錢 健

(南京師范大學(xué)附屬揚(yáng)子中學(xué),江蘇 南京 210048)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》)指出,提高從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力(以下統(tǒng)稱“四能”),并將“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)和數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”作為教學(xué)主線之一.教材章末的“問題與探究”是落實(shí)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的一個(gè)有效抓手.目前“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”在課堂實(shí)施中往往流于形式,師生重視程度不夠,但其現(xiàn)實(shí)的重要性和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)過程中的作用是不言而喻的.

在2023年4月江蘇省南京市江北新區(qū)高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課大賽暨推薦參加市賽選拔賽中,專家組給出的課題是蘇教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(選擇性必修第一冊(cè))(以下統(tǒng)稱“教材”)第一章章末“問題與探究”中“向量方法在直線中的應(yīng)用”[1].這不僅是對(duì)選手教材理解水平的考查,也是對(duì)組織學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的考查,同時(shí)還是落實(shí)《課標(biāo)》教學(xué)主線“數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究”的體現(xiàn).筆者作為參賽選手,嘗試從“四能”的角度開展探究活動(dòng),以問題驅(qū)動(dòng)思考,充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性和主動(dòng)性,課堂效果良好.賽后梳理成文,與同行交流.

1 “向量方法在直線中的應(yīng)用”的課堂重現(xiàn)

問題是探究發(fā)生的保障,是學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)生成的本源,有效的探究性學(xué)習(xí)是建立在問題之上的．因此,在教學(xué)環(huán)節(jié)中應(yīng)把握時(shí)機(jī),精選易激起探究興趣的問題來組織探究活動(dòng),逐漸將數(shù)學(xué)探究引向深入．本節(jié)課從“數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題—提出有意義的數(shù)學(xué)問題—分析問題,猜想結(jié)論—通過探究解決問題”這4個(gè)環(huán)節(jié)展開.

環(huán)節(jié)1 用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題.

例1 已知直線l過點(diǎn)P(x0,y0),且與直線l1:Ax+By+c=0 (其中點(diǎn)P不在l1上)平行,其中A,B不全為0,求證:直線l的方程為A(x-x0)+B(y-y0)=0.

師:確定一條直線需要哪些條件?

生1:一個(gè)點(diǎn)與一個(gè)方向.

師(追問):如何描述直線方向?

生2:前面學(xué)習(xí)直線方程時(shí)借助斜率、傾斜角來體現(xiàn)方向.

師(追問):還有什么方式也可以描述方向?

生3:向量,由向量的定義知它具備代數(shù)和幾何雙重性質(zhì),能體現(xiàn)方向.

生4:直線可以看成帶箭頭向量的無限延展,因此我認(rèn)為可以用向量來研究直線.

師:例1中的數(shù)學(xué)問題如何思考?

生5:可以看成l上任意一點(diǎn)與點(diǎn)P構(gòu)成的向量與l1平行.

設(shè)計(jì)意圖 依托平面直角坐標(biāo)系,學(xué)生已經(jīng)建立點(diǎn)與坐標(biāo)、直線與方程的聯(lián)系.而作為溝通幾何與代數(shù)的重要工具——向量,具有代數(shù)和幾何的雙重特征,是溝通幾何和代數(shù)的橋梁.學(xué)生通過方向的描述方式的不同,發(fā)現(xiàn)向量在體現(xiàn)方向上的作用,通過引導(dǎo)學(xué)生在具體的情境中用數(shù)學(xué)的眼光思考,發(fā)現(xiàn)問題,感受向量的幾何代數(shù)特征在處理直線問題中的作用.同時(shí)“向量方法在直線中的應(yīng)用”是課堂教學(xué)內(nèi)容的自然延伸,是完善知識(shí)體系、豐富知識(shí)內(nèi)涵而提出的.

環(huán)節(jié)2 用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言提出問題.

預(yù)備知識(shí)1 直線的方向向量的概念.

預(yù)備知識(shí)2 直線的法向量的概念.

(內(nèi)容略,詳見教材第41頁(yè).)

師:基于例1的問題解決,你能提出哪些問題?

學(xué)生提出的問題有:1)在定義的基礎(chǔ)上,從形式(x2-x1,y2-y1)出發(fā)想辦法,直線與方向向量存在什么關(guān)系?

2)l1是否可以用某個(gè)向量表示?

3)l1用向量表示是否唯一?

4)l1可以用哪些向量來表示?

設(shè)計(jì)意圖 愛因斯坦認(rèn)為,提出一個(gè)問題比解決一個(gè)問題更重要.在情境中思考,數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、提出問題是一個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)必須經(jīng)歷的過程,學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)過程是有價(jià)值的.

師生活動(dòng) 學(xué)生先獨(dú)立思考,3分鐘后分組討論,交流;教師巡視,指導(dǎo),參與學(xué)生探究;6分鐘后小組代表發(fā)言,其他學(xué)生提問質(zhì)疑,小組成員補(bǔ)充.

對(duì)于問題1),直線的方向向量可以表示一條直線的方向.

對(duì)于問題2),根據(jù)定義可以在直線l1上任取不同的兩個(gè)點(diǎn)M,N構(gòu)成向量來表示直線的一個(gè)方向向量.

對(duì)于問題3),由任意性知直線的方向向量有無數(shù)個(gè).

問題3)的補(bǔ)充:還可以跳出直線取與MN平行的非零向量作為直線的方向向量.

對(duì)問題4)的補(bǔ)充回答:由M(x1,y1),N(x2,y2)是l1上的任意兩點(diǎn),代入直線方程,聯(lián)立得

A(x2-x1)+B(y2-y1)=0,

師:這個(gè)方向向量直觀簡(jiǎn)潔,這就是數(shù)學(xué)美的體現(xiàn).

設(shè)計(jì)意圖 在認(rèn)識(shí)定義后,很自然地需要分析解決:解決什么?如何解決?為什么這樣解決?從而引導(dǎo)學(xué)生“知其然,知其所以然,何由以知其所以然”,并探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)、規(guī)律和知識(shí)之間的聯(lián)系.

環(huán)節(jié)3 用數(shù)學(xué)的思維分析問題.

探究1 從任意取點(diǎn)找方向向量到l1的一個(gè)方向向量(-B,A),這個(gè)方向向量與c無關(guān),與A,B有關(guān),能否進(jìn)一步一般化?

師生活動(dòng) 把問題拋給學(xué)生,直線的方向向量表示直線的方向,而斜率、傾斜角也表示直線的方向,它們到底有什么關(guān)系?引導(dǎo)學(xué)生從斜率和傾斜角的角度去思考.

生7:從傾斜角的角度,方向向量可以用傾斜角α表示,v=(cosα,sinα)為l1的一個(gè)方向向量.

師:真棒!這樣就把直線的方向向量、斜率、傾斜角聯(lián)系起來了.

設(shè)計(jì)意圖 通過直線方向向量與斜率、傾斜角關(guān)系的探究,讓學(xué)生體會(huì)直線無數(shù)個(gè)方向向量中具有代表性的方向向量,感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.

生8:既然平行直線l1的向量能表示直線的方向,那么我認(rèn)為垂直直線l1的向量也能體現(xiàn)直線的方向.

探究2 法向量能否體現(xiàn)直線的方向?法向量是否唯一?直線的法向量如何表示?

探究結(jié)果 1)由M(x1,y1),N(x2,y2)是l1上的任意兩點(diǎn),代入直線方程,聯(lián)立得

A(x2-x1)+B(y2-y1)=0,

聯(lián)想到向量垂直的運(yùn)算知(A,B)與MN垂直,即(A,B)為直線的一個(gè)法向量.

2)與直線的方向向量垂直的向量均是直線的法向量,因此直線的法向量不唯一.

3)直線l⊥l1,l的方向向量即為l1的法向量,反之亦然.

4)當(dāng)直線斜率存在時(shí),(k,-1)為其一個(gè)法向量,當(dāng)斜率不存在時(shí),(1,0)為直線的一個(gè)法向量;若直線傾斜角為α,則γ=(sinα,-cosα)為直線的一個(gè)法向量.

設(shè)計(jì)意圖 通過直線法向量的探究,類比方向向量與斜率、傾斜角關(guān)系的探究.學(xué)習(xí)直線的法向量,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中類比的重要性.在探究活動(dòng)過程中學(xué)生獨(dú)立思考、交流合作,讓學(xué)生體驗(yàn)探索的過程和成功的樂趣或失敗的經(jīng)歷,這都是學(xué)科育人的體現(xiàn).

環(huán)節(jié)4 用數(shù)學(xué)的方法解決問題.

師:通過對(duì)直線方向向量與法向量的探究,談?wù)勀銜?huì)如何解決例1.

A(x-x0)+B(y-y0)=0.

A(x-x0)+B(y-y0)=0.

師:向量的方法還可以研究與直線有關(guān)的哪些問題呢?

師生活動(dòng) 將問題拋給學(xué)生,讓學(xué)生在問題情境解決的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)下,獨(dú)立思考,小組討論,組內(nèi)完善,小組代表給出問題和解決方案,其他組的學(xué)生可以質(zhì)疑,教師適時(shí)點(diǎn)評(píng).

問題1 已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(x0,y0),它的一個(gè)方向向量為(-B,A)(其中A,B不同時(shí)為0),求直線l的方程.

問題2 已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(x0,y0),它的一個(gè)法向量為(A,B)(其中A,B不同時(shí)為0),求直線l的方程.

問題3 已知直線l1:A1x+B1y+C1=0(其中A1,B1不同時(shí)為0),l2:A2x+B2y+C2=0(其中A2,B2不同時(shí)為0),則l1∥l2的條件是什么?

問題4 已知直線l1:A1x+B1y+C1=0(其中A1,B1不同時(shí)為0),l2:A2x+B2y+C2=0(其中A2,B2不同時(shí)為0),則l1⊥l2的條件是什么?

問題5 推導(dǎo)點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(其中A,B不同時(shí)為0)的距離公式.

問題1～4的解決方案可直接借助直線方向向量和法向量解決,這里略去.問題5的解決方案如下:

取l的一個(gè)法向量γ=(A,B),在l上任取一點(diǎn)M(x,y),記點(diǎn)到直線距離為d,則

由

又

Ax+By+C=0,

得A(x-x0)+B(y-y0)=Ax+By-Ax0-By0

=-C-Ax0-By0,

即

在問題5解決后,學(xué)生紛紛為其鼓掌,突然一位學(xué)生說:“我能用向量推導(dǎo)出兩平行線之間的距離.”

問題6 推導(dǎo)兩平行直線l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(其中A,B不同時(shí)為0,且C1≠C2)的距離公式.

問題6的解決方案如下:

在l1上任取一點(diǎn)M1(x1,y1),在l2上任取一點(diǎn)M2(x2,y2),平行線的一個(gè)法向量為γ=(A,B),則

又

Ax1+By1=-C1,Ax2+By2=-C2,

則

設(shè)計(jì)意圖 波利亞認(rèn)為,學(xué)習(xí)的最佳途徑是由自己去發(fā)現(xiàn)、探究,這樣的理解最深刻,也最容易掌握知識(shí)內(nèi)在的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系.在厘清定義、解決例1后,學(xué)生具備了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),這時(shí)給學(xué)生一個(gè)開放性的問題.充分放手,讓學(xué)生通過獨(dú)立思考、小組討論,經(jīng)歷發(fā)生、發(fā)展和解決問題的過程,讓知識(shí)運(yùn)用、方法整合、思維碰撞,從而真正地形成能力.

2 “問題與探究”的教學(xué)思考

在教材章末“問題與探究”中,要依據(jù)內(nèi)容和學(xué)情,選擇恰當(dāng)?shù)囊暯情_展探究和體驗(yàn)活動(dòng),要真正地體現(xiàn)探究性.讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言提出問題、用數(shù)學(xué)的思維分析問題、用數(shù)學(xué)的方法解決問題,體現(xiàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系,落實(shí)數(shù)學(xué)育人.

2.1 基于整體理解的探究?jī)?nèi)容分析

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)作為《課標(biāo)》和教材的主線之一,是圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問題、開展自主探究、合作交流,并最終解決問題的過程;它強(qiáng)調(diào)不同知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系和解決問題,目的是啟發(fā)學(xué)生思考,培養(yǎng)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.在教材中,正文部分左側(cè)有引發(fā)探究活動(dòng)的“思考”與“問題”,習(xí)題部分有“探究·拓展”,章末有“問題與探究”,為學(xué)生提供了“課堂學(xué)習(xí)、課后作業(yè)、自主學(xué)習(xí)”所需要的豐富的探究素材,突出“四能”背景下的問題導(dǎo)向,為學(xué)生提供有吸引力的問題、真實(shí)的情境與活動(dòng),讓學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維分析世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界的習(xí)慣.

向量具有代數(shù)和幾何的雙重特征,是溝通幾何和代數(shù)的橋梁.學(xué)生通過學(xué)習(xí)向量在直線中的應(yīng)用,感受向量法在處理解析幾何中體現(xiàn)出的簡(jiǎn)潔和直觀.“向量方法在直線中的應(yīng)用”是課堂教學(xué)內(nèi)容的自然延伸,是完善知識(shí)體系、豐富知識(shí)內(nèi)涵而提出的.

2.2 基于一般觀念的探究?jī)?nèi)容再加工

數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般觀念”,是對(duì)內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)一步的提煉和概括,是研究數(shù)學(xué)對(duì)象的方法論[2].“一般觀念”指導(dǎo)探究?jī)?nèi)容再加工,旨在學(xué)生能自覺地用數(shù)學(xué)的方式對(duì)事物進(jìn)行觀察、思考、分析以及發(fā)現(xiàn)和提出問題;引導(dǎo)學(xué)生“知其然,知其所以然,何由以知其所以然”,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)、規(guī)律和知識(shí)之間聯(lián)系的能力.

“向量方法在直線中的應(yīng)用”從方向向量和法向量來研究直線及其性質(zhì),從突出方程思想轉(zhuǎn)向突出向量思想.為什么要學(xué)習(xí)向量方法在直線中的應(yīng)用?從向量的視角研究直線有什么用?對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)有什么指導(dǎo)作用?這些都要求教師對(duì)教材中陳述性的新概念和知識(shí)進(jìn)行再加工,創(chuàng)造性地使用教材,形成驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考探究的活動(dòng).

學(xué)什么——知其然.直線方向向量和法向量在直線中的應(yīng)用.

為什么學(xué)——知其所以然.用向量來刻畫斜率,探求直線方向向量和法向量與斜率的關(guān)系.從向量的視角刻畫直線中的元素,形成用向量研究直線的新思路.

學(xué)了有什么用——何由以知其所以然.通過課題形成幾何法研究幾何對(duì)象的思路:幾何問題向量化(數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)問題)→向量的代數(shù)運(yùn)算(數(shù)學(xué)分析解決問題)→向量表達(dá)幾何問題(數(shù)學(xué)表達(dá)問題).

2.3 基于問題鏈設(shè)計(jì)的教學(xué)主線

問題是課堂教學(xué)的心臟.教學(xué)中要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容,立足學(xué)生的認(rèn)知水平設(shè)計(jì)系統(tǒng)、層次、結(jié)構(gòu)化的問題序列,這就是問題鏈.問題鏈有助于學(xué)生理解概念、形成技能、領(lǐng)悟思想,同時(shí)激發(fā)學(xué)生的探究熱情,讓學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行探究.用問題鏈來開展“問題與探究”教學(xué),為學(xué)生提供脈絡(luò)化的探究路徑,是提高探究能力的一種有效嘗試.

在環(huán)節(jié)2中,為厘清概念,引導(dǎo)學(xué)生在具體情境中用數(shù)學(xué)的眼光觀察對(duì)象、發(fā)現(xiàn)問題,在問題鏈的驅(qū)動(dòng)下用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)問題進(jìn)行抽象、表達(dá).

在環(huán)節(jié)4中,向量的方法還可以研究與直線有關(guān)的哪些問題呢?將問題引向深入,啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考問題,引發(fā)一系列的數(shù)學(xué)問題,形成有層次、結(jié)構(gòu)化的問題,引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地用數(shù)學(xué)方法解決問題.

“四能”是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo),是數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的體現(xiàn);基于“四能”開展探究活動(dòng)能進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),讓探究成為學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣.