姚胡冰

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，可以達(dá)到做一題，會(huì)一類，通一片的效果，使學(xué)生對知識的運(yùn)用產(chǎn)生遷移，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。同時(shí)合理的變式教學(xué)，可以通過問題驅(qū)動(dòng)，把教與學(xué)引向深處，訓(xùn)練思維，最終實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

1 背景介紹

1.1 教材分析

初中代數(shù)的內(nèi)容包括“數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)”五大板塊，其中函數(shù)圖像是連接方程和不等式的重要紐帶。本節(jié)二次函數(shù)應(yīng)用教學(xué)，要努力培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)建模的思想，幫助學(xué)生構(gòu)建一元二次方程，二次函數(shù)之間關(guān)系圖。

1.2 教學(xué)目標(biāo)

經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為函數(shù)關(guān)系的過程，體會(huì)“問題-數(shù)學(xué)-問題”的建模思想。探究兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)和聯(lián)立后方程解的個(gè)數(shù)的關(guān)系，并會(huì)用圖像解釋，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。

2 教學(xué)實(shí)施

2.1 問題呈現(xiàn)

浙教版九年級上冊1.4《二次函數(shù)的應(yīng)用》第三課時(shí)課本作業(yè)題4：

某農(nóng)場擬建兩間矩形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻（墻長a＞50m），中間用一道圍墻隔開（如圖），已知計(jì)劃中的建筑材料可建圍墻的總長為50m，設(shè)兩間飼養(yǎng)室合計(jì)長x（m），總占地面積為y（m?）。

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式和自變量的取值范圍。

（2）畫出函數(shù)的圖像。

（3）利用函數(shù)圖像判斷：若要使兩間飼養(yǎng)室占地總面積達(dá)到200m?，則各道墻的長度為多少？占地總面積有可能達(dá)到210m?嗎？

2.2 過程設(shè)計(jì)

（1）變化自變量，體會(huì)設(shè)元選擇的重要性

師：請大家仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系。

生1：矩形的面積＝長×寬

師：長和寬知道嗎？如何表示？

生2：根據(jù)矩形的面積＝長×寬，長為x 由題意：

寬為

則 y＝·x，

根據(jù)墻對飼養(yǎng)室的長的限制，容易得出0＜x＜50

師：若設(shè)飼養(yǎng)室寬為x（m）呢？試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，自變量的取值范圍。

生：若寬為x ，由題意：長為50-3x，

則y=（50-3x）x

我發(fā)現(xiàn)設(shè)寬為x（m），更容易列出函數(shù)關(guān)系式

師：很棒，那你能幫老師求出x的范圍嗎？

生：

師：對比兩種求設(shè)元法求x的范圍時(shí)，你更喜歡哪一種？

生：第一種，因?yàn)榈诙N要求解一元一次不等式組的解，容易計(jì)算錯(cuò)誤，二是限定條件容易漏掉。

設(shè)計(jì)意圖

通過這一問題，一是讓基礎(chǔ)差的學(xué)生學(xué)會(huì)用一個(gè)未知量表示另一個(gè)未知量，并列出函數(shù)關(guān)系式，培養(yǎng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心；二是讓基礎(chǔ)好的學(xué)生能夠通過對比發(fā)現(xiàn)不同設(shè)元法對題目求解的影響，培養(yǎng)他們設(shè)元時(shí)選擇最優(yōu)解。

（2）動(dòng)手畫草圖，體會(huì)函數(shù)圖像在實(shí)際應(yīng)用題中的異同

師：如何能快速地畫出? ? ? ? ? ?函數(shù)圖像

生1：利用頂點(diǎn)坐標(biāo)、函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)做出草圖，

生2：配方得：

做出草圖

師：大家觀察這個(gè)函數(shù)圖像是否恰當(dāng)?shù)乜坍嬃吮绢}中x，y的變化趨勢

生：這里是實(shí)際問題，所以自變量有范圍，不能是全體實(shí)數(shù)

師：點(diǎn)評，大家平時(shí)做題目時(shí)，要養(yǎng)成自變量優(yōu)先考慮的良好習(xí)慣，否則很容易因小失大，全題皆輸。為了提高解題的正確率，結(jié)合自變量的限定條件并描出對解題有用的函數(shù)圖像。

設(shè)計(jì)意圖

強(qiáng)調(diào)自變量的限定對函數(shù)圖像的影響，培養(yǎng)良好的做題習(xí)慣。

（3）利用圖像解方程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性

師：若要使兩間飼養(yǎng)室占地總面積達(dá)到200m?

即y=200，請問它的的函數(shù)圖像是什么，會(huì)的同學(xué)在剛才的坐標(biāo)系中畫出它的圖像。

生：無論x取什么值，y的值都是200，所以它的圖像是一條過點(diǎn)（0，200）且平行于x軸的直線。

師：由圖像，大家觀察飼養(yǎng)室的面積是否可以達(dá)到200？

生：有兩個(gè)交點(diǎn)，所以x有兩個(gè)值使得y=200

師：求此時(shí)x的值并思考兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)和聯(lián)立求方程的解之間的關(guān)系

生1：我發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是聯(lián)立后方程的解的個(gè)數(shù)。

這兩個(gè)函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，所以對應(yīng)聯(lián)立后的方程有兩個(gè)不相等的解。

師：如果兩個(gè)函數(shù)圖像有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立后方程的解的情況下誰可以說一下？

生1：因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，所以聯(lián)立后對應(yīng)方程只有一個(gè)解。

生2：不對，對應(yīng)的方程是一元二次方程，所以應(yīng)該是優(yōu)良的相等的解。

師：如果兩個(gè)函數(shù)圖像沒有交點(diǎn)，聯(lián)立后方程的解的情況呢？

全體：聯(lián)立后對應(yīng)方程無解

師：小結(jié)兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)和聯(lián)立后方程解的情況的關(guān)系。

當(dāng)y=200時(shí)：? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解得x=20或x=30

答：當(dāng)飼養(yǎng)室的墻長為20時(shí)，墻寬為10；當(dāng)飼養(yǎng)室的墻長為30時(shí)，墻寬為? ? ；

師：請思考這里x=20或x=30和函數(shù)交點(diǎn)之間有怎么樣的關(guān)系？

生：x=20或x=30是兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。

師：小結(jié)：兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以反映聯(lián)立后對應(yīng)方程解的情況；

反之，方程的解是兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。

師：請大家獨(dú)立完成y=210的題目解答（課件展示）

設(shè)計(jì)意圖

體會(huì)利用函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷對應(yīng)方程解的個(gè)數(shù)并理解而這之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，為利用函數(shù)圖像解不等式打好基礎(chǔ)。

（4）利用變式教學(xué)，強(qiáng)化應(yīng)用

師：變式一（課件展示）

變式一：若飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻（墻長a為24米），兩間飼養(yǎng)室占地總面積可以達(dá)到200m?嗎？若可以，求出各道墻的長度。

生：（解答投影）

設(shè)計(jì)意圖

通過這一問題，一是讓學(xué)生體會(huì)到實(shí)際應(yīng)用題做完后檢驗(yàn)的重要性。x=30在這一問中是要舍去的，因?yàn)轱曫B(yǎng)室的長30m大于現(xiàn)有墻的長24m，此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，飼養(yǎng)室新的建造方案，起到承上啟下的作用。

（5）開啟思維大門，構(gòu)造飼養(yǎng)室新搭法

師：變式二（課件展示）

變式二：若農(nóng)場留有有一塊足夠大的空地，墻長a為14米，若要利用可建圍墻總長為50m的建筑材料建造一個(gè)兩間長合為30m的飼養(yǎng)室，有可能建造嗎？若可能，請先畫出

示意圖。

生1：方案中飼養(yǎng)室的長AD大于墻長a，用建筑材料在現(xiàn)有圍墻邊搭建一部分如下圖，

生2：

設(shè)計(jì)意圖

引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維的良好習(xí)慣。

師：我們以第一個(gè)同學(xué)的示意圖為例，請大家?guī)娃r(nóng)場主計(jì)算一下，具體應(yīng)該怎么搭建？

生：1：

生2：老師若從生活實(shí)際出發(fā)，應(yīng)該在現(xiàn)有墻的一邊補(bǔ)上16m的墻，根據(jù)有實(shí)際操作性，所以我覺得第二個(gè)同學(xué)的設(shè)計(jì)方案更貼合實(shí)際。

師：作為農(nóng)場主，他一定想利用現(xiàn)有的材料建造面積最大的飼養(yǎng)室，以此賺取更多的利潤。既然可以通過彌補(bǔ)現(xiàn)有墻的方法建造飼養(yǎng)室，那請大家?guī)退阋幌乱韵聝煞N建造方法中哪種方法建造飼養(yǎng)室的面積更大？

（6）利用變式教學(xué)，推陳出新

師：變式三（課件展示）

變式三：若飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻（墻長a為14米），中間用一道圍墻隔開，若要利用可建圍墻總長為50m的建筑材料按圖甲，乙的方案，能圍成的矩形飼養(yǎng)室的最大面積各是多少？

生1：設(shè)飼養(yǎng)室的長為x米

方案甲：

根據(jù)拋物線的函數(shù)圖像：在時(shí)，S的值隨x的增大而增大，

當(dāng)

生2：方案乙：

根據(jù)拋物線的函數(shù)圖像：∵在14≤x＜16時(shí)，S的值隨x的增大而增大，在16≤x＜32時(shí)，S的值隨x的增大而減小，

當(dāng)

設(shè)計(jì)意圖

通過這一環(huán)節(jié)，一是讓學(xué)生熟練掌握給定范圍的二次函數(shù)求最值。假設(shè)學(xué)生沒有考慮范圍的話，會(huì)得出第一種方法建造的飼養(yǎng)室的面積最大，再一次強(qiáng)調(diào)了自變量優(yōu)先考慮的重要性。二是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合。三是通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)墻長為14米時(shí)，圖乙這樣建造的飼養(yǎng)室的面積大于圖甲建造的飼養(yǎng)室的面積，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)和生活的密切聯(lián)系。

（7）利用變式教學(xué)，促進(jìn)高階數(shù)學(xué)思維的發(fā)展

變式四：若飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻（墻長米），中間用一道圍墻隔開，按圖甲，乙的方案，哪種方案能圍成面積最大的矩形飼養(yǎng)室？請說明理由。

設(shè)飼養(yǎng)室的長為x米

生1：方案甲：

∵在0＜x＜a時(shí)，S的值隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x＝a時(shí)，S的值最大，；

生2：

為了比較哪一種方案的面積最大，所以運(yùn)用作差法

答：方案乙圍成面積最大的矩形飼養(yǎng)室的面積最大。

設(shè)計(jì)意圖

這里現(xiàn)有的墻長a由定值14變?yōu)槊椎姆秶肓藚?shù)a，將求給定范圍的二次函數(shù)求最值問題升華為求給定范圍的含參變量的二次函數(shù)求最值問題，通過這一環(huán)節(jié)，促進(jìn)學(xué)生高階數(shù)學(xué)思維發(fā)展。

（8）歸納小結(jié)

3 教學(xué)思考

讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程。打破學(xué)生固有的思維模式拋出問題引起質(zhì)疑，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。隨著改變已知條件的情況下，飼養(yǎng)室建造問題的層層深入，學(xué)生在不知不覺中學(xué)到了新知識，使低層次的經(jīng)驗(yàn)向高層次的數(shù)學(xué)思維升華，同時(shí)也讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察，思考現(xiàn)實(shí)世界。

（作者單位：東陽市橫店鎮(zhèn)第二初級中學(xué)）