摘 要：數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提質(zhì)增效的助力。學(xué)生可以借助“形”認(rèn)知“數(shù)”，借助“數(shù)”掌握“形”，從而掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，鍛煉數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力?；诖耍W(xué)數(shù)學(xué)教師有必要將數(shù)形結(jié)合思想融入數(shù)學(xué)教學(xué)，實(shí)現(xiàn)以形助數(shù)，以數(shù)輔形?；诖耍恼路謨刹糠终撌鰯?shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用策略，第一部分重在論述數(shù)形結(jié)合思想的滲透價(jià)值，第二部分重在介紹數(shù)形結(jié)合思想的滲透策略。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合思想；滲透策略

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2097-1737（2023）23-0031-03

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本思想方法，是以數(shù)和形關(guān)系為基礎(chǔ)，借助數(shù)和形的相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法[1]。眾所周知，數(shù)學(xué)的研究對象是數(shù)與形。小學(xué)數(shù)學(xué)四大領(lǐng)域均建立在數(shù)與形的基礎(chǔ)上。在形的輔助下，學(xué)生可以認(rèn)知數(shù)；在數(shù)的助力下，學(xué)生可以理解形。

然而，在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，部分教師忽視數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，機(jī)械地灌輸數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，忽視數(shù)形結(jié)合思想的滲透，導(dǎo)致大部分學(xué)生知其然不知其所以然，影響了學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)質(zhì)量，甚至承受了過重的課業(yè)負(fù)擔(dān)、心理壓力。針對此情況，小學(xué)數(shù)學(xué)教師有必要滲透數(shù)形結(jié)合思想。

一、滲透數(shù)形結(jié)合思想的必要性

（一）數(shù)形結(jié)合思想的教育價(jià)值

1.提高學(xué)生的思維能力

在成長的過程中，個體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也在不斷重組、改造。依據(jù)個體的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)，皮亞杰將認(rèn)知發(fā)展分為四個階段。小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展處于具體運(yùn)算階段和形式運(yùn)算階段。在這兩個階段，小學(xué)生的形象思維較發(fā)達(dá)，往往依賴實(shí)物、直觀形象來建立認(rèn)知。在實(shí)物、直觀形象的助力下，他們獲得邏輯運(yùn)算、推理機(jī)會，有利于發(fā)展邏輯思維能力。數(shù)形結(jié)合思想能借助直觀的形（實(shí)物、圖像、線段、圖形等）展現(xiàn)抽象的事物，使學(xué)生發(fā)揮形象思維作用，克服種種認(rèn)知障礙，建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知[2]。

2.優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)其實(shí)是聯(lián)系新舊知識的過程。無論何種認(rèn)知結(jié)構(gòu)，都可以用符號、圖像、動作進(jìn)行表征，但對大部分小學(xué)生來說，數(shù)學(xué)邏輯性強(qiáng)、抽象程度高，很難理解。教師滲透數(shù)形結(jié)合思想能夠借助直觀的圖像、線段等，展現(xiàn)不同知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，助力學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知[3]。

3.增強(qiáng)學(xué)生的問題解決能力

解決數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要活動，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的之一。數(shù)形結(jié)合思想作為“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的手段，可以使學(xué)生借助具體的形象表征來分析、解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題[4]。例如，在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題時，學(xué)生可以把握關(guān)鍵信息，繪制線段圖、示意圖等，直觀地展現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，把握問題本質(zhì)，理清問題解決思路，繼而列式、運(yùn)算，解決問題。長此以往，學(xué)生會扎實(shí)掌握問題解決方法，積累問題解決經(jīng)驗(yàn)，提升問題解決能力。

4.培養(yǎng)學(xué)生的審美情趣

從數(shù)學(xué)研究歷史上看，在很長的一段時間內(nèi)，

“數(shù)”與“形”處于割裂狀態(tài)。在解析幾何創(chuàng)立之后，

“數(shù)”與“形”實(shí)現(xiàn)結(jié)合。二者的結(jié)合展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美、統(tǒng)一美、和諧美等，如可以用直觀的“形”展現(xiàn)抽象復(fù)雜的“數(shù)”（文字、數(shù)、方程等）。學(xué)生在長期學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的過程中，不僅可以建構(gòu)深刻的數(shù)學(xué)認(rèn)知，還可以在不知不覺中受到數(shù)學(xué)多元美的熏陶，有利于培養(yǎng)良好的審美情趣。

（二）新課標(biāo)要求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）是數(shù)學(xué)教學(xué)的導(dǎo)向?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性，提出直觀化教學(xué)要求。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從生活現(xiàn)象中抽象出數(shù)學(xué)知識，從具體事物中抽象出簡單的幾何體和平面圖形。同時，《課程標(biāo)準(zhǔn)》在過去“雙基”的基礎(chǔ)上增加了數(shù)學(xué)基本思想、基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。這些要求均強(qiáng)調(diào)了數(shù)形結(jié)合思想的重要性。

綜上所述，教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，能在降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生在知識、方法、能力等方面有所發(fā)展，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)提質(zhì)增效。所以，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)采用適宜的策略滲透數(shù)形結(jié)合思想。

二、滲透數(shù)形結(jié)合思想的策略

（一）以形助數(shù)

1.以形助數(shù)，掌握數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)內(nèi)容，具有概括性、抽象性[5]。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，學(xué)生要分析、對比大量實(shí)例，發(fā)現(xiàn)其統(tǒng)一屬性。形是學(xué)生進(jìn)行對比的助力。教師可以依據(jù)具體的數(shù)學(xué)概念，呈現(xiàn)相關(guān)的形，引導(dǎo)學(xué)生觀察、對比，歸納統(tǒng)一屬性，認(rèn)知數(shù)學(xué)概念。

例如，在“千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”這節(jié)課上，學(xué)生要了解計(jì)數(shù)單位之間的關(guān)系。對此，教師可以操作電子白板，先后展示一個小立方體、十個小立方體、一百個小立方體、一千個小立方體，而學(xué)生認(rèn)真觀察小立方體從一到千的數(shù)量變化過程。在此過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對比不同的模型，讓學(xué)生分析它們之間的關(guān)系。在對比時，很多學(xué)生會發(fā)揮形象思維作用，發(fā)現(xiàn)“十個1是10，十個10是100，十個100是1000”。基于此，學(xué)生會在腦海中建立“十進(jìn)制”的概念。教師可以趁機(jī)介紹計(jì)數(shù)單位之間的十進(jìn)制關(guān)系，使學(xué)生建構(gòu)清晰的認(rèn)知。這樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念更高效。在這一過程中，學(xué)生可以在腦海中建立深刻的直觀表象，提高記憶水平，同時汲取學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會借助形學(xué)習(xí)數(shù)。

2.以形助數(shù)，化解學(xué)習(xí)難點(diǎn)

“數(shù)形結(jié)合”不僅是一種數(shù)學(xué)思想，而且是一種切實(shí)可行的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，學(xué)生受到思維能力、認(rèn)知水平等因素的影響，會遇到諸多學(xué)習(xí)難點(diǎn)，如數(shù)學(xué)概念、復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算等。教師可以發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的作用，引導(dǎo)學(xué)生刻畫形，展現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象，并進(jìn)行觀察、分析、歸納，逐步得出數(shù)學(xué)結(jié)論，輕松化解學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

例如，在教學(xué)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”時，教師可以先呈現(xiàn)情境圖，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、列式?；趯W(xué)生的列式結(jié)果，教師可以鼓勵他們對比所學(xué)，發(fā)現(xiàn)不同之處。在已有認(rèn)知的支撐下，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)所列出的算式是異分母分?jǐn)?shù)加法。教師可以趁機(jī)引導(dǎo)學(xué)生思索異分母分?jǐn)?shù)加法的計(jì)算方法。

在學(xué)生沒有解題思路的情況下，教師可以鼓勵他們拿出一張長方形紙，將它對折，為其中二分之一的部分涂色。在學(xué)生涂色后，教師可以引導(dǎo)他們繼續(xù)對折這張紙，為其中四分之一的部分涂色。面對操作成果，學(xué)生認(rèn)真觀察，很容易發(fā)現(xiàn)“兩次涂色的部分一共占了這張紙的四分之三”。一些認(rèn)知水平較高的學(xué)生會發(fā)散思維，發(fā)現(xiàn)“二分之一是兩個四分之一”，“二分之一加四分之一是四分之三”。教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析此過程和結(jié)果。在分析時，學(xué)生不斷觀察涂色情況，

回想自己的發(fā)現(xiàn)，確定“在進(jìn)行異分母分?jǐn)?shù)加法計(jì)算時，需要將兩個分?jǐn)?shù)的分母化成同一個數(shù)”。這時，教師可以引出“通分”這一概念。與此同時，教師可以操作電子白板，演示類似現(xiàn)象。學(xué)生通過不斷觀察、思考，得出結(jié)論——在進(jìn)行異分母分?jǐn)?shù)加法計(jì)算時，要先通分，再進(jìn)行同分母分?jǐn)?shù)加法計(jì)算。如此學(xué)習(xí)使學(xué)生輕松掌握了算理，提高了數(shù)學(xué)運(yùn)算水平。

3.以形助數(shù)，解決數(shù)學(xué)問題

善于解決數(shù)學(xué)問題不是指善于遵循一定的標(biāo)準(zhǔn)來解決問題，而是能獨(dú)立思考，使用恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題[6]。數(shù)形結(jié)合是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的助手，學(xué)生通過繪制線段圖，可以直觀地發(fā)現(xiàn)問題中的數(shù)量關(guān)系，順利解決問題。又如，學(xué)生通過繪制圖像、圖表等，可以直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題中蘊(yùn)含的規(guī)律，找到解決問題的方法。對此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助形來解決數(shù)學(xué)問題。

例如，在學(xué)習(xí)“倍的認(rèn)識”時，學(xué)生要解決應(yīng)用題：“超市的一盒軍棋8元，一盒象棋是軍棋價(jià)格的

4倍。請問，一盒象棋多少錢？”在剛剛認(rèn)知“倍”的概念的情況下，大部分學(xué)生面對這個應(yīng)用題很容易摸不著頭腦。這時，教師可以指導(dǎo)他們繪制線段圖。教師可以引導(dǎo)學(xué)生將8元看作一個線段。學(xué)生會遷移課堂認(rèn)知，畫出4段同樣長的線段，展現(xiàn)“一盒象棋是軍棋價(jià)格的4倍”的含義。在直觀、清晰的線段圖的作用下，學(xué)生發(fā)散思維，轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題，如“求象棋的價(jià)格，就是在求4盒軍棋的價(jià)格”。如此一來，學(xué)生可以輕松列出算式：8×4，得出結(jié)果：32。教師可以依據(jù)學(xué)生的問題解決情況，總結(jié)解題方法——畫線段圖，強(qiáng)化認(rèn)知。同時，教師可以呈現(xiàn)其他類似問題，鼓勵學(xué)生自主解決。在解決問題后，大部分學(xué)生利用線段圖展現(xiàn)問題中的條件，獲取數(shù)量關(guān)系并列式、計(jì)算。學(xué)生體驗(yàn)這樣的數(shù)學(xué)問題解決活動，切實(shí)掌握了方法，建構(gòu)了以形助數(shù)的認(rèn)知，有利于今后解決數(shù)學(xué)問題。

（二）以數(shù)輔形

1.以數(shù)輔形，感知圖形特點(diǎn)

盡管幾何圖形的性質(zhì)具有直觀性，但是在缺乏量化分析的情況下，學(xué)生對圖形的特征是難以判斷的。對此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)來分析形，把握數(shù)量關(guān)系，確定圖形的特點(diǎn)，增強(qiáng)對圖形的認(rèn)知。

例如，在教學(xué)“長方形和正方形”時，教師可以為學(xué)生提供大小不同的長方形模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、測量，建立表格，展現(xiàn)每個長方形模型的長、寬、角等信息。在操作的過程中，學(xué)生獲得數(shù)據(jù)，建立表格，認(rèn)真對比，發(fā)現(xiàn)長方形的特點(diǎn)，如，“長方形的四個角都是直角”“長方形的對邊相等”“長方形永遠(yuǎn)有兩個長邊和兩個短邊”等?；趯W(xué)生的發(fā)現(xiàn)，教師可以進(jìn)行歸納，使學(xué)生建立完善的認(rèn)知。之后，教師可以按照如此方式，引導(dǎo)學(xué)生探尋正方形的特點(diǎn)。甚至，教師可以引導(dǎo)學(xué)生操作電子白板，改變長方形的一邊長，不斷測量長度。在操作的過程中，學(xué)生借助具體的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)長方形的長和寬同樣長時，會變成一個正方形，由此發(fā)現(xiàn)長方形和正方形的關(guān)系——正方形是特殊的長方形。學(xué)生由此便可在腦海中建立深刻的印象，建構(gòu)完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.以數(shù)輔形，證明圖形問題

證明離不開嚴(yán)密的邏輯推理。一般情況下，經(jīng)過證明的結(jié)論是具有科學(xué)性的。一些圖形問題雖然可以通過直接觀察得出結(jié)論，但仍需要借助數(shù)證明，使結(jié)論更準(zhǔn)確、科學(xué)。所以，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)來證明圖形問題。

例如，在學(xué)習(xí)“圓”后，學(xué)生會面對這樣的證明（如圖1）：某人從A點(diǎn)走到B點(diǎn)，有兩條路可選，分別為①和②，哪一條路更近？為什么？

經(jīng)過一番觀察，學(xué)生會提出猜測。在學(xué)生觀察后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生使用賦值法，賦予大圓和三個小圓不同的直徑。通過閱讀題目，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)，比較路程的遠(yuǎn)近其實(shí)就是在比較半圓的弧長。因此，學(xué)生可以遷移已有認(rèn)知，借助圓的周長計(jì)算公式列出算式，得出結(jié)論——兩條路一樣長。通過用數(shù)來證明形，學(xué)生可以輕松解決問題。此外，在解決問題的過程中，學(xué)生受數(shù)形結(jié)合思想的影響，能夠掌握以數(shù)輔形法，用轉(zhuǎn)化數(shù)與形來解決數(shù)學(xué)問題，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。

三、結(jié)束語

總而言之，數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的助力。學(xué)生通過掌握、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，既可以降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，還可以扎實(shí)掌握數(shù)學(xué)知識，獲取數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)思維能力，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高問題解決能力，培養(yǎng)審美情操?；诖?，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)注重滲透數(shù)形結(jié)合思想，以日常教學(xué)為依托，以教學(xué)需要為依據(jù)，借助數(shù)與形的關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、解決數(shù)學(xué)問題，做到以形助數(shù)，以及用數(shù)來感知圖形特點(diǎn)，證明圖形問題，做到以數(shù)輔形，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提質(zhì)增效。

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作者簡介：陳玉榮（1984.10-），女，貴州貴陽人，任教于貴州省貴陽市云巖區(qū)第一小學(xué)，一級教師，本科學(xué)歷，曾榮獲區(qū)、市級“教壇新秀”“名師”“骨干”稱號。