劉春艷

摘? 要：“超幾何分布”一課中，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比有放回抽樣和不放回抽樣，經(jīng)歷抽象試驗(yàn)特征與推導(dǎo)分布列及其期望的過(guò)程，辨析二項(xiàng)分布和超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別，幫助學(xué)生積累建立概率模型的經(jīng)驗(yàn). 本節(jié)課內(nèi)容結(jié)構(gòu)主線突出，注重核心素養(yǎng)落地；創(chuàng)設(shè)情境啟發(fā)思考，體現(xiàn)學(xué)生主體地位；突破傳統(tǒng)教學(xué)手段，實(shí)現(xiàn)技術(shù)與內(nèi)容的融合.

關(guān)鍵詞：超幾何分布；二項(xiàng)分布；概率模型

“超幾何分布”是人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》選擇性必修第三冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第七章第4節(jié)“二項(xiàng)分布與超幾何分布”第2課時(shí)的內(nèi)容. 屬于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）提出的高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容四條主線中“概率與統(tǒng)計(jì)”領(lǐng)域的內(nèi)容. 概率課程承擔(dān)的主要育人任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生分析隨機(jī)現(xiàn)象的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng). 《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)此內(nèi)容的要求是通過(guò)具體實(shí)例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.“超幾何分布”是“第十一屆高中青年數(shù)學(xué)教師課例展示活動(dòng)”的指定課題之一，學(xué)術(shù)委員會(huì)給出的關(guān)于本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容與要求和《標(biāo)準(zhǔn)》是一致的. 教學(xué)提示為：整體而言，應(yīng)通過(guò)典型案例開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)，案例的情境應(yīng)是豐富的、有趣的、學(xué)生熟悉的；要重視過(guò)程，層次清楚，從具體到抽象，從實(shí)際到理論. 具體地，要通過(guò)不放回摸球試驗(yàn)或隨機(jī)抽樣問(wèn)題，利用建立二項(xiàng)分布模型積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷抽象試驗(yàn)特征、推導(dǎo)分布列、直觀猜想并計(jì)算驗(yàn)證超幾何分布隨機(jī)變量均值的過(guò)程；要引導(dǎo)學(xué)生辨析二項(xiàng)分布與超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別，幫助學(xué)生積累建立概率模型的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)概率決策的作用. 教材的內(nèi)容安排則希望通過(guò)研究二項(xiàng)分布和超幾何分布，促使學(xué)生進(jìn)一步理解離散型隨機(jī)變量在描述隨機(jī)現(xiàn)象中的作用，同時(shí)對(duì)隨機(jī)思想在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用產(chǎn)生更深入的理解．

一、主要亮點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)以對(duì)一個(gè)離散型隨機(jī)變量分布列的研究路徑為脈絡(luò)展開(kāi)，主要有以下三方面亮點(diǎn).

1. 內(nèi)容結(jié)構(gòu)主線突出，注重核心素養(yǎng)落地

“超幾何分布”一課的教學(xué)從學(xué)生熟悉的購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)引入，引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中初步感受有放回抽獎(jiǎng)和不放回抽獎(jiǎng)的聯(lián)系與區(qū)別，進(jìn)而引出本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容. 執(zhí)教教師提出的問(wèn)題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的必然性，也給出了本節(jié)課的研究方法，即通過(guò)類比二項(xiàng)分布來(lái)研究超幾何分布.

本節(jié)課的具體研究過(guò)程主要由四個(gè)部分組成：明確本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容；定義超幾何分布；推導(dǎo)超幾何分布的期望和方差，并進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用；總結(jié)二項(xiàng)分布和超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別. 執(zhí)教教師對(duì)每個(gè)部分的研究都提出了明確且具體的問(wèn)題，以引導(dǎo)學(xué)生探究的具體方向，設(shè)計(jì)意圖明確.

本節(jié)課教學(xué)主線突出，執(zhí)教教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)合適的情境，設(shè)計(jì)嚴(yán)謹(jǐn)有序的教學(xué)活動(dòng)，凸顯了數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯和數(shù)學(xué)方法，讓學(xué)生在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中，落實(shí)“四基”、提高“四能”. 學(xué)生通過(guò)分析具體情境中隨機(jī)試驗(yàn)的特征，從特殊到一般、從具體到抽象，抽象出隨機(jī)試驗(yàn)的特征，并用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)，建立概率模型. 對(duì)于超幾何分布的期望公式的推導(dǎo)，學(xué)生經(jīng)歷了由直觀感知到邏輯推理的過(guò)程. 通過(guò)系列活動(dòng)，學(xué)生在探究超幾何分布及應(yīng)用超幾何分布解決簡(jiǎn)單問(wèn)題的過(guò)程中，發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理素養(yǎng)．

2. 創(chuàng)設(shè)情境啟發(fā)思考，體現(xiàn)學(xué)生主體地位

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，在教學(xué)實(shí)踐中，要不斷探索和創(chuàng)新教學(xué)方式，不僅重視如何教，更要重視如何學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣；要努力激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，促使更多學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)．

在本節(jié)課的教學(xué)中，執(zhí)教教師作為教學(xué)的設(shè)計(jì)者、組織者和引導(dǎo)者，通過(guò)創(chuàng)設(shè)合適的情境，提出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生思考與交流，充分體現(xiàn)了學(xué)生在課堂教學(xué)中的主體地位，具體體現(xiàn)在三個(gè)方面：一是提出具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生積極思考；二是為學(xué)生的獨(dú)立思考提供了比較充足的時(shí)間和空間；三是組織討論，通過(guò)適當(dāng)追問(wèn)，啟發(fā)學(xué)生深入思考，保障學(xué)生的課堂討論方向明確、節(jié)奏適當(dāng)、重點(diǎn)突出.

例如，在探究超幾何分布的定義時(shí)，執(zhí)教教師提問(wèn)：?jiǎn)栴}1中不放回抽獎(jiǎng)方式不服從二項(xiàng)分布，你能說(shuō)說(shuō)這類不放回抽樣的特征嗎？你能根據(jù)這些特征嘗試歸納這一類分布的概念嗎？學(xué)生獨(dú)立回答這些問(wèn)題是有難度的，尤其是對(duì)于公式中各參數(shù)取值范圍的確定. 對(duì)此，教師要求學(xué)生先獨(dú)立完成，再全班交流. 交流的重點(diǎn)就是問(wèn)題解決的難點(diǎn)，難點(diǎn)的突破是通過(guò)展示學(xué)生作品，激發(fā)學(xué)生深度思考. 特別地，對(duì)于參數(shù)[k]的取值范圍，學(xué)生之間相互質(zhì)疑、相互啟發(fā)，利用已有實(shí)例，從特殊到一般，逐步完善．

在課堂教學(xué)中，在執(zhí)教教師的積極引領(lǐng)下，學(xué)生主動(dòng)思考、深度參與，實(shí)現(xiàn)了思考有方向、表達(dá)有依據(jù)、質(zhì)疑有觀點(diǎn)、參與有熱情. 例如，在對(duì)購(gòu)物抽獎(jiǎng)問(wèn)題的探究中，對(duì)于問(wèn)題“現(xiàn)有兩種抽獎(jiǎng)方式可供選擇——有放回抽獎(jiǎng)和不放回抽獎(jiǎng)，試?yán)盟鶎W(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，作出合理的決策方案”，學(xué)生從不同角度積極作答.

生1：對(duì)于兩種抽獎(jiǎng)方案要比較期望和方差，期望大、方差小的方案好. 有放回抽獎(jiǎng)，兩次中獎(jiǎng)概率都是0.3，兩次抽獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的，滿足二項(xiàng)分布.

生2：由于不放回抽獎(jiǎng)時(shí)各次抽取結(jié)果并不獨(dú)立，故只能用古典概型的方法求相關(guān)數(shù)據(jù)．

生3：我同意前面兩名學(xué)生的結(jié)論，但是計(jì)算方式可以調(diào)整一下. 因?yàn)椴环呕爻槿n]次的概率和一次抽取[n]個(gè)的概率是相同的，所以……

本節(jié)課課堂教學(xué)氛圍輕松，學(xué)生積極參與討論，執(zhí)教教師在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)給予學(xué)生較多的鼓勵(lì)和引導(dǎo)，學(xué)生表達(dá)思路清晰、論述有理有據(jù)，表現(xiàn)出了思維的靈活性. 通過(guò)課堂討論交流，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生敢于質(zhì)疑、嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)的理性精神．

3. 突破傳統(tǒng)教學(xué)手段，實(shí)現(xiàn)技術(shù)與內(nèi)容的融合

當(dāng)數(shù)據(jù)較大時(shí)，二項(xiàng)分布和超幾何分布有關(guān)的概率計(jì)算，以及概率分布圖的繪制都需要借助信息技術(shù)來(lái)完成. 因此，加強(qiáng)與信息技術(shù)的融合是由本節(jié)課教學(xué)的內(nèi)在需求決定的. 本節(jié)課中，執(zhí)教教師將信息技術(shù)融入教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程是水到渠成的. 例如，用Excel軟件計(jì)算分布列；利用超幾何分布求解例2的第（2）小題. 雖然學(xué)生知道具體的計(jì)算方法，但是計(jì)算量太大，無(wú)法完成，而利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行大規(guī)模的計(jì)算，省時(shí)省力，繪制的統(tǒng)計(jì)圖表也更加準(zhǔn)確、美觀.

在教學(xué)中合理使用信息技術(shù)，可以把學(xué)生從機(jī)械、煩瑣的數(shù)據(jù)處理中解放出來(lái)，使學(xué)生能夠?qū)⒏嗟木性趯?duì)教學(xué)內(nèi)容和方法的理解上，有利于學(xué)生整體把握數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系. 因此，本節(jié)課對(duì)信息技術(shù)的使用體現(xiàn)了信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，實(shí)現(xiàn)了傳統(tǒng)教學(xué)手段難以企及的效果，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的理解．

二、教學(xué)建議

本節(jié)課中，執(zhí)教教師提出的問(wèn)題具有開(kāi)放性，學(xué)生的回答與討論也比較發(fā)散. 例如，在課堂小結(jié)中，學(xué)生回答“超幾何分布和二項(xiàng)分布都是伯努利試驗(yàn)，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種……”. 很明顯，學(xué)生的表述是存在問(wèn)題的. 對(duì)此，為了明確出現(xiàn)問(wèn)題的原因，是學(xué)生的口誤，還是學(xué)生對(duì)伯努利試驗(yàn)與[n]重伯努利試驗(yàn)的理解存在問(wèn)題，又或者是學(xué)生對(duì)有放回抽樣與不放回抽樣試驗(yàn)特征的理解存在問(wèn)題？執(zhí)教教師應(yīng)該及時(shí)通過(guò)追問(wèn)幫助學(xué)生進(jìn)一步厘清相關(guān)問(wèn)題. 在伯努利試驗(yàn)中，只包含兩種可能的結(jié)果，關(guān)注的是事件[A]是否發(fā)生. 無(wú)論是有放回抽樣還是不放回抽樣，每次抽取一個(gè)個(gè)體都是一個(gè)伯努利試驗(yàn). 二項(xiàng)分布和超幾何分布是兩種重要的離散型隨機(jī)變量的分布，關(guān)注的是事件[A]發(fā)生的次數(shù)．

對(duì)于二項(xiàng)分布和超幾何分布聯(lián)系與區(qū)別的辨析，執(zhí)教教師可以更充分地利用學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，更好地發(fā)揮信息技術(shù)的作用. 本節(jié)課中，執(zhí)教教師直接給出超幾何分布方差的計(jì)算公式[DX=np1-pN-nN-1，] 然后從代數(shù)的角度讓學(xué)生體會(huì)“從方差角度看，由于[N-nN-1≈1]，兩個(gè)分布的方差也近似相等”. 然而，執(zhí)教教師可以先引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)思考：當(dāng)[N]充分大且[n]遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于[N]時(shí)，有放回抽樣和不放回抽樣的差別大嗎？學(xué)生可以直觀地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)[N]很大，[n]又不太大時(shí)，即使是不放回抽樣，每次抽得次品的概率變化很小，這與有放回抽樣中每次抽得次品的概率不變的情況差別很小. 然后，在引導(dǎo)學(xué)生借助已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行合理猜想的基礎(chǔ)上利用信息技術(shù)驗(yàn)證結(jié)果：保持[p=MN]為定值，改變[n]的大小，觀察兩種分布的概率分布圖的差異. 最后，給出方差的計(jì)算公式. 這樣也許可以讓學(xué)生更好地從已有經(jīng)驗(yàn)、圖形直觀、代數(shù)運(yùn)算等角度體會(huì)二項(xiàng)分布和超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別．

參考文獻(xiàn)：

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