和四川宜賓糟蛋最為著名. 平湖糟蛋采用優(yōu)質(zhì)鴨蛋、上等糯米和酒糟糟漬而成，經(jīng)過糟漬蛋殼脫落，只有一層薄膜包住蛋體，其蛋白呈乳白色，蛋黃為橘紅色，味道鮮美. 糟蛋營養(yǎng)豐富，每百克中約含蛋白質(zhì)15.8克、鈣24.8克、磷11.1克、鐵0.31克，并含有維持人體新陳代謝必需的18種氨基酸. 現(xiàn)有平湖糟蛋的兩家生產(chǎn)工廠，產(chǎn)品按質(zhì)量分為特級品、一級品和二級品，其中特級品和一級品都是優(yōu)等品，二級品為合格品. 為了比較兩家工廠的糟蛋質(zhì)量，分別從這兩家工廠的產(chǎn)品中各選取了200個糟蛋，產(chǎn)品質(zhì)量情況統(tǒng)計如表7所示.

答案：（1）[34].（2）依據(jù)小概率值[α=0.01]的獨立性檢驗，我們推斷[H0]不成立，即認(rèn)為兩家工廠生產(chǎn)的糟蛋質(zhì)量有差異．

3. 為了增強學(xué)生的冬奧會知識，弘揚奧林匹克精神，某市多所中小學(xué)校開展了模擬冬奧會各項比賽的活動. 為了了解學(xué)生在越野滑輪和旱地冰壺兩項活動中的參與情況，在該市中小學(xué)學(xué)校中隨機抽取了10所學(xué)校，10所學(xué)校的參與人數(shù)如圖3所示.

（1）現(xiàn)從這10所學(xué)校中隨機選取2所學(xué)校進(jìn)行調(diào)查，求選出的2所學(xué)校參與越野滑輪活動的人數(shù)都超過40人的概率.

（2）現(xiàn)有一名旱地冰壺教練在這10所學(xué)校中隨機選取2所學(xué)校進(jìn)行指導(dǎo)，記[X]為教練選中參加旱地冰壺活動的人數(shù)在30人以上的學(xué)校個數(shù)，求[X]的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（3）某校聘請了一名越野滑輪教練，對高山滑降、轉(zhuǎn)彎、八字登坡滑行這3個動作進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo). 規(guī)定：這3個動作中至少有2個動作達(dá)到“優(yōu)”，總考核記為“優(yōu)”. 在指導(dǎo)前，該校甲同學(xué)3個動作中每個動作達(dá)到“優(yōu)”的概率為0.1. 在指導(dǎo)后的考核中，甲同學(xué)總考核成績?yōu)椤皟?yōu)”. 能否認(rèn)為甲同學(xué)在指導(dǎo)后總考核達(dá)到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化？試說明理由．

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

作者簡介：趙小強（1974— ），男，中小學(xué)正高級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)和評價研究；

張海營（1964— ），男，中小學(xué)正高級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)和評價研究.