陳宏亮

摘 要：近年來(lái)最值問(wèn)題成為中考復(fù)習(xí)中的熱點(diǎn)、難點(diǎn)，2022年南通中考25題第三問(wèn)的直線型軌跡的最值問(wèn)題全面考查了學(xué)生的思維能力與計(jì)算能力，軌跡處理的多樣性決定了解決途徑的多樣化，不同的思考方式?jīng)Q定了不同的處理方式.筆者在教學(xué)時(shí)嘗試以大單元微專題的教學(xué)模式，訓(xùn)練學(xué)生以“圖形構(gòu)造”的方式進(jìn)行思考，進(jìn)而訓(xùn)練學(xué)生的高階邏輯思維能力，以切實(shí)發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，使學(xué)生真正掌握最值問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞：中考復(fù)習(xí)；大單元教學(xué)；直線型軌跡；最值問(wèn)題

中考幾何壓軸題以高思維力、高靈活度常使學(xué)生望而卻步，因此幾何壓軸題的講評(píng)過(guò)程是教學(xué)活動(dòng)中較為復(fù)雜的思維活動(dòng)的集中體現(xiàn)，對(duì)教師的課堂教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)要求較高.問(wèn)題中的輔助線添加更是擺在學(xué)生面前的一道坎.2022年南通中考以軌跡最值問(wèn)題作為壓軸問(wèn)題，該問(wèn)題的表述簡(jiǎn)潔，但是方法多樣、思維靈活，極具挑戰(zhàn)性.筆者在大單元中考復(fù)習(xí)中以“直線型最值問(wèn)題的圖形構(gòu)造”為主線進(jìn)行微專題教學(xué)，嘗試從代數(shù)、幾何兩方面闡釋最值問(wèn)題的常規(guī)解決途徑，使學(xué)生真正能從解決問(wèn)題的角度去思考最值問(wèn)題中圖形構(gòu)造的來(lái)路以及解題出路.

1 試題呈現(xiàn)

關(guān)于軌跡的確定還有其他解決方法，再過(guò)點(diǎn)D作軌跡的垂線段即可，本文全部利用三角函數(shù)計(jì)算垂線段長(zhǎng)度，還可以用相似，或建立直角坐標(biāo)系后利用點(diǎn)到直線距離公式等方法求解.

3 教學(xué)建議

壓軸題的解決方式具有極強(qiáng)的創(chuàng)造性與關(guān)聯(lián)性，問(wèn)題的分析既要有思維的發(fā)散也要有思維的發(fā)展.壓軸題講評(píng)時(shí)，筆者嘗試從條件入手歸納直線型軌跡解決的常用手段，如定角型直線軌跡、定距型直線軌跡、兩點(diǎn)型直線軌跡、瓜豆型直線軌跡、放縮型直線軌跡以及函數(shù)最值構(gòu)造等，在進(jìn)行微專題研究時(shí)，課堂教學(xué)時(shí)需要引導(dǎo)孩子從恰當(dāng)?shù)臈l件入手進(jìn)行恰當(dāng)?shù)膱D形構(gòu)造.

3.1 圖形含參代數(shù)構(gòu)造

原則上大部分幾何題都可代數(shù)化，而代數(shù)化后可能會(huì)需要進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算.所謂代數(shù)化是通常借助特殊條件把問(wèn)題中的角、線坐標(biāo)化，然后借助坐標(biāo)解決幾何問(wèn)題.教學(xué)難點(diǎn)在于點(diǎn)的坐標(biāo)化，教學(xué)中建議教師詳細(xì)體現(xiàn)計(jì)算過(guò)程，這樣的做法有助于學(xué)生觀察模仿.

3.2 圖形殘缺補(bǔ)全構(gòu)造

補(bǔ)全構(gòu)造需要在特殊的圖形背景下進(jìn)行整體構(gòu)造，如南通中考2021年18題，采用此法就較為簡(jiǎn)便.教學(xué)難度在于圖形的還原，教學(xué)中建議教師將部分圖形與完整原圖形對(duì)比演示，并引導(dǎo)學(xué)生思考部分圖形與原有圖形的思維方式、問(wèn)題解決方式之間的異同.

3.3 特殊條件聯(lián)想構(gòu)造

聯(lián)想構(gòu)造需要借助問(wèn)題中的特殊條件進(jìn)行構(gòu)造，如中點(diǎn)、角平分線、等腰三角形等等.教學(xué)難點(diǎn)在于相關(guān)圖形的構(gòu)造，這需要學(xué)生有一定的經(jīng)驗(yàn)積累，如中點(diǎn)的處理、角的處理等.此外還有一個(gè)難點(diǎn)，由于問(wèn)題條件多，以哪個(gè)條件為切入口進(jìn)行分析？這也需要學(xué)生進(jìn)行選擇.教學(xué)中，建議教師在典型題添加輔助線后及時(shí)歸納、總結(jié)輔助線的添加方式，同時(shí)還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)快速選擇條件作為思維的起點(diǎn).

3.4 模型適用基本構(gòu)造

有些特殊條件與一些幾何模型的條件重合，如旋轉(zhuǎn)全等或相似模型、一線三等角模型中的角度相等，線段比值，直線垂直等.教學(xué)難度在于模型適用性的發(fā)掘，教學(xué)中建議教師需要在一些與模型相關(guān)的問(wèn)題中，歸納總結(jié)出模型使用的特殊條件.

4 教學(xué)思考

在幾何教學(xué)過(guò)程中，教師不能僅僅只分析問(wèn)題、呈現(xiàn)解題過(guò)程，還要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘幾何條件，讓學(xué)生思考如何處理圖形.通常，單一的題型其理解方式也呈現(xiàn)出多樣化，要求學(xué)生以較廣的視野、較高的思維理解問(wèn)題，因此以大單元微專題的形式總結(jié)圖形構(gòu)造的來(lái)路，發(fā)掘解決問(wèn)題的出路，有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)，同時(shí)也能幫助學(xué)生站在思維的最高點(diǎn)，享受提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)后帶來(lái)的高階思維的優(yōu)越性.