摘 要：模型意識(shí)是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分。文章嘗試以“植樹問題”一課為例，通過呈現(xiàn)核心問題、聚焦核心問題、剖析核心問題和把握核心問題，讓學(xué)生充分經(jīng)歷感悟模型意識(shí)、建構(gòu)模型意識(shí)、完善模型意識(shí)和應(yīng)用模型意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：核心問題；模型意識(shí)；數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)；植樹問題

中圖分類號(hào)：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：2097-1737（2023）23-0025-03

隨著基礎(chǔ)教育改革的推進(jìn)和發(fā)展，數(shù)學(xué)建模越來越受到重視?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，模型意識(shí)主要是指對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟[1]。模型意識(shí)是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分，是形成模型觀念的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。培養(yǎng)模型意識(shí)不僅能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展，開展跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)，也能提高學(xué)生解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。因此，培養(yǎng)模型意識(shí)具有重大的現(xiàn)實(shí)意義。

一、緣由：為何基于核心問題培養(yǎng)模型意識(shí)

縱觀傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，大部分教師能認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想的重要性，有在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)基本思想的意識(shí)，積極創(chuàng)新教學(xué)理念和方式。但是，小學(xué)數(shù)學(xué)教材的明線側(cè)重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)模型思想是隱含其中的暗線，模型意識(shí)的培養(yǎng)在實(shí)際的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透力度不夠，存在著一些問題。例如，在教師層面，部分教師對數(shù)學(xué)模型思想理解不到位，缺少對模型意識(shí)的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)。部分教師在教學(xué)時(shí)沒有結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)特征和教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)方式不符合建模規(guī)律，教學(xué)沒有方向感，新知教學(xué)缺乏對模型意識(shí)的滲透，練習(xí)環(huán)節(jié)缺乏模型意識(shí)的強(qiáng)化，小結(jié)環(huán)節(jié)缺乏對模型意識(shí)的提煉，作業(yè)布置缺乏模型意識(shí)的體現(xiàn)，種種原因?qū)е聭?yīng)用效果不佳。此外，部分教師沒有深入挖掘教材中蘊(yùn)含的模型思想，沒有有效整合教材中零散的模型內(nèi)容，導(dǎo)致教學(xué)有模型沒思想。而在學(xué)生層面，小學(xué)生的模型意識(shí)相對欠缺，對模型思想的認(rèn)識(shí)流于表面，對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)只停留在朦朧狀態(tài)。

核心問題，即統(tǒng)領(lǐng)一節(jié)課的中心問題、關(guān)鍵性問題，需要學(xué)生思考，能發(fā)揮問題的價(jià)值的問題。本文嘗試以人教版五年級(jí)（上冊）“植樹問題”一課為例，基于核心問題，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生深度思考，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活現(xiàn)象中蘊(yùn)藏著的數(shù)學(xué)信息，用數(shù)學(xué)的思維把這些現(xiàn)象抽象成數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)模型解釋現(xiàn)實(shí)生活中的現(xiàn)象，培養(yǎng)模型意識(shí)，初步感悟、建構(gòu)、完善和運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生在親歷建模的過程中培養(yǎng)模型意識(shí)，感悟基本數(shù)學(xué)思想，為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。

二、策略：如何基于核心問題培養(yǎng)模型意識(shí)

（一）呈現(xiàn)核心問題，感悟模型意識(shí)

弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活，

數(shù)學(xué)知識(shí)的根源在于生活中的普通常識(shí)。學(xué)生需要認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中大量的問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，需要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的原型，對現(xiàn)實(shí)情境有充分的認(rèn)識(shí)，能用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活情境，發(fā)現(xiàn)和提出問題，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋現(xiàn)實(shí)生活中的現(xiàn)象，分析和解決問題，有效培養(yǎng)模型意識(shí)。而在日常的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)中，大部分學(xué)生并沒有完整地接受數(shù)學(xué)建模的專項(xiàng)課程學(xué)習(xí)。學(xué)生有時(shí)能夠記住某些特殊情況下的知識(shí)建模，但又往往因?yàn)樯钏夭倪^少、親身體驗(yàn)不夠等，對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)只停留在表面，沒有真正系統(tǒng)地認(rèn)知和感悟，沒有有效經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象過程，導(dǎo)致對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解不夠透徹，影響了數(shù)學(xué)建模，模型意識(shí)相對薄弱。

創(chuàng)設(shè)合理有效的生活問題情境是培養(yǎng)模型意識(shí)的有效途徑。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要充分利用學(xué)生熟悉的生活素材，適時(shí)呈現(xiàn)核心問題，展現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)原型，將數(shù)學(xué)問題生活化，讓學(xué)生在真實(shí)且有趣的生活情境中理解數(shù)學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生自主思考、深入探究、合作交流等，圍繞具有一定思維價(jià)值的核心問題，聚焦知識(shí)的本質(zhì)，由淺入深，逐步推進(jìn)，經(jīng)歷從生活原型問題逐步抽象到數(shù)學(xué)問題的過程，感悟模型意識(shí)[2]。

例如，在創(chuàng)建全國文明城市的背景下，教師從學(xué)生熟悉的生活情境和已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，呈現(xiàn)植樹問題：“在1000米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端都栽）。一共要栽多少棵樹？”學(xué)生在梳理?xiàng)l件后提出各種猜測，如199棵、200棵、201棵等，在復(fù)雜情境中初步感知棵數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系?；诤诵膯栴}“到底需要栽多少棵呢？有什么辦法來驗(yàn)證呢？”，學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，嘗試畫圖驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)較難直接通過畫圖驗(yàn)證復(fù)雜問題情境的猜想。這可以引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突。教師可以使學(xué)生利用學(xué)習(xí)任務(wù)單，主動(dòng)選擇較小的數(shù)據(jù)，通過畫一畫、算一算、找一找、說一說等環(huán)節(jié)，在解決問題的過程中體會(huì)：將未學(xué)過或者不易解決的問題轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的或者比較容易解決的問題，從簡單情境中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而用規(guī)律解決復(fù)雜的問題情境，化繁為簡。基于核心問題，學(xué)生可以在學(xué)習(xí)中提高解決實(shí)際問題的能力，增強(qiáng)合作交流的意識(shí)，養(yǎng)成主動(dòng)探究的習(xí)慣，初步感悟模型意識(shí)。

（二）聚焦核心問題，建構(gòu)模型意識(shí)

建構(gòu)主義認(rèn)為，知識(shí)不是簡單地通過傳授得到，而應(yīng)由學(xué)生利用自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)建構(gòu)的。模型意識(shí)并不是學(xué)生天生就具有的，而是一種需要后天不斷努力培養(yǎng)和建構(gòu)的數(shù)學(xué)意識(shí)。在學(xué)生自主探究過程中，教師不能直接灌輸模型意識(shí)，而應(yīng)當(dāng)扮演好引導(dǎo)者角色，引導(dǎo)學(xué)生聚焦核心問題，對學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)或點(diǎn)撥，使學(xué)生在具體的生活情境中理解問題，經(jīng)歷感知、理解、想象、推理、抽象、概括等系列活動(dòng)，從現(xiàn)實(shí)問題中提煉有用的數(shù)學(xué)信息，舍去非本質(zhì)要素，在自主探索的過程中建立更多感性認(rèn)知，及時(shí)歸納、總結(jié)探究結(jié)果，親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程，把握數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立對數(shù)學(xué)模型的理解，把新建立的數(shù)學(xué)模型真正納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，并逐步建構(gòu)模型意識(shí)。

例如，圍繞核心問題“兩端都栽時(shí)，棵數(shù)和間隔數(shù)有什么關(guān)系？”，學(xué)生可以選擇自己喜歡的較小的總長和間隔長，自主探究，合作交流，展示自己設(shè)計(jì)的植樹方案。教師要及時(shí)列表，收集匯總學(xué)生的做法，如總長10米間隔長5米、總長20米間隔長5米、總長10米間隔長2米等情況，引導(dǎo)學(xué)生在總長相同間隔長不同、總長不同間隔長相同、總長間隔長都不相同等簡單情境中，探究棵數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“兩端都栽時(shí)棵數(shù)比間隔數(shù)多1”這一重要規(guī)律。然后，學(xué)生聚焦核心問題“為什么間隔數(shù)要加1？”，借助寫一寫、擺一擺、畫一畫等，演示樹與間隔的一一對應(yīng)，明確多的“1”在哪里，建立“兩端都栽”的植樹問題模型，即“間隔數(shù)=總長÷間隔長，棵數(shù)=間隔數(shù)+1”。面對生活中的實(shí)際問題，學(xué)生能夠通過觀察、分析、猜想、選擇、驗(yàn)證、歸納、抽象等數(shù)學(xué)活動(dòng)，采用自主探究、合作交流等形式，研究“兩端都栽”的植樹問題，剝離其他非數(shù)學(xué)的信息，抽象出數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)及特征，即棵樹和間隔數(shù)的關(guān)系，將實(shí)際問題初步抽象成數(shù)學(xué)模型，這也是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的前提。在此過程中，學(xué)生還能用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，探求解決問題的方案，建構(gòu)模型意識(shí)。

（三）剖析核心問題，完善模型意識(shí)

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系，當(dāng)建構(gòu)完新的數(shù)學(xué)模型后，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系已建模型，找出內(nèi)在邏輯關(guān)系。這既有利于學(xué)生深入理解新模型，也有利于學(xué)生進(jìn)一步完善自身原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。舉一反三能力的培養(yǎng)與問題教學(xué)之間存在天然聯(lián)系。在教學(xué)中，教師可以利用一個(gè)問題引出其他問題，讓學(xué)生借助一個(gè)問題解答同類型的問題。數(shù)學(xué)核心問題應(yīng)是有利于學(xué)生摸索與揭示事物本質(zhì)的問題，既要符合問題的特點(diǎn)，又要滿足教學(xué)的需要。學(xué)生要運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中的問題與數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，解釋表達(dá)的合理性，并結(jié)合自主探究的結(jié)果及出現(xiàn)的問題拓寬探究方向，進(jìn)而完善模型意識(shí)[3]。

例如，在已經(jīng)建立“兩端都栽”模型的基礎(chǔ)上，教師可以聚焦“只栽一端和兩端都不栽，間隔數(shù)與棵數(shù)之間有什么關(guān)系？”這一核心問題，讓學(xué)生以四人小組為單位，借助線段圖，用一一對應(yīng)的方法說明理由，完善植樹問題的三種基本模型。然后，教師可以讓學(xué)生對比分析核心問題：“觀察這三種情況，它們之間有什么區(qū)別和聯(lián)系？”針對植樹問題兩端都栽、只栽一端、兩端都不栽的三種情況，學(xué)生會(huì)把樹與間隔一一對應(yīng)，發(fā)現(xiàn)棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系，抽象出植樹問題實(shí)際上是研究線段中的點(diǎn)和線的關(guān)系，經(jīng)歷完整的植樹問題模型建構(gòu)過程。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生會(huì)體會(huì)到“發(fā)現(xiàn)—分析—?dú)w納—總結(jié)”的本質(zhì)就是一個(gè)小型的科研過程，能夠發(fā)展數(shù)學(xué)思維、完善模型意識(shí)。

（四）把握核心問題，應(yīng)用模型意識(shí)

深度學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)就是要對學(xué)習(xí)內(nèi)容達(dá)成深度理解和切身體驗(yàn)，要抓住學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)屬性，把握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。學(xué)生的認(rèn)識(shí)是在“實(shí)踐—認(rèn)識(shí)—再實(shí)踐—再認(rèn)識(shí)”的過程中不斷發(fā)展的。學(xué)生經(jīng)歷充分的探究活動(dòng)建立起來的數(shù)學(xué)模型，并非只是針對個(gè)別數(shù)學(xué)現(xiàn)象或數(shù)學(xué)特征，而是對現(xiàn)實(shí)生活現(xiàn)象的本質(zhì)屬性和特征進(jìn)行抽象概括而形成的典型特征，具有一般性。應(yīng)用是模型的重要價(jià)值，模型的存在使問題的解決存在捷徑。應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，絕不能單純將模型看作數(shù)學(xué)公式進(jìn)行機(jī)械的記憶、復(fù)述與運(yùn)用，而要將模型作為訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的手段，為進(jìn)一步鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維服務(wù)。

教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)不同的問題情境，為學(xué)生呈現(xiàn)豐富的表象積累，組成問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問題的過程中，將已經(jīng)生成的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行拓展，衍生出新的數(shù)學(xué)模型，回到現(xiàn)實(shí)生活情境中去體驗(yàn)和檢驗(yàn)，進(jìn)一步理解并掌握數(shù)學(xué)模型。教師要引導(dǎo)學(xué)生從不同角度觀察發(fā)現(xiàn)模型的共同特征，體會(huì)模型的普遍性和應(yīng)用價(jià)值，了解數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑，可以用來解決一類問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)建模的能力和應(yīng)用模型意識(shí)。

例如，教師可以利用“植樹問題，我們真的只是研究如何種樹嗎？生活中有類似這樣的規(guī)律嗎？”這一核心問題，讓學(xué)生結(jié)合實(shí)際情境，靈活判斷生活中的“植樹問題”——“樹”在哪里、“間隔”在哪里，從數(shù)學(xué)上的三種植樹問題拓展到環(huán)形植樹問題。教師可以拓展延伸到歷史上著名的“二十棵樹”問題——“20棵樹，如果每行種4棵，怎樣種植，才能使種的行數(shù)更多？”，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光厘清不同類型植樹問題的關(guān)系，用數(shù)學(xué)的思維形成一定的解決方法，幫助學(xué)生從各個(gè)方面認(rèn)識(shí)植樹問題，會(huì)用植樹問題的模型解決生活實(shí)際問題，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

三、期許：基于核心問題培養(yǎng)模型意識(shí)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的意義就在于我們應(yīng)通過數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維，使他們想得更清晰、更深入、更全面、更合理。模型意識(shí)是重要的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，模型意識(shí)的培養(yǎng)是社會(huì)對人才培養(yǎng)的客觀需求，也是學(xué)生全面發(fā)展的必要條件。但是，模型意識(shí)的培養(yǎng)是復(fù)雜性與綜合性并存的過程，并非一蹴而就。模型意識(shí)的形成無法可視化，因此離不開教師的指導(dǎo)，這就對教師的教學(xué)水平和學(xué)生的數(shù)學(xué)能力提出了較高要求。

在平常的教學(xué)中，教師不能忽略對學(xué)生數(shù)學(xué)模型意識(shí)的培養(yǎng)，教師應(yīng)提高自身的建模教學(xué)意識(shí)，善于在平時(shí)的數(shù)學(xué)課堂上發(fā)現(xiàn)、摸索和實(shí)踐，完善課堂教學(xué)策略，在各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中反復(fù)滲透核心問題，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)，真正讓數(shù)學(xué)思維服務(wù)于學(xué)生。教師應(yīng)基于學(xué)生學(xué)情，依托核心問題，促使學(xué)生思考和學(xué)習(xí)，密切聯(lián)系學(xué)生實(shí)際生活。教師還要利用核心問題整合教學(xué)內(nèi)容，以學(xué)生為主體，在課堂上給予學(xué)生充分的探究時(shí)間和空間，借助多元化的自主探究活動(dòng)，豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)開展觀察、操作、推理等活動(dòng)，經(jīng)歷感知、感悟、建構(gòu)、完善和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的過程，把握數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)。

四、結(jié)束語

教師基于核心問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型意識(shí)，有利于學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，使學(xué)生對數(shù)學(xué)規(guī)律產(chǎn)生更深層次的認(rèn)識(shí)，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣和價(jià)值，真正實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展。

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作者簡介：黃露嵐（1990.6-），男，福建廈門人，

任教于福建省廈門市同安區(qū)第三實(shí)驗(yàn)小學(xué)，一級(jí)教師，本科學(xué)歷。