吳偉雄

【摘 ?要】??三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的六大主干知識(shí)之一，也是歷年高考的熱點(diǎn)問題^[1].本文結(jié)合近兩年的全國高考試題，對三角函數(shù)知識(shí)的考點(diǎn)進(jìn)行分類、總結(jié)，突出在高考中三角函數(shù)部分考查的側(cè)重點(diǎn)，提高三角函數(shù)高考復(fù)習(xí)的質(zhì)量.

【關(guān)鍵詞】 ?三角函數(shù)；高考數(shù)學(xué)；復(fù)習(xí)備考

1??考點(diǎn)回顧

1.1 ?考點(diǎn)分布

近兩年高考試題中三角函數(shù)的考點(diǎn)主要有：三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換公式、圖像與性質(zhì)、解三角形以及與三角函數(shù)的綜合問題.

1.2??命題規(guī)律

從試題結(jié)構(gòu)與考點(diǎn)分布上看，難度保持相對穩(wěn)定且題目適度創(chuàng)新；基本是1或2道小題加1道大題，分值一般為17分或22分；主要為選擇題、填空題和解答題，一般屬于中檔題.

1.3 ?考點(diǎn)預(yù)測

結(jié)合近兩年三角函數(shù)高考試題的命題規(guī)律、考點(diǎn)分布及與其它知識(shí)點(diǎn)交匯的情況來預(yù)測下一年高考在選擇題或填空題中將重點(diǎn)考查：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)及三角函數(shù)變換，特別是這些知識(shí)點(diǎn)的組合是考查的熱點(diǎn)，同時(shí)要注意三角函數(shù)定義的復(fù)習(xí)，難度為基礎(chǔ)題或中檔題.在解答題的考查中將重點(diǎn)考查：已知三角形邊角關(guān)系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理求平面圖形的邊、角與面積，多為中檔題，也可為壓軸題.

2??典例剖析

2.1 ?考查三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換

例1??1）（2020全國Ⅱ卷理）若為第四象限角，則（???）

（A）.????（B）.????（C）.????（D）.

2）（2021全國新高考Ⅰ卷）若，則（ ??）

（A）. ???（B）. ???（C）. ???（D）.

分析??1）本題考查的是任意角三角函數(shù)的定義、象限角的概念、二倍角公式的應(yīng)用.本題解法可以是從選項(xiàng)出發(fā)，用二倍角公式展開，利用角的位置判斷的符號(hào)，從而得到所求三角函數(shù)的符號(hào)；也可以利用角的位置確定角終邊所在的象限，再根據(jù)三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)而得到所求三角函數(shù)的符號(hào).意在考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和解題能力.

2）本題考查的是三角函數(shù)式的化簡求值問題，涉及到的知識(shí)是同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式.本題解答的關(guān)鍵是利用和進(jìn)行處理，結(jié)合齊次式的特征即可求得三角函數(shù)式的值.意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

評注??1）三角函數(shù)定義法求值：一般地，設(shè)角終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，它與原點(diǎn)的距離為，則.

2）判斷三角函數(shù)值符號(hào)及角的位置的方法：如果已知角的三角函數(shù)值中的兩個(gè)的符號(hào)，可以確定出角終邊的可能位置，兩者的交集即為該角的終邊位置，也要注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況^[2].

3）同角三角基本函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用策略：借助實(shí)現(xiàn)角的正弦與余弦的互化，通過實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦與正切的互化.在使用這兩個(gè)互化公式求三角函數(shù)時(shí)，對于角的象限不明確時(shí)，一定要注意函數(shù)值的符號(hào)的判斷.

4）誘導(dǎo)公式常用在化簡、求值及證明恒等式等題型中.在化簡或求值的應(yīng)用，關(guān)鍵在于根據(jù)給出角的特點(diǎn)，將角化成（為整數(shù)）的形式，再根據(jù)值“奇變偶不變，符號(hào)看象限”進(jìn)行化簡，化簡時(shí)應(yīng)遵循“負(fù)化正、大化小、化到銳角再計(jì)算”的原則.

5）三角恒等變換的基本思路是找差異、化同名（角）、化簡.策略是：①在使用兩角和（差）、二倍角的正余弦、正切公式時(shí)，首先必須是記住公式的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)問題條件的結(jié)構(gòu)選擇合適的公式進(jìn)行變形，在變換過程中常用到換元、逆向使用公式等方法.②對于求函數(shù)的有關(guān)問題，通常化為或的形式再應(yīng)用其對應(yīng)的基本函數(shù)的性質(zhì)來解決問題.

2.2 ?考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

例2??1）（2021全國乙卷文）函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（ ??）

（A）和. （B）和2. （C）和. （D）和2.

2）（2021全國乙卷理）把函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（ ??）

（A）.??（B）.???（C）.???（D）.

分析??1）本題考查的是三角恒等變換的應(yīng)用及三角函數(shù)的性質(zhì)，其中性質(zhì)涉及的內(nèi)容是三角函數(shù)的周期性與最值.本題的解法是先將原函數(shù)化為，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定周期為，最大值.意在考查學(xué)生推理能力和化歸思想.

2）本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換，既可以正向推導(dǎo)，也可以逆向求解.由圖像得到圖像有兩種方法：一種是先左右平移再伸縮，另一種是先伸縮再平移.無論是哪一種變換，它變換的都是對自變量.本題的解法是反推逆向變換，可以把函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度（即把函數(shù)解析式中的換成），得到函數(shù)的圖像，再將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍、縱坐標(biāo)不變得到函數(shù)的圖像.也可以把函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍、縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，再向左平移個(gè)單位長度（即把函數(shù)解析式中的換成），得到函數(shù)的圖像.

評注??三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的解題策略：①在三角函數(shù)圖像的伸縮平移變換時(shí)，一定要注意先伸縮再平移是平移個(gè)單位而不是個(gè)單位，且變換前后兩個(gè)函數(shù)是同名的；若不同名，則可通過誘導(dǎo)公式化為同名.②解答函數(shù)、、（）的性質(zhì)時(shí)：對于求定義域、值域、對稱性、單調(diào)性、最值時(shí)，可以將看作一個(gè)整體，再與相應(yīng)的簡單三角函數(shù)性質(zhì)比較得解.對于求奇偶性，只有當(dāng)取特殊值，即這些復(fù)合函數(shù)可以化為、、時(shí)才具備奇偶性.對于或的周期用公式求解，對于的周期用公式求解.

2.3 ?考查解三角形

例3??1）（2021全國乙卷理）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，面積為，，，則 ??????? .

2）（2021全國新高考Ⅱ卷）在中，角，，所對的邊長為，，，，.

①若，求的面積；

②是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

3）（2020全國新高考Ⅰ/Ⅱ卷）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在，它的內(nèi)角的對邊分別為，且，，??????????？

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

分析??1）本題考查的是余弦定理與三角形的面積公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.本題的解答由、及聯(lián)立解得.意在考查學(xué)生公式的運(yùn)用和解題能力.

2）本題主要考查了正、余弦定理的運(yùn)用.本題的解答是：對于①，根據(jù)已知條件以及正弦定理可得，，，再結(jié)合余弦定理及三角形面積公式，即可求得.對于②，由及余弦定理可推得為鈍角三角形時(shí)，角必為鈍角，再運(yùn)用余弦定理可推得，再結(jié)合，三角形的任意兩邊之和大于第三邊定理，即可求得.意在考查學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用.

3）本題是一道結(jié)構(gòu)不良題目，打破了常規(guī)形式，目標(biāo)指向開放，增加思維量，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng)^[1].主要考查了正、余弦定理的靈活應(yīng)用.本題的解答是：對于①，根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理可得，，結(jié)合，運(yùn)用余弦定理，即可求得.

對于②，根據(jù)題意，中，即可求得，進(jìn)而得到.運(yùn)用余弦定理，即可求得.

對于③，根據(jù)，即，可列式求得，與已知條件矛盾，所以問題中的三角形不存在.意在考查學(xué)生知識(shí)掌握的系統(tǒng)性、解題的靈活性和創(chuàng)造性.

評注??解三角形主要是從正（余）定理出發(fā)，結(jié)合面積公式及三角形的相關(guān)結(jié)論，活靈求解三角形的邊角問題以及三角形中的邊角互化、判斷三角形形狀等問題^[3].一般來說，在三角形中，若“已知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對角”使用正弦定理求解；若“已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”則使用余弦定理求解.在應(yīng)用定理中要做到“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”即“三統(tǒng)一”.

2.4 ?三角函數(shù)的綜合問題

例4??1）（2021全國甲卷理）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)為________.

2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，，則

（A） （B） .

（C） （D）

評析?1）本題的考點(diǎn)是三角函數(shù)的圖像與不等式的綜合.本題的解法是：由的部分圖象可求得周期，，由五點(diǎn)作圖法可得，確定其解析式，故可得，，最后通過求解三角不等式可得最小正整數(shù)為2.意在考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力.

2）本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及兩角和的三角函數(shù)與平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算的綜合.本題的解法可以是由已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別求得對應(yīng)向量的坐標(biāo)，然后逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)得答案；也可以是由題意畫出圖形，利用向量的模及數(shù)量積運(yùn)算逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案.意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

評注 ?對于三角函數(shù)的綜合問題，在涉及到與三角恒等變換有關(guān)的問題時(shí)可以優(yōu)先考慮角與角之間的關(guān)系；在涉及到與三角形有關(guān)的問題時(shí)可以優(yōu)先考慮正弦（余）弦定理.

3??精題集萃

1.若已知，則的值為（???）

（A）. ??????（B）. ??????（C）. ?????（D）.

2.已知函數(shù)，圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為，且，則不等式的解集為

（A）. （B）.

（C）. （D）.

3.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是

（A）函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱. ?????（B）函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.

（C）函數(shù)在，上恰有4個(gè)極值點(diǎn). ?????（D）函數(shù)在上單調(diào)遞減.

4.如圖是函數(shù)的部分圖象，則

（A）函數(shù)的最小正周期為.

（B）直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸.

（C）函數(shù)為偶函數(shù).

（D）點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心.

5.在中，角，，所對的邊分別為，，.若，角的角平分線交于點(diǎn)，，，以下結(jié)論正確的是

（A）. ?????????（B）. ???????（C）. ??????（D）的面積為.

6.已知中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，是邊上一點(diǎn)，.

（1）若，，求；

（2）若，求的最大值.

參考答案

1.B ??????2.C ???????3.ABC ??????4.ABC ????????5.ABD

6.解 ?（1），

，

，，

即，

，，

，，

，

.

（2）解法一：，

因?yàn)椋裕?/p>

即，

整理得到，

兩邊平方后有，

所以，

即，

整理得到，

所以，

因?yàn)?，所以?/p>

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

所以的最大值.

解法二：設(shè)，則，，

在中，，

在中，，

又，

所以，解得，①

在中，，即，②

由①②可得.接下來同解法一.

參考文獻(xiàn)：

[1]黃金明.關(guān)注變化 強(qiáng)化思想 探尋規(guī)律[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（下旬），2021（07）：3-5.

[2]郭興甫.例談高考三角函數(shù)復(fù)習(xí)備考策略[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2020（03）：45-50.

[3]張巖.2018年高考“三角函數(shù)”專題解題分析[J].中國數(shù)學(xué)教育，2018（7-8）：40-45.