張巧巧

摘? 要：“探究活動：從圓到球”一課從現(xiàn)象、定義、性質和關聯(lián)四個方面引導學生類比圓的幾何性質探究球的幾何性質，讓學生經(jīng)歷“生活現(xiàn)象中的球—球面的形成方式—球與平面的關聯(lián)—球與幾何體的關聯(lián)”的探究過程，體會科學研究的一般路徑，幫助學生更加充分地認識客觀世界中的球面與球體，更加深刻地理解球的定義與球的幾何性質，更加靈活地發(fā)現(xiàn)球與平面、球與幾何體的關聯(lián)．

關鍵詞：從圓到球；類比與轉化；單元整體教學

一、教學設計

1. 教學內容解析

課例“探究活動：從圓到球”是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修第二冊第八章中球的幾何性質的探究活動的成果展示課，安排在學生完成教材必修第二冊“立體幾何初步”和教材選擇性必修第一冊“直線與圓的方程”的學習，并基本形成初步的章節(jié)知識框架之后進行．

本次從圓到球的探究活動采用先整體設計后分步實施的方式進行. 借助具體情境引導學生從類比、模仿到自主創(chuàng)新，從局部實施到整體構想，使學生以小組為單位借助具體主題經(jīng)歷選題、開題、做題、結題的過程，并通過參與探究活動積累發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的經(jīng)驗，養(yǎng)成獨立思考與合作交流的習慣.

圓是貫穿小學、初中和高中三個學段的數(shù)學研究對象. 學生在小學階段初步直觀感知圖形圓，在初中階段進一步應用圓的幾何性質，在高中階段充分利用解析法對圓進行代數(shù)刻畫. 知識橫跨三個學段，實現(xiàn)了對數(shù)學對象從具體到抽象、從定性分析到定量分析的逐層遞進的認知過程. 球也是非常重要的數(shù)學對象. 事實上，圓是球在二維平面上的投影，球是圓在三維空間中的拓展. 在高中階段，計算球的表面積和體積、研究球與平面相截的問題、確定幾何體的內切球與外接球等都是非常重要的數(shù)學問題. 除此之外，球在學生將來要學習的微積分、空間解析幾何、微分幾何等課程中也占有一席之地．

此外，教材調整了立體幾何模塊與解析幾何模塊的編排順序，借助本次探究活動的具體情境可以實現(xiàn)以立體幾何為主線的單元內容整合. 喬治·波利亞曾經(jīng)說過，類比是一個偉大的引路人. 求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題. 而“立體幾何初步”的教學內容多次采用了類比與轉化的數(shù)學方法，如從線線關系到線面關系、從平行關系到垂直關系等. 因此，可以沿用本章教學的主要方法——類比與轉化，將知識難點遷移到平面幾何圖形——圓的類似問題中，抓住圓與球的內在關聯(lián)，由簡入繁，化繁為簡. 在復習圓的相關知識時，引導學生重新整合不同的知識和問題，并進行比較、歸納和總結，找出其內在聯(lián)系，洞悉數(shù)學的本質．

基于以上認識，確定本節(jié)課的教學重點為：球的截面問題，幾何體的外接球問題，類比與轉化思想．

2. 教學目標設置

本節(jié)課的教學目標設置如下.

（1）通過平面內形成圓周的方式，運用類比思想，探索空間中形成球面的方式，體會定義一個數(shù)學對象的基本思想.

（2）類比圓的相交弦問題中的特征三角形（由圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形），提煉出球的截面問題中的特征三角形（由球的半徑、截面圓半徑、球心到截面距離構成的直角三角形），提升直觀想象、數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng).

（3）借助GeoGebra軟件繪制球的截面立體圖，通過直觀感知、操作確認、推理論證等探究過程，領悟研究幾何問題的基本思路，提高運用圖形語言、符號語言和文字語言表達與交流的能力.

（4）通過對幾類特殊三棱錐的外接球的分析和探究，將空間問題轉化為平面問題，并通過探究活動的實踐與展示，體驗敢于探究、樂于探索和勇于創(chuàng)新的科學精神．

3. 學生學情分析

本次探究活動的參與對象為高三學生，具有扎實的基礎．經(jīng)歷了小學、初中、高中三個學段對圓和球的學習，學生已經(jīng)具備了一定的從定性分析到定量分析的能力，但是還不能系統(tǒng)地認識球與平面、球與其他幾何體關聯(lián)后形成的綜合性較強的動態(tài)切接問題，不能靈活地將空間問題與平面問題進行類比與轉化．

將處理圓的基本方法和基本思想類比遷移到球的相關問題之中，實現(xiàn)學生對處理球的切接綜合問題的融會貫通. 通過這一過程，使學生在具體的情境中體會從低維到高維、從簡單到復雜、從具體到抽象和從已知到未知的探究數(shù)學問題的方法. 這對提高學生學習數(shù)學的關鍵能力，提升學生的數(shù)學抽象和直觀想象素養(yǎng)起著十分重要的作用．

根據(jù)以上分析，確定本節(jié)課的教學難點為：體會研究問題的一般路徑，形成探索精神．

4. 教學策略分析

數(shù)學是思維的科學，數(shù)學學習不是簡單的“告訴”，而應該是學生個性化的“體驗”. 本次項目式探究活動設置七個環(huán)節(jié)（項目選定、制訂計劃、活動探究、作品制作、成果展示、活動評價、拓展延伸），采用問題引導、合作探究和研究性學習的方式，倡導自主探索、獨立思考、動手實踐、合作交流. 充分利用觀察、思考、探究等，強調幾何直觀，把空間觀念的建立和空間想象能力的培養(yǎng)放在突出的位置. 此外，教學中注重發(fā)展合情推理，降低證明要求，滲透類比與轉化的數(shù)學思想．

“探究活動：從圓到球”一課的教學基本流程為：課前探究，課中展示，課后延伸.

5. 教學過程設計

（1）項目選定.

基于上述對教學內容、教學目標、學生學情和教學策略的分析，將此次活動設定如下.

主題：從圓到球.

形式：項目式探究.

研究路徑：類比與歸納.

研究重點：以球為載體對立體幾何內容進行整合.

研究難點：體會研究問題的一般路徑，形成探索精神．

（2）制訂計劃.

本次探究活動利用課外時間及兩節(jié)數(shù)學課完成，詳情如表1所示.

（3）活動探究.

教師課前設置了詳細的探究活動方案，從情境、研究對象、研究對象與其他對象的關聯(lián)三個維度設置了七個參考選題. 學生采用小組合作的方式，結合選題確立七個研究性學習小組，即實例組、定義組、體積組、切面組、截面組、內切球組和外接球組. 將各小組的研究成果集結成冊（《撐一支長篙，向青草更青處漫溯》）.

（4）作品制作.

本次探究活動的主要成果為：一本以球的幾何性質為主要內容的研究報告冊、一個圓的相交弦定理的推廣、一種求解三棱錐的外接球問題的解題策略.

（5）成果展示.

① 課堂展示環(huán)節(jié)，實例組、定義組、截面組和外接球組分別以“知圓與球之用”“辨圓與球之義”“明球與面之理”“悟球與體之法”為主題展現(xiàn)了科學研究的一般規(guī)律，即觀察生活，抽象并定義研究對象，研究對象的性質，研究對象與其他對象的聯(lián)系.

② 借助GeoGebra軟件，學生分組展示探究成果，問題驅動全體學生主動參與知識建構、合作探究，同時保證學生學習的規(guī)范性，實現(xiàn)高效課堂．

③ 學生從課前探究和課上展示中感知研究幾何問題的基本思路，體會數(shù)學中的類比與轉化思想，將空間問題平面化，螺旋上升地學習核心數(shù)學知識，重點提升直觀想象、數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng)．

（6）活動評價.

根據(jù)各小組展示的研究成果，現(xiàn)場設置教師課堂觀察、教師口頭評價、開放式活動反饋評價、課內外作業(yè)等多種評價方式，并根據(jù)展示過程中暴露出的研究問題及時提問修正．

（7）拓展延伸.

① 將各小組的研究報告集結成冊，形成研究報告冊（《撐一支長篙，向青草更青處漫溯》）．

② 幫助學生對接清華大學、浙江大學、東南大學、南京大學、華中科技大學、華中師范大學的教授，通過郵件交流的方式為學生答疑解惑．

③ 幫助學生聯(lián)系武漢大學教授，通過視頻采訪的方式解決困惑．

二、成果展示

七個研究小組的研究內容都非常豐富. 在成果展示環(huán)節(jié)，僅讓實例組、定義組、截面組和外接球組參與現(xiàn)場展示，目的是將四個小組的展示內容作為一個整體，突出展現(xiàn)科學研究的一般規(guī)律，即觀察生活，抽象并定義研究對象、研究對象的性質及研究對象與其他對象的聯(lián)系. 以下為展示小組的活動梗概.

主題1：知圓與球之用.

教師導入：教師與學生現(xiàn)場互動，討論在哪些生活情境中會遇到圓形或球形的物體，并介紹實例組的主題、人員構成、主講人和關鍵詞．

實例組研究內容簡介：實例組細心觀察生活，從生活中的各個領域尋找圓與球的身影，并列舉出具體實例．

教師簡評：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日月之繁，無處不用數(shù)學.（華羅庚）

【設計意圖】讓學生在開放的現(xiàn)實情境中自主探索、親身體驗、積極思考. 配合教師給出的實例，引導學生細心觀察生活，關注科技，關心時事，從而提升學生的民族自豪感和愛國情懷．

主題2：辨圓與球之義.

教師導入：教師引導學生對問題“小學階段用實驗的方法度量了圓的周長，進一步通過分割圓借助圓的周長求出了圓的面積. 在高中階段我們用什么方法計算球的體積呢？”進行思考，通過互動對球的簡單幾何性質進行回顧，進一步探究球的形成方式，并介紹定義組的主題、人員構成、主講人和關鍵詞．

定義組研究內容簡介：定義組通過四種幾何角度，仿照平面內圓周的多種形成方式和圓周的方程，類比得到空間中球面的形成方式（如表2）和球面的方程.

推廣探索：為了激發(fā)學生的探究熱情，在定義組介紹了球面的四種形成方式之后，教師補充了球面的標準方程和參數(shù)方程. 球心在[x0，y0，z0]，半徑是R的球面的標準方程為[x-x02+y-y02+z-z02=R2]，參數(shù)方程為[x=x0+Rsinφcosθ，y=y0+Rsinφsinθ，z=z0+Rcosφ][0≤φ≤π，0≤θ≤2π]. 同時，教師借助GeoGebra軟件進行動態(tài)展示．

教師簡評：當數(shù)學家導出方程式和公式，如同看到雕像、美麗的風景，聽到優(yōu)美的曲調等一樣而得到充分的快樂.（柯普寧）

【設計意圖】通過設置研究問題，引導學生在研究性學習中運用類比的思想從圓周的形成方式類比球面的形成方式，初步形成利用平面問題解決空間問題的意識. 在掌握概念的同時，讓學生領會化歸、類比、聯(lián)想等數(shù)學思想方法的運用. 在此環(huán)節(jié)中，設計了球面標準方程和參數(shù)方程的科學論證，原因有二：其一是由于球面方程的推導涉及三元方程的相關知識，雖然不屬于高中數(shù)學教學的內容，但學生理解其含義并沒有困難；其二是為學生埋下自主探究的種子，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W研究態(tài)度，樹立其自主學習的意識．

主題3：明球與面之理.

教師導入：教師引導學生思考球與平面的位置關系，通過現(xiàn)場交流、互動，明確了研究球與平面的內容和重點，并介紹截面組的主題、人員構成、主講人和關鍵詞．

截面組研究內容簡介：截面組的研究成果主要有兩個. 其一，在圓與直線的相交問題中，抽象出一個特征三角形（以外接圓半徑[r]，弦心距[d]，半弦長[l2]構成的直角三角形）. 類比這個特征三角形，在球的截面問題中同樣抽象出一個由球的半徑、截面圓半徑、球心到截面圓的距離構成的特征三角形，并用GeoGebra軟件動態(tài)演示了截面面積取最值的位置. 其二，類比圓的相交弦定理推廣得到球的相交弦定理，并對其進行了證明. 除此之外，結合GeoGebra軟件進行了數(shù)據(jù)檢驗．

類比維度1：球的一個截面，如表3所示.

類比維度2：球的兩個截面.

類比圓的相交弦定理，截面組得到了球的相交弦定理：過球內任意一點[P]，任意作[nn≥2，n∈N]條與球相交的直線，分別與球交于[An，Bn]兩點，則[PAi ? PBi=PAj ? PBj]，其中[i，j≥2，i，j∈N，i≠j].

下面以[n=3]為例，進行定理的證明.

證明：如圖1，作直線[l]與球[O]交于[A]，[B]兩點，任取線段[AB]上一點[P]，過點[P]任意作兩條直線[m，n]，其中直線[m]與球交于[C]，[D]兩點（如圖2），直線[n]與球交于[E]，[F]兩點（如圖3）.

教師簡評：數(shù)學家通常是先通過直覺來發(fā)現(xiàn)一個定理，這個結果對于他首先是似然的，然后他再著手去制造一個證明．（哈代）

反饋評價：通過現(xiàn)場提問環(huán)節(jié)了解展示成效.

問題：過球O內一個定點E作球的截面，且球O的半徑為3，OE = 2. 在所有截面中，截面面積的最小值是多少？

思考：該問題可以與圓中的一個怎樣的問題進行類比？怎么解決？

【設計意圖】通過設置現(xiàn)場提問環(huán)節(jié)，突出引導學生用“平面化”的思想來研究球的截面面積的大小的方法．通過課前小組討論，截面組學生從質疑、操作探究到解惑，最終領悟出截面面積的最大值與截面面積的最小值的位置，并將其用軟件進行演示. 這樣既激發(fā)了學生的學習興趣，又培養(yǎng)了學生的動手能力和創(chuàng)造性思維. 學生將圓的相交弦定理類比推廣為球的相交弦定理，并應用GeoGebra軟件驗證猜想，提升了抽象概括能力. 整個學習過程，學生獨立完成，經(jīng)歷了從直觀感知、操作確認到抽象概括的全過程，發(fā)展了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學抽象素養(yǎng).

主題4：悟球與體之法.

教師導入：教師引導學生思考球與幾何體的位置關系，通過現(xiàn)場交流、互動明確球與幾何體的研究內容和研究重點，并介紹外接球組的主題、人員構成、主講人和關鍵詞．

外接球組研究內容簡介：外接球組以問題的形式串聯(lián)了整個研究思路，在展示環(huán)節(jié)提出了以下問題.

問題1：任意三角形都有外接圓嗎？唯一嗎？

問題2：任意三棱錐都有外接球嗎？唯一嗎？

問題3：如何找到三棱錐外接球的球心？如何計算外接球的半徑？

問題4：研究哪些三棱錐外接球的問題呢？

問題5：直角三棱錐（墻角模型）的外接球的確定方法是什么？

問題6：正三棱錐的外接球的確定方法是什么？

問題7：一般三棱錐的外接球的確定方法是什么？

針對問題1和問題2，他們分別采用尺規(guī)作圖和GeoGebra軟件畫圖演示的方式，先直觀說明問題，再進行推理論證．

學生類比直角三角形、等腰三角形和一般三角形的外接圓的確定方法，得到直角三棱錐、正三棱錐和一般三棱錐的外接球的確定方法，從找球心、算半徑兩個層面進行了方法概述，如表4所示.

學生現(xiàn)場質疑和證明.

質疑1：用尺規(guī)作圖證明三棱錐的外接球具有唯一性時，確定球心的方法不夠簡潔，是否可以調整成一條面垂線與一個中垂面的交點？（通過教師引導和學生討論回答.）

質疑2：過三棱錐兩個側面的外心作的兩條垂線不能直接確定必然相交，是否需要證明？（全班討論并證明.）

教師簡評：在數(shù)學的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們如何知道什么.（畢達哥拉斯）

【設計意圖】外接球組嘗試運用類比的方法，采用從一般到特殊的方式，展示直角三棱錐、正三棱錐、一般三棱錐外接球的確定方法的研究過程，定性分析球心位置、定量計算外接球的半徑，探究解決問題的策略與途徑，進一步體會空間問題與平面問題的相互轉化．

三、小結與延伸

1. 課堂小結

在課堂小結環(huán)節(jié)，教師提醒學生結合下列問題對本節(jié)課進行總結：本節(jié)課我們從哪幾個方面研究了球的幾何性質？在研究過程中用到了哪些數(shù)學思想和方法？以上四個研究小組作為一個整體，展示的邏輯主線是什么？對你有何啟示？

【設計意圖】通過小結，使學生結合展示的具體內容對本次探究活動形成全局把握. 將四個小組的展示內容作為一個整體，突出展現(xiàn)科學研究的一般規(guī)律，即觀察生活，抽象并定義研究對象、研究對象的性質及研究對象與其他對象的聯(lián)系. 為學生在后續(xù)自主探究時確立研究思路奠定基礎.

2. 學生小結

學生結合探究活動的過程分享探究的心路歷程．

實例組：研究開始覺得內容非常簡單，但是在全面調查之后發(fā)現(xiàn)生活中很多現(xiàn)象都與數(shù)學有關，而且有很多現(xiàn)象暫時無法解釋，需要不斷進行知識的積累才能得到答案，感悟數(shù)學源于生活又指導生活.

定義組：感覺探究背后的數(shù)學思想值得深思，因為在研究的過程中發(fā)現(xiàn)圓是球在二維平面上的投影，球是圓在三維空間中的拓展. 而學習中的很多知識都要用到這種類比與轉化的思想，層層推進，化繁為簡.

3. 課后延伸

針對“球面不可展前提下地圖的繪制原理”，展示實例組通過視頻會議采訪武漢大學資源環(huán)境學院教授得到的信息.

針對球體的性質，展示定義組通過郵件交流的方式采訪清華大學、浙江大學、東南大學、南京大學、華中科技大學、華中師范大學的教授們得到的信息.

【設計意圖】通過兩個小組獲取信息和知識的途徑，為學生的學習提供一個窗口，讓學生能夠在學習的道路上保持探究的熱情，懷揣探究的勇氣和創(chuàng)新的精神，不斷拓寬認知的邊界．

四、教學反思

設計本次探究活動的初心是希望通過活動讓學生直面問題，探索解決之道，在探究的過程中培養(yǎng)學生從無到有、從零到一的能力，為學生成為有創(chuàng)新能力的拔尖人才提供必要的訓練和儲備. 但是在活動開展的過程中還是遇到了一些問題.

1. 探究活動內容豐富，難以面面俱到

本次探究活動雖然是以“球的幾何性質”為研究主體，但是整個研究涉及“定義概念—推導性質—建立聯(lián)系—實踐應用”四個層面，知識容量大，研究主線豐富，理論背景較強，對學生的要求較高. 因此，學生在短時間內難以將一個主題研究透徹，而在展示環(huán)節(jié)也較難讓每一名學生都掌握所有內容. 但是可以將小組的研究報告集結成冊，便于存在疑惑的學生進行后續(xù)學習，或者學有余力的學生繼續(xù)完善．

2. 活動戰(zhàn)線長，知識掌握效果有差異

球的截面、幾何體的內切球、幾何體的外接球等問題是高考考查的重點和難點. 本次探究活動的內容還涉及高考不考查的數(shù)學知識（如球面的標準方程、參數(shù)方程，以及球的體積公式的積分算法等），考慮到學生基礎扎實，能力和求知欲強，可以通過延伸和拓展讓學生進一步了解高等數(shù)學中的相關知識，為進一步研究球等幾何體奠定基礎．

3. 過于重視探究結果，未翔實記錄各環(huán)節(jié)的得與失

在探究過程中，沒能引導學生更全面地記錄探究的歷程，對探究過程中各小組、各成員的表現(xiàn)關注不足. 應該增加多維過程性評價，促進所有學生主動思考，及時保護學生的好奇心，激發(fā)學生的想象力.

本次探究活動最終以球的幾何性質為落腳點. 與傳統(tǒng)課堂中通過大量習題訓練獲得幾何體的外接球不同，本次探究活動幾乎沒有設置訓練習題，希望學生通過數(shù)學探究跳出解題的限制，提升用數(shù)學知識解決問題的能力. 同時，通過探究活動，強化數(shù)學學科的實踐經(jīng)驗，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).

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