祝維男

［摘? 要］ 整合教材資源的水平是衡量教師能力的重要標(biāo)志.教師要在深度理解教材資源的基礎(chǔ)上，編寫出既符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，又體現(xiàn)知識(shí)邏輯順序的教學(xué)方案.文章以“基本不等式（第一課時(shí)）”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談?wù)劷處熣辖滩馁Y源的方法和作用.

［關(guān)鍵詞］ 整合優(yōu)化；教材資源；基本不等式

教材是依據(jù)課程目標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)要求編寫的，是師生開展教學(xué)活動(dòng)的主要工具. 一直以來，大家都比較關(guān)注教材的編寫理念和設(shè)計(jì)意圖，忽視了日常教學(xué)中教師怎樣理解教材、運(yùn)用教材等問題. 事實(shí)上，教師不是單純的教材執(zhí)行者，而是教學(xué)資源的開發(fā)者、課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)者，整合教材資源的水平是衡量教師能力的重要標(biāo)志. 在備課過程中，教師應(yīng)該在深度理解各種教材資源內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，對教材內(nèi)容進(jìn)行補(bǔ)充、刪減、融合、活化，最終巧妙編排出既符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，又體現(xiàn)知識(shí)邏輯順序的教學(xué)方案. 下文是整合人教版初中數(shù)學(xué)教材和高中數(shù)學(xué)六個(gè)版本教材資源編寫的“基本不等式（第一課時(shí)）”的教學(xué)設(shè)計(jì).

教學(xué)過程與設(shè)計(jì)意圖

1. 情境鋪墊，恰當(dāng)銜接

第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-14）在上海華東師范大學(xué)中山北路校區(qū)舉辦. 大會(huì)的會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)新穎，數(shù)學(xué)元素豐富，有大家非常熟悉的圖形——“趙爽弦圖”. （如圖1、圖2、圖3所示）

問題1 在初中階段，我們就用“趙爽弦圖”證明了勾股定理，你還記得勾股定理的學(xué)習(xí)過程嗎？

初中教材以“畢達(dá)哥拉斯到朋友家作客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系——任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等于另兩邊平方之和”這個(gè)故事導(dǎo)入新課. 在課堂鏈接和課本習(xí)題中我們用“趙爽弦圖”證明了勾股定理. 即大正方形的面積等于小正方形的面積加上四個(gè)三角形的面積.

問題2 回顧勾股定理的學(xué)習(xí)過程，給你帶來了怎樣的啟示？

由形到數(shù)，數(shù)形結(jié)合. 事實(shí)上，數(shù)學(xué)家都是先直觀思考問題，然后用演繹的形式進(jìn)行證明，用文字、數(shù)學(xué)符號(hào)來表達(dá).

設(shè)計(jì)意圖 基本不等式是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的工具，基于實(shí)際學(xué)習(xí)的需要，新課標(biāo)將基本不等式遷移為“預(yù)備知識(shí)”，起銜接預(yù)備作用. 對于基本不等式的導(dǎo)入，各版本教材一直以來都是“五花八門”，并且爭議不斷. 本節(jié)課的導(dǎo)入沒有用蘇教版的“天平”，也沒有單純用人教版的“弦圖”，而是從飽含數(shù)學(xué)元素的時(shí)事背景出發(fā)，回顧初中學(xué)習(xí)勾股定理的過程，為高中學(xué)習(xí)基本不等式做知識(shí)和方法上的準(zhǔn)備，解決學(xué)生對情境“不熟悉”、高中學(xué)習(xí)“跨度大”、能力要求“陡升”等問題，自然實(shí)現(xiàn)初中和高中的銜接.

2. 問題驅(qū)動(dòng)，結(jié)論探究

問題1 通過面積相等得到了等量關(guān)系a2+b2=c2，再看“趙爽弦圖”，比較面積能發(fā)現(xiàn)怎樣的不等關(guān)系呢？

讓各小組合作探究，并展示相關(guān)成果.在變動(dòng)過程中，大正方形的面積始終大于等于四個(gè)小三角形的面積和，其中大正方形的面積為a2+b2，四個(gè)小三角形的面積和為2ab，所以a2+b2≥2ab.

問題2 在不等式a2+b2≥2ab中，等號(hào)何時(shí)成立？

a=b是等號(hào)成立的充要條件，叫“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立”.

問題3 這個(gè)不等式是通過幾何圖形得到的，你能用代數(shù)法證明嗎？

因?yàn)閍2+b2-2ab=（a-b）2≥0，a∈R，b∈R，所以a2+b2≥ab，將其稱為重要不等式.

問題4 下面我們繼續(xù)看圖（見圖5），這是一個(gè)“半圓模型”，其中AC=a，BC=b，你能求出CD，OD的長度嗎？

關(guān)系嗎？

用GGB動(dòng)態(tài)展示≤，表明正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)，稱之為基本不等式.

含義，逐步發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

3. 展示交流，代數(shù)論證

設(shè)計(jì)意圖 幾何的直觀驗(yàn)證不能代替代數(shù)證明，代數(shù)證明可以訓(xùn)練學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維. 這里通過代數(shù)證明既讓學(xué)生了解不等式證明的常用方法——比較法、分析法、綜合法，也讓學(xué)生知道這三種證明方法之間的關(guān)系，提煉證明過程所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí). 比較法、分析法、綜合法屬于學(xué)生必備的數(shù)學(xué)方法，所以在此借助這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)向?qū)W生滲透這些數(shù)學(xué)方法，為今后學(xué)習(xí)夯實(shí)基礎(chǔ).

4. 理解公式、深化認(rèn)識(shí)

問題 通過由形到數(shù)的研究路徑得到了兩個(gè)不等式（重要不等式和基本不等式），這兩個(gè)不等式之間有怎樣的聯(lián)系呢？（小組討論）

小組1：研究方法一致，由形到數(shù)；等號(hào)成立的條件一致——當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

小組3：結(jié)構(gòu)也是一致的，都反映了兩數(shù)的和與積之間的不等關(guān)系.

（重要不等式和基本不等式之間的聯(lián)系如圖8所示）

設(shè)計(jì)意圖 通過探究重要不等式和基本不等式之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注公式、結(jié)論的相互關(guān)聯(lián)，把握基本不等式的本質(zhì)特征.在轉(zhuǎn)化過程中，掌握重要不等式和基本不等式的常用變形，厘清公式拓展的來龍去脈，理解公式使用的“替換”思想；融合教材中的例題和習(xí)題，在基本不等式的推廣拓展中，整理知識(shí)點(diǎn)，形成公式鏈，有助于提升學(xué)生探究、創(chuàng)新的能力，加深學(xué)生的認(rèn)知廣度和深度，也為后續(xù)應(yīng)用基本不等式證明其他不等式以及深入探究基本不等式的變形拓展做好鋪墊.

5. 應(yīng)用公式，鞏固提高

習(xí)題 （多選題）設(shè)a，b為正數(shù)，下列選項(xiàng)中正確的有（? ）

設(shè)計(jì)意圖 改編教材例題、習(xí)題融合教學(xué)，通過“判”“證”“拓”等環(huán)節(jié)，從結(jié)合重要不等式和基本不等式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行字母替換，到應(yīng)用重要不等式和基本不等式進(jìn)行嚴(yán)格證明，再到提煉重要不等式和基本不等式的常見變形，為后續(xù)學(xué)習(xí)和探究“積定和最小”“多元不等式”“函數(shù)最值”等做好充分的準(zhǔn)備.

6. 總結(jié)提煉，內(nèi)化新知

（2）學(xué)習(xí)過程：觀察→猜想→證明→應(yīng)用，從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí).

（3）思想方法：數(shù)形結(jié)合思想，整體代換思想.

設(shè)計(jì)意圖 一個(gè)好的結(jié)尾，能畫龍點(diǎn)睛凸顯一節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)和問題解決的關(guān)鍵，“變則不變”更讓基本不等式的結(jié)構(gòu)美及本質(zhì)特征呼之欲出.

整合教材資源的方法和作用

1. 整合不同版本教材，實(shí)現(xiàn)有效補(bǔ)充

依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》重新編寫的高中數(shù)學(xué)六個(gè)版本的教材，在編排順序、編寫思路和設(shè)計(jì)理念上都各具特色. 教師要在備課過程中，通過對不同版本教材的深度閱讀，厘清教材內(nèi)容的編寫邏輯，領(lǐng)會(huì)教材內(nèi)容的設(shè)計(jì)意圖. 結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平和認(rèn)知能力，在比較分析中取長補(bǔ)短，不斷豐富教學(xué)內(nèi)容、優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì). 例如人教A版、北師大版等教材是引出重要不等式后再通過替換得到基本不等式的，而蘇教版教材則通過“天平稱重”直接引出基本不等式，在例題中再用替換的方法得到其他不等式. 事實(shí)上，重要不等式和基本不等式可以相互轉(zhuǎn)化，結(jié)論的推導(dǎo)方法也相互融通. 本節(jié)課融合各版本的教材資源，先以“趙爽弦圖”為背景由面積關(guān)系的比較得

2. 整合初中、高中教材，體現(xiàn)自然銜接

高中教材與初中教材相比，知識(shí)內(nèi)容增加較多，由淺顯變得深?yuàn)W，由單一變得復(fù)雜，思維要求層次越來越高，數(shù)學(xué)語言也由直觀變得抽象. 但是初中和高中的知識(shí)是緊密相連的，涉及的數(shù)學(xué)思想方法是一致的，對概念、公式、定理的探究路徑也是相互融通的. 在教學(xué)過程中，教師聯(lián)系初中教材的相關(guān)知識(shí)、思想方法和探究路徑，在系統(tǒng)梳理中找準(zhǔn)銜接點(diǎn)，讓新知識(shí)的推出顯得“水到渠成”. 基本不等式是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的工具，基于實(shí)際學(xué)習(xí)的需要，以及高一學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，基本不等式可以提前學(xué)習(xí)——新課標(biāo)下的新教材也把“基本不等式”作為“預(yù)備知識(shí)”而前置，起銜接作用. 本節(jié)課是如何體現(xiàn)初中和高中自然銜接的呢？通過閱讀教材發(fā)現(xiàn)，初中教材用“趙爽弦圖”證明了勾股定理，體現(xiàn)了由“形”到“數(shù)”的數(shù)學(xué)探究過程；高中人教A版教材先用“趙爽弦圖”引出了重要不等式，再通過替換得到基本不等式. 所以，從國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)標(biāo)中挖掘出“趙爽弦圖”導(dǎo)入新課，既融合了數(shù)學(xué)時(shí)事，飽含了數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)了學(xué)科育人的價(jià)值，又在知識(shí)生成背景、探究路徑上找到了吻合的銜接點(diǎn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能有效幫助學(xué)生從初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過渡到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

3. 整合教材文本內(nèi)容，凸現(xiàn)邏輯貫通