徐建兵, 汪秀秀

(1.衢州市衢江區(qū)第一初級中學(xué),浙江 衢州 324022;2.徐建兵名師工作室,浙江 衢州 324022;3.常山縣龍繞初中,浙江 常山 324200)

1 問題背景

圖形與幾何是義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域[1].幾何圖形中的角度問題又分為一般角與特殊角兩大類.45°角是特殊角的典型代表之一,對于已知特殊角求三角形相關(guān)問題的研究具有一定的代表性.本文以一道45°角幾何問題的解題研究為例,講述運(yùn)用圖形特殊性的關(guān)聯(lián),在“形”與“型”的聯(lián)系中形成解決問題的8種策略,這不僅有利于學(xué)生視野的拓寬、思維的開啟和解題能力的提升,還有利于學(xué)生幾何直觀、空間想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)的發(fā)展.

2 策略探究

2.1 問題呈現(xiàn)

例1 如圖1,A,B,C在一條東西走向的公路沿線上,已知AB=2 km,BC=3 km,在B村的正北方向有一個(gè)D村,測得∠ADC=45°.現(xiàn)將△ADC區(qū)域規(guī)劃為開發(fā)區(qū),除其中4 km2的水塘外,其余均為綠化用地,試求綠化用地的面積.

圖1

分析 含45°角的幾何問題是幾何與代數(shù)的綜合性問題[2].從命題角度來說具有一定的代表性,有很高的研究價(jià)值,既體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)對基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的要求,也是對教材基本概念的提煉與深加工,引導(dǎo)學(xué)生在觀察幾何圖形時(shí)逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界;在聯(lián)系建構(gòu)時(shí)培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界;在解決問題的過程中學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.因此,該問題解法策略的研究能用于評價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),是學(xué)生逐步形成適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和能力的關(guān)鍵[3].

2.2 策略呈現(xiàn)

視角1 建構(gòu)等腰直角三角形模型.

圖2

進(jìn)而

因?yàn)椤螦EC=∠DBC=90°,∠C=∠C,所以

△DCB∽△ACE,

得

即

亦即

2x4-45x2+100=0,

視角2 建構(gòu)K字型全等模型.

解法2 如圖3,過點(diǎn)A作AE⊥CD交CD于點(diǎn)E,因?yàn)椤螦DC=45°,所以△ADE是等腰直角三角形.過點(diǎn)E作EH⊥AC交AC于點(diǎn)H,過點(diǎn)D作DG⊥EH交HE的延長線于點(diǎn)G,則四邊形DBHG是矩形.由∠DEG+∠AEH=90°,∠EDG+∠DEG=90°,得

圖3

∠EDG=∠AEH.

又∠G=∠EHC=90°,AE=DE,從而

△AHE≌△EGD(AAS),

得

AH=GE,HE=DG.

因?yàn)椤螪EG=∠CEH,∠G=∠EHC=90°,所以

△DEG∽△CEH,

從而

設(shè)DG=x,則

BH=DG=EH=x,

又因?yàn)锳B=2,BC=3,所以

AH=GE=2+x,HC=3-x,

得

EH=2,GE=4,

于是

BD=6,

進(jìn)而所求面積S=15-4=11,即綠化用地的面積為11 km2.

評注 視角1利用勾股定理求解會(huì)出現(xiàn)4次方的高次方程,利用相似可以彌補(bǔ)這一不足.視角2先由45°角聯(lián)想建構(gòu)等腰直角三角形,再由斜直角聯(lián)系建構(gòu)K字型全等,觀察題中發(fā)現(xiàn)還有△DEG∽△CEH的圖形關(guān)系,綜合運(yùn)用幾何性質(zhì)得以求解.K字型全等不僅在此題中能發(fā)揮其優(yōu)勢,在很多平面直角坐標(biāo)系問題的解決中更加能體現(xiàn)它“化斜為正”的優(yōu)勢,已成為初中階段坐標(biāo)與圖形問題解決的重要橋梁.

視角3 建構(gòu)矩形半角模型.

解法3 如圖4,分別以AD,DC為對稱軸作點(diǎn)B的對稱點(diǎn)F,E,使△DFA≌△DBA,△DEC≌△DBC;再過點(diǎn)C作CH⊥DC交DA的延長線于點(diǎn)H,從而△DCH是等腰直角三角形;過點(diǎn)H作HG∥DE分別交EC和DF的延長線于點(diǎn)G,I.由∠ADC=45°知∠FDE=90°,又∠E=∠AFD=90°,HG∥DE,從而∠G=90°,于是四邊形DEGI是矩形.因?yàn)椤螮=∠G=∠DCH=90°,所以

圖4

∠HCG+∠DCE=90°, ∠CHG+∠HCG=90°,

得

∠DCE=∠CHG.

又因?yàn)镈C=HC,所以

△ECD≌△GHC(AAS),

得

CE=HG,DE=CG.

設(shè)BD=x,則

DF=DE=GC=IG=x,

因?yàn)锳B=2,BC=3,所以

BC=CE=HG=IF=3,

AF=AB=2,HI=x-3.

又因?yàn)椤螴=∠AFD=90°,所以

AF∥IH,

得

△DFA∽△DIH,

從而

即

解得x1=6,x2=-1(舍去),從而BD=6,于是所求面積S=15-4=11,即綠化用地的面積為11 km2.

評注 視角3是延續(xù)視角2的K字型全等,選擇過點(diǎn)C作垂直構(gòu)造等腰直角三角形,這也揭示了此類問題構(gòu)造等腰直角三角形的一般方法(過45°角對邊的某一頂點(diǎn)作另兩邊的垂線建構(gòu)等腰直角三角形).不同的建構(gòu)方法會(huì)影響問題解決的計(jì)算難度,解題時(shí)應(yīng)充分考慮計(jì)算的便利.從構(gòu)造的結(jié)構(gòu)和解題的過程都可以看出視角3較為復(fù)雜,需要視“形”建“型”,根據(jù)等腰直角三角形建構(gòu)矩形半角模型,再結(jié)合K字全等與A字相似得以求解,這也體現(xiàn)了基本圖形或基本圖形關(guān)系在聯(lián)系建構(gòu)解決問題中的重要性.

視角4 建構(gòu)正方形半角模型.

解法4 如圖5,分別以AD,DC為對稱軸作點(diǎn)B的對稱點(diǎn)F,E,使△DFA≌△DBA,△DEC≌△DBC,再延長FA和EC交于點(diǎn)G.由∠ADC=45°,知∠FDE=90°,又∠E=∠F=90°,從而四邊形DEGF是矩形.因?yàn)镈E=DF,所以四邊形DEGF是正方形.設(shè)BD=x,則

圖5

DF=FG=EG=DE=x,

從而

AG=x-2,GC=x-3.

在Rt△AGC中,

AG2+CG2=AC2,

于是

(x-2)2+(x-3)2=52,

解得x1=6,x2=-1(舍去),于是BD=6,進(jìn)而所求面積S=15-4=11,即綠化用地的面積為11 km2.

評注 視角4與視角3的矩形半角模型相比更加簡潔.根據(jù)45°角聯(lián)系建構(gòu)90°角,順勢利用對稱構(gòu)造正方形半角模型,運(yùn)用勾股定理求解.這是處理45°角轉(zhuǎn)化為直角解決問題常用的方法之一,可以延伸到解決30°,60°和120°等特殊角的半角問題.

視角5 建構(gòu)A字型相似模型.

解法5 如圖6,延長BA至點(diǎn)E使得BE=BD,聯(lián)結(jié)DE.因?yàn)锽D⊥EC,所以△DBE是等腰直角三角形,從而

圖6

∠E=∠CDA=45°, ∠C=∠C,

于是

△CDA∽△CED,

得

DC2=AC·EC.

由AB=2,BC=3,設(shè)BD=x,則

EB=x.

在Rt△DBC中,

DC2=DB2+BC2,

得

從而

9+x2=5(3+x),

解得x1=6,x2=-1(舍去),于是BD=6,進(jìn)而所求面積S=15-4=11,即綠化用地的面積為11 km2.

評注 建構(gòu)相似的圖形關(guān)系是解決幾何問題的重要策略.視角5從含45°角的三角形中的基本元素入手,聯(lián)系構(gòu)造新的含45°角的三角形,形成斜A字型相似的圖形關(guān)系,再結(jié)合圖形中的直角三角形相關(guān)性質(zhì)求解.此類建構(gòu)的優(yōu)勢是三角形邊角等條件的相關(guān)性比較集中,在運(yùn)算時(shí)能收到意想不到的效果.

視角6 建構(gòu)一線三等角模型.

解法6 如圖7,分別過點(diǎn)A,C作∠EAB=45°和∠FCB=45°,因?yàn)锽D⊥EC,所以

圖7

∠AEB=45°, ∠CFB=45°,

得△ABE和△CBF都是等腰直角三角形,從而

BE=AB=2,BF=BC=3.

因?yàn)椤螩DF+∠DCF=45°,∠ADE+∠CDF=45°,所以

∠ADE=∠DCF.

又∠AEB=∠CFB=45°,從而

∠AED=∠DFC=135°,

于是

△DAE∽△CDF,

得

設(shè)DB=x,則

DF=x-3,DE=x-2,

又

得

解得x1=6,x2=-1(舍去),于是BD=6,進(jìn)而所求面積S=15-4=11,即綠化用地的面積為11 km2.

評注 相似的圖形關(guān)系除了視角5的建構(gòu)外,通?？梢越?gòu)一線三等角模型的圖形關(guān)系.視角6從含45°角的三角形中的基本元素入手,通過構(gòu)造兩個(gè)等腰直角三角形,聯(lián)系建構(gòu)一線三等角的圖形相似關(guān)系,再結(jié)合圖形中的等腰直角三角形相關(guān)性質(zhì)求解.K字型全等是K字型相似的特殊圖形關(guān)系,K字型相似則是一線三等角相似的特殊圖形關(guān)系,厘清圖形結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系,有利于在“形”與“型”的聯(lián)系與建構(gòu)中優(yōu)化解題策略,提升解題能力.

視角7 建構(gòu)圓模型.

解法7 如圖8,構(gòu)造△DAC的外接圓⊙E,聯(lián)結(jié)AE,DE,EC,并過點(diǎn)E作EO⊥AC于點(diǎn)O,作EF⊥DB于點(diǎn)F.由AB=2,BC=3,知AC=5.又EO⊥AC,從而

圖8

因?yàn)椤螦DC=45°,所以

∠AEC=90°,

從而

于是

又因?yàn)镋F⊥BD,EO⊥AC,DB⊥AC,所以

∠EFB=∠FBO=∠EOB=90°,

得四邊形EFBO是矩形,故

設(shè)DB=x,則

在Rt△DFE中,

DE2=DF2+EF2,

即

解得x1=6,x2=-1(舍去),于是BD=6,進(jìn)而所求面積S=15-4=11,即綠化用地的面積為11 km2.

評注 由定角對定長會(huì)聯(lián)想到定圓.視角7從含45°角的三角形中的基本元素入手,從三角形聯(lián)想到三角形的外接圓,結(jié)合同弧所對的圓周角等于圓心角的一半,構(gòu)造了90°的圓心角,然后再構(gòu)造圓中的“兩半一距”三角形,利用勾股定理即可求解.30°,45°和60°等特殊的角度構(gòu)造圓心角時(shí)都能關(guān)聯(lián)出特殊的等腰三角形,在解決問題時(shí)可以起到很好的效果.

視角8 建構(gòu)正切和模型.

圖9

CE=tanα,CF=tanαtanβ,

如圖1,由AB=2,BC=3,設(shè)DB=x,則

因?yàn)椤螦DB+∠CDB=45°,所以

解得x1=6,x2=-1(舍去),于是BD=6,進(jìn)而所求面積S=15-4=11,即綠化用地的面積為11 km2.

評注 視角8從含45°角的三角形中的基本元素入手,從直角三角形聯(lián)想到如圖9所示,利用相似求正切和,將初中知識(shí)拓展到高中內(nèi)容.筆者查看了人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(必修1)第5.5.1節(jié)“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”的內(nèi)容,教材中正切和公式是根據(jù)正弦、余弦和公式推導(dǎo)出來的,與視角8的相似構(gòu)圖推導(dǎo)截然不同,體現(xiàn)了同一高度的兩種視角,這不僅拓寬了學(xué)生的思維,還讓學(xué)生的知識(shí)體系更加豐富.

3 總結(jié)反思

初中階段幾何教學(xué)主要側(cè)重學(xué)生對圖形概念的理解,以及對基于概念的圖形性質(zhì)、關(guān)系和變化規(guī)律的理解,培養(yǎng)學(xué)生初步的抽象能力、更加理性的幾何直觀和空間想象力,感悟數(shù)學(xué)論證的邏輯,體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,形成初步的推理能力和重事實(shí)、講道理的科學(xué)精神[4].在復(fù)雜圖形中抽象出基本圖形和基本圖形關(guān)系,在特殊元素中建構(gòu)基本圖形和基本圖形關(guān)系是解決幾何問題的關(guān)鍵,是學(xué)生核心素養(yǎng)的體現(xiàn).“一題多解”和“多題歸一”是一個(gè)相互聯(lián)系、相互作用的綜合整體,理解這些方法背后的原理和關(guān)聯(lián),有助于學(xué)生分析、解決問題的能力提升,也有助于學(xué)生思維靈活性、變通性、發(fā)散性和創(chuàng)新性的激發(fā).史寧中教授在其訪談中闡述數(shù)學(xué)的結(jié)論是“看”出來的,不是“證”出來的,依賴的是數(shù)學(xué)直觀,這是“三會(huì)”的現(xiàn)實(shí)表現(xiàn).數(shù)學(xué)直觀是一個(gè)人長期進(jìn)行數(shù)學(xué)思維形成的,是逐漸養(yǎng)成的一種思維習(xí)慣.這個(gè)思維習(xí)慣日積月累就形成了數(shù)學(xué)素養(yǎng)[5].因此,在解決幾何圖形問題時(shí),要重視基本圖形和基本圖形關(guān)系的提煉和運(yùn)用,視形建型,用聯(lián)系的觀念建構(gòu)數(shù)學(xué)模型解決問題.在教學(xué)活動(dòng)中要關(guān)注學(xué)生從基本元素到基本圖形的建構(gòu)過程;要關(guān)注學(xué)生從基本圖形到基本圖形關(guān)系的建構(gòu)過程;要關(guān)注學(xué)生知識(shí)本身到知識(shí)生長的建構(gòu)過程.要讓學(xué)生在體驗(yàn)中理解“形”與“型”的關(guān)聯(lián)所在,從知識(shí)的寬度與深度進(jìn)行拓展延伸,讓學(xué)生理解知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和關(guān)聯(lián).在幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系的同時(shí),優(yōu)化解題策略,讓學(xué)生有“居高臨下”“一覽眾山小”之感,在以不變應(yīng)萬變的解題中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).