周春生

【摘 ?要】??解三角形是高考的高頻考點，要求學(xué)生能利用正弦、余弦定理，三角形的內(nèi)角和定理，面積公式等綜合知識來解三角形，在解題的過程中體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.本文以一道解三角形取值范圍的題目，結(jié)合余弦定理、基本不等式、海倫公式等知識點進行求解，拓寬解題思路.

【關(guān)鍵詞】 ?高中數(shù)學(xué)；解三角形；余弦定理

題目已知非等腰的內(nèi)角的對邊分別是，且，若為最大邊，則的取值范圍是（ ??）

分析題中已知的關(guān)系，可以以余弦定理為切入點進行解答.由的取值范圍可以聯(lián)想到用三角形三條邊的定理和基本不等式的知識點進行求解.

1 ?運用余弦定理求解

已知的關(guān)系，便可以使用余弦定理得到，對其兩邊進行平方并拆解，得到條件中等數(shù)據(jù)，并帶回條件公式，得到的值，使用三角形的三邊定理和基本不等式對取值范圍進行求解，由三角形的兩邊之和大于第三邊得到.

解由余弦定理得

，

.

由條件，

得代入上式得

，.

因為為最大角，所以，

由余弦定理得

，

當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，

但是非等腰三角形，故，

即，

由，得，

所以的取值范圍為.

在解題的過程中，對余弦定理公式的兩邊進行平方并拆解的運算量大，需要耐心仔細，靈活使用余弦定理為基本不等式的使用做鋪墊.

2 ?運用海倫公式求解

海倫公式的表達式為為解三角形問題提供了新的方法和思路，公式中的為半周長，表達方式為，將的值代入海倫公式得到三者的關(guān)系，再通過題目中已知的三者關(guān)系進行轉(zhuǎn)化得到三角形的面積，并將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，求出的兩個取值.最后，將條件中的取值范圍轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，求出的取值范圍.

解??由海倫公式知

，

又由，

得，

故，

即，

即，

由為最大邊知，，

若，則為等邊三角形，不可能

故，由，得，

，，

故，

若，則，與是非等腰三角形矛盾，故，

故的取值范圍為.

一般地，對海倫公式需要熟練掌握，根據(jù)三角形的面積求出∠C的大小，將題目轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)進行解答，在運算的過程中同樣需要耐心仔細.

3 ?結(jié)語

總而言之，在學(xué)習(xí)的過程中學(xué)生需要掌握解三角形問題中取值范圍問題的常規(guī)解法，根據(jù)題目給出的條件靈活選擇解決方法，綜合運用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，理順基本知識和答題技巧，提高解題能力.

參考文獻：

[1]朱賢良，付朝華.解三角形中的取值范圍問題攻略[J].數(shù)學(xué)通訊.2016（Z2）.37-39.

[2]吳利華，朱賢良.強化思想意識指引解題方向——例談解三角形中的取值范圍與最值問題的求解[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2021（05）：57-62.

[3]陳娟.三角形面積的最值及取值范圍的解法初探[J].數(shù)理化解題研究，2020（04）：25-26.

[4]呂佳峻.對一道解三角形求取值范圍問題的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2022（06）：77-79.