吳慧婷

[摘 要]模型思想是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）新增的核心概念之一。模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型應(yīng)先從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，再用數(shù)學(xué)符號表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，最后求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。數(shù)學(xué)教學(xué)中，可通過“基于經(jīng)驗，生成模型；把準(zhǔn)目標(biāo)，關(guān)注模型；突出本質(zhì)，聚焦模型；優(yōu)化材料，支撐模型；借助直觀，提煉模型”的步驟，提高學(xué)生運(yùn)用模型思想的能力。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)教學(xué) 模型思想 數(shù)學(xué)建模 植樹問題

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）26-021

課堂重現(xiàn)：

學(xué)校開展教研活動，一名有10年教齡的數(shù)學(xué)教師執(zhí)教五年級上冊“數(shù)學(xué)廣角”中“植樹問題”一課，教學(xué)過程如下。

板塊一：創(chuàng)設(shè)情境，發(fā)現(xiàn)問題

1.出示題目。

師：城市綠化小隊要在一段長24米的公路的一邊等距離進(jìn)行綠化植樹，請你幫助設(shè)計一份植樹方案，要求植樹美觀合理。

2.分析題意。

（1）你得到了哪些信息？“等距離”是什么意思？要設(shè)計這樣一份植樹方案，還有什么問題？

（2）你覺得間距可以是多少米？你是怎么想的？

3.學(xué)生第一次獨(dú)立學(xué)習(xí)。

師：選間距6米來設(shè)計植樹方案。

板塊二：合作探究，得出規(guī)律

1.研究種4棵樹。

師：你是怎么種樹的？先圈一圈，再說說24、6、4分別表示什么。

2.研究種5棵樹：為什么要加1？

3.研究種3棵樹：為什么要減1？

4.比較觀察。

（1）這三種設(shè)計方案，有什么相同點(diǎn)？

（2）既然間隔數(shù)一樣，為什么最后用到的棵數(shù)不一樣呢？

5.學(xué)生第二次獨(dú)立學(xué)習(xí)。

師：先選間距8米來設(shè)計植樹方案，再根據(jù)圖，直接列算式說明需要多少棵樹苗。

6.小結(jié)。

師：這樣種樹簡單嗎？為什么？

7.用字母表示。

師：如果路的長度由24米變成n米，間距還是6米，這三種情況分別需要多少棵樹苗？（生思考）

板塊三：聯(lián)系生活，運(yùn)用規(guī)律

1.你們能舉一些生活中類似的例子嗎？

2.用這類知識來解決一些實際問題。

（1）5路公共汽車行駛路線全長為12千米，相鄰兩站之間的距離是1千米，一共有幾個站點(diǎn)？

（2）同學(xué)們排練團(tuán)體操，10名女同學(xué)等距離排成一隊，每兩位女同學(xué)之間相距8分米，第一位女同學(xué)和最后一位女同學(xué)之間相距多少？

……

問題探討：

聽了“植樹問題”一課，筆者最大的感受是教師關(guān)注“雙基”目標(biāo)的落實，但由于教師將教學(xué)重點(diǎn)放在得出公式上，導(dǎo)致在引導(dǎo)學(xué)生建立“植樹問題”的模型上沒有到位。

從學(xué)生層面來看，學(xué)生在被動學(xué)習(xí)。學(xué)生根據(jù)教師給的學(xué)習(xí)任務(wù)，先在24米的路上按6米一棵的間距種樹，再反饋三種種樹情況，然后以8米為間距種樹，最后通過觀察、分析得出三個公式：間隔數(shù)=棵數(shù)，間隔數(shù)+1=棵數(shù)，間隔數(shù)-1=棵數(shù)。在解決實際問題“第一位女同學(xué)和最后一位女同學(xué)之間相距多少”時，學(xué)生用10×8來解決。從這可以看出，學(xué)生頭腦中沒有建立“植樹問題”的模型，不會用模型思想解決實際問題。

從教師層面來看，有兩個方面的問題：一是學(xué)生通過畫圖、列式、比較等活動得出規(guī)律，教師誤認(rèn)為這是學(xué)生主動探究出來的。其實不然，一直是教師“叫”學(xué)生做，而學(xué)生則順著教師的思路按規(guī)定程序做。其二，學(xué)生得出三個公式，教師誤認(rèn)為學(xué)生建立了模型，其實是忽視了引導(dǎo)學(xué)生理解和溝通這三個公式，導(dǎo)致學(xué)生沒有真正建立植樹問題的模型。

“植樹問題”是“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容之一，教學(xué)重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索和建立模型的過程。因此，本節(jié)課教學(xué)應(yīng)重在引導(dǎo)學(xué)生建立“植樹問題”的數(shù)學(xué)模型，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，提高學(xué)生分析和解決該類問題的能力。

改進(jìn)思考：

模型思想的建立離不開數(shù)學(xué)建?；顒?，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》從義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的實際情況出發(fā)，將數(shù)學(xué)建?；顒舆^程簡化為三個環(huán)節(jié)：一從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題；二用數(shù)學(xué)符號表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；三通過模型去求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。那么，在“植樹問題”一課教學(xué)中，如何引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型呢？筆者對此作了一些思考。

1.基于經(jīng)驗，生成模型

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)尊重學(xué)生已有的知識與經(jīng)驗?！惫P者對四年級一個班級的學(xué)生進(jìn)行訪談：“你知道‘植樹問題嗎？怎么知道的？”全班48人，有39人知道“植樹問題”，而學(xué)生知道的方式有從書上看到的、課外奧數(shù)班學(xué)的、科學(xué)課上說過的、植樹節(jié)時問家長的等。筆者接著問道：“學(xué)了一節(jié)課，怎么還不會呢？”全班48人，5人認(rèn)為已經(jīng)會了，43人不會的原因如下。

生1：“植樹問題”的類型有很多，就算學(xué)會了幾種方法，也只是皮毛而已。

生2：有時候分不清楚是加、不加還是減。

生3：老師說的沒聽懂。

生4：不知道“路程除以間隔數(shù)”是什么。

生5：答案都不統(tǒng)一，有些是三個答案，所以就弄不清楚是哪個答案了。

生6：學(xué)習(xí)“植樹問題”后還沒好好練習(xí)。

……

通過訪談知道，我們的課上與不上都一樣，因為這樣的教學(xué)沒有建立在學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，師生糾結(jié)于間隔數(shù)與棵樹的關(guān)系。浙江省特級教師葉柱點(diǎn)評時指出：“教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，讓學(xué)生經(jīng)歷模糊感覺、充分感知、逐漸感悟的過程。”

本節(jié)課中，學(xué)生已有的經(jīng)驗比較豐富，教師教學(xué)時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從“植樹問題”走向用除法解決問題的理解上。學(xué)生在板塊一、板塊二的教學(xué)中充分感知到位，如對信息的分析、對間隔的理解、數(shù)與形的結(jié)合等，但教師在學(xué)生感悟的環(huán)節(jié)中提供的空間不夠。因此，教學(xué)此課時，教師不妨分步引導(dǎo)學(xué)生將植樹的三種情況進(jìn)行比較，找到共性，從而自然地將“植樹問題”歸結(jié)于用除法解決的問題，然后利用幾何直觀引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行梳理，使學(xué)生將所學(xué)知識前后融會貫通。模型思想的建立離不開數(shù)學(xué)建?；顒樱瑥默F(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)。

2.把準(zhǔn)目標(biāo)，關(guān)注模型

教學(xué)目標(biāo)既是上好一堂課的前提，又是教學(xué)活動的靈魂，并制約著教學(xué)活動的全過程。本節(jié)課教師預(yù)設(shè)的目標(biāo)如下：（1）利用生活情境，引導(dǎo)學(xué)生通過探究發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)與棵數(shù)之間的關(guān)系，并能運(yùn)用規(guī)律解決生活中簡單的“植樹問題”；（2）滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高學(xué)生解決實際問題的能力；（3）使學(xué)生感受數(shù)學(xué)在日常生活中的廣泛應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識。其中，教學(xué)目標(biāo)（1）是引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)與棵數(shù)之間的關(guān)系，這里教師就事論事，沒有將“植樹問題”與除法知識之間建立聯(lián)系；教學(xué)目標(biāo)（2）滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，教師認(rèn)識膚淺，因為模型思想才是本節(jié)課要滲透的重要數(shù)學(xué)思想方法。另外，教學(xué)目標(biāo)（1）中讓學(xué)生能運(yùn)用規(guī)律解決生活中簡單的“植樹問題”，可學(xué)生在解決問題時出現(xiàn)了較大的錯誤率，說明模型建構(gòu)有問題，導(dǎo)致模型價值無法得到體現(xiàn)。

湖州市小學(xué)數(shù)學(xué)教研員楊海榮老師在評課時談到教學(xué)目標(biāo)的定位，指出單元目標(biāo)、課時目標(biāo)要準(zhǔn)確，環(huán)節(jié)目標(biāo)要具體，具有可操作性，同時要舍去一些目標(biāo)，步步落實小目標(biāo)，對過程不斷進(jìn)行思辨。

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)圍繞“植樹問題”模型的建立，引導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再經(jīng)歷猜想、試驗、歸納、推理的過程，采用數(shù)形結(jié)合、一一對應(yīng)等方法理解模型的本質(zhì)，最后用模型解決現(xiàn)實生活中的同類問題。

3.突出本質(zhì)，聚焦模型

從平時的聽課中看“植樹問題”，課堂上雖一帆風(fēng)順，可課后學(xué)生的作業(yè)錯誤百出，導(dǎo)致學(xué)生、教師、家長都討厭看到“植樹問題”的有關(guān)練習(xí)。關(guān)于“植樹問題”，筆者對本校15位數(shù)學(xué)教師和5位實習(xí)教師做了訪談，有18位教師認(rèn)為將“植樹問題”的三種類型放在一起進(jìn)行教學(xué)，不僅名詞多、難理解，造成學(xué)生學(xué)習(xí)困難，而且他們認(rèn)為間隔數(shù)與棵樹的關(guān)系應(yīng)是教學(xué)的重點(diǎn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)困難也是不熟悉這三種類型。有2位骨干教師認(rèn)為：“教師應(yīng)讓學(xué)生靈活應(yīng)用‘植樹問題，結(jié)合情景對商靈活處理?！薄叭绾巫プ　矘鋯栴}的本質(zhì)？如何與之前所學(xué)的除法知識相聯(lián)系、溝通，真正理解總長度÷間距=間隔數(shù)，理解幾里面有幾個幾？這里的教學(xué)難點(diǎn)是建模的過程?！薄?/p>

從訪談中可以看出，教師的本體性知識缺失，對知識的理解不深刻。一是對建模的理解錯誤，誤認(rèn)為得出“植樹問題”的三種類型的規(guī)律就是建模。二是缺乏分析。學(xué)生、家長、教師都感覺“植樹問題”有難度，卻沒有分析“覺得難的原因是什么”“與‘植樹問題類同的‘路燈問題、‘排隊問題等現(xiàn)象的共性是什么”等問題。本課中，突出“植樹問題”模型的本質(zhì)，可以采用從算式——圖式——模式的策略。如在學(xué)生列式計算24÷6、24÷6+1、24÷6-1后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生解釋每個算式的意義，再與所畫的圖對照理解算式的意義，在此基礎(chǔ)上得出“植樹問題”模型的本質(zhì)。三種“植樹問題”的類型其實是根據(jù)實際情況對結(jié)果的不同處理而已，因此教師教學(xué)時應(yīng)突出除法是“植樹問題”的本質(zhì)。

4.優(yōu)化材料，支撐模型

教學(xué)時，教師總想讓學(xué)生學(xué)得很順暢，于是用心埋下伏筆。如本節(jié)課開始后，教師問“還有什么問題”，學(xué)生問“兩棵樹之間的距離是多少米”，教師很有心地指著圖問：“你指的是這一段嗎？這個隔在兩棵樹之間的這一段，我們把它叫做間隔。你能說說什么是間隔嗎？哪里有間隔？上面這幅圖中還有間隔嗎？”這里，學(xué)生需要知道什么是間隔嗎？此時出現(xiàn)間隔有必要嗎？教師的教學(xué)要為學(xué)生的學(xué)習(xí)服務(wù)，將學(xué)生的思維引向教師預(yù)設(shè)的軌道，學(xué)生會失去主動思維的機(jī)會，干擾了后續(xù)知識的學(xué)習(xí)。

又如，課堂教學(xué)中，基于學(xué)生的經(jīng)驗，交流反饋時教師應(yīng)從哪里入手進(jìn)行講解呢？筆者通過對學(xué)生的畫圖情況統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)，12位學(xué)生中有9位認(rèn)為兩端都種，只有3位學(xué)生認(rèn)為只種一端。課堂上教師先選擇只種一端的情況進(jìn)行講解，大多數(shù)學(xué)生沒有經(jīng)歷畫圖的過程，學(xué)習(xí)處于被動狀態(tài)。因此，交流反饋時，教師應(yīng)從學(xué)生的實際情況出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生將兩端都種、只種一端、兩端都不種這三種類型進(jìn)行比較，使學(xué)生更深刻地理解這三種類型的異同。

再如，教學(xué)中的觀察比較環(huán)節(jié)，教師通過問題“這樣種樹簡不簡單??？為什么呢”，引導(dǎo)學(xué)生得出：間隔數(shù)=棵數(shù)，間隔數(shù)+1=棵數(shù)，間隔數(shù)-1=棵數(shù)。此環(huán)節(jié)教師只引導(dǎo)學(xué)生得出這三個公式，卻沒有讓學(xué)生深究模型的本質(zhì)。因此，課堂教學(xué)中，在學(xué)生列出24÷6、24÷6+1、24÷6-1的算式后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生尋找其中不變的東西，再追問“這三種情況為什么答案不一樣”，從而使學(xué)生不斷經(jīng)歷觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等過程，建立豐富的表征，完成模式抽象，逐步建立“植樹問題”的模型。

5.借助直觀，提煉模型

借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單、形象，有助于探索解決問題的思路和預(yù)測結(jié)果，可以直觀地理解數(shù)學(xué)。模型思想與幾何直觀密切相關(guān)，利用幾何中的圖形，結(jié)合具體的實際問題，可以從模型的角度闡釋特定的意義。在本節(jié)課教學(xué)中，畫圖的作用尤為突出，如學(xué)生自己畫圖解決問題、利用圖交流各種方法、借助圖發(fā)現(xiàn)規(guī)律等，真正發(fā)揮圖的直觀性作用。在對教師的訪談中發(fā)現(xiàn)，20位教師都認(rèn)為畫圖可心幫助學(xué)生理解抽象的規(guī)律，便于學(xué)生建立模型。同時，在對48位學(xué)生進(jìn)行訪談中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生認(rèn)為畫圖方便、清晰、不易錯，平時學(xué)習(xí)也常通過畫圖解決問題。形象的線段圖可以幫助學(xué)生理解、思考，激活學(xué)生的思維，形成正確的表象，利于模型的建立。

總之，模型思想是一種基本的數(shù)學(xué)思想，教師應(yīng)在小學(xué)階段教學(xué)中予以落實，重在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷、感悟。學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，不僅能獲得知識，提高技能，更有經(jīng)驗的積累和思想、方法的滲透。因此，課堂教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握建模的方法，使他們逐步形成運(yùn)用模型進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣。

（責(zé)編 藍(lán) 天）