施維

【摘要】大單元視角下，教師應(yīng)如何貫徹落實(shí)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，以及如何落實(shí)探究式教學(xué)，本文借助教材中的三角函數(shù)與楊輝三角進(jìn)行一些研究.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；大單元教學(xué)；數(shù)學(xué)建模

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）（以下簡(jiǎn)稱《新標(biāo)準(zhǔn)》）中把函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)的四條主線內(nèi)容，這四條主線與初中數(shù)學(xué)中的四條主線相一致，知識(shí)難度呈螺旋狀上升，增加了預(yù)備知識(shí).這四條主線與預(yù)備知識(shí)和數(shù)學(xué)文化間的基本關(guān)系如圖1.

《新標(biāo)準(zhǔn)》中提出六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模這一核心素養(yǎng)是指通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型從而解決問(wèn)題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是指圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)展自主探究、合作研究并最終解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)建模可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力，同時(shí)學(xué)以致用，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又可以運(yùn)用于生活中，從而使數(shù)學(xué)與生活不再脫節(jié).

1 大單元的框架結(jié)構(gòu)下進(jìn)行的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)和數(shù)學(xué)建模

新教材在設(shè)計(jì)時(shí)，知識(shí)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，采用螺旋上升的方式編排，在各個(gè)主線的研究過(guò)程中很注意整體性，以及前后知識(shí)之間的上下位關(guān)系.例如，在函數(shù)主線中，要解決函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)、基本函數(shù)類、函數(shù)的應(yīng)用、思想和方法.例如，在前面幾節(jié)介紹完函數(shù)的概念、性質(zhì)以后給出冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，通過(guò)前面一直貫穿的數(shù)形結(jié)合思想來(lái)研究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)，為后來(lái)學(xué)習(xí)其他幾種函數(shù)提供了方法支持.冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)都存在增函數(shù)的情況.

例如 以一次函數(shù)y=kx（k>0）、指數(shù)函數(shù)y=ax（a>1）、對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a>1）為例來(lái)研究三種函數(shù)的差異，而這種差異正是不同類型現(xiàn)實(shí)問(wèn)題具有不同增長(zhǎng)規(guī)律的反映.接下來(lái)分析三種不同函數(shù)的增長(zhǎng)方式，以便用不同的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)生活中的變化規(guī)律.刻畫循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始規(guī)律的最典型的函數(shù)模型就是三角函數(shù).而具有周而復(fù)始變化規(guī)律最典型、最熟悉的模型就是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，接下來(lái)在整個(gè)三角函數(shù)一章始終貫穿用單位圓來(lái)研究三角函數(shù)，借助圓來(lái)研究三角函數(shù)就是這一章節(jié)的主線，通過(guò)這些可以看出教材的設(shè)計(jì)很注重整體性和連貫性.

在三角函數(shù)部分，開(kāi)頭就用圓周運(yùn)動(dòng)引入，整個(gè)章節(jié)通過(guò)單位圓定義三角函數(shù)的概念，也是通過(guò)單位圓來(lái)研究三角函數(shù)的性質(zhì)以及兩角差與和的正弦余弦公式等，以便于學(xué)生理解三角函數(shù)是用來(lái)刻畫周而復(fù)始現(xiàn)象的.再來(lái)回歸現(xiàn)實(shí)解決問(wèn)題，通過(guò)對(duì)筒車模型的研究，一是把數(shù)學(xué)與中國(guó)古代人們的智慧結(jié)晶相結(jié)合；二是便于學(xué)生理解y=rsinωx+φ+h中各個(gè)字母的含義，為接下來(lái)進(jìn)行的數(shù)學(xué)探究A，ω，φ對(duì)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響奠定認(rèn)知基礎(chǔ).最后研究了生活中常見(jiàn)的一些三角函數(shù)可以刻畫的模型，如彈簧振子、交變電流、潮汐現(xiàn)象等.又把數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系起來(lái)，整個(gè)章節(jié)的構(gòu)想具有整體性，且具有生活氣息，使數(shù)學(xué)活了起來(lái).

2 數(shù)學(xué)建模和探究式教學(xué)所遵循的原則

2.1 自主探究與小組合作相結(jié)合的原則

數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)建模的意義在于培養(yǎng)學(xué)生成為全面可持續(xù)發(fā)展的人，教學(xué)過(guò)程中要充分體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，必須先自主探究和獨(dú)立思考，再進(jìn)行小組討論，經(jīng)過(guò)小組整合以后，整理提出的問(wèn)題，進(jìn)而尋求解決問(wèn)題的辦法.

2.2 以問(wèn)題為主線的原則

探究式教學(xué)是以學(xué)生自主思考、合作探究為主的教學(xué)模式，數(shù)學(xué)建模也是由學(xué)生為主體的活動(dòng)，必須貫徹教師是課堂的引導(dǎo)者，以問(wèn)題引導(dǎo)的方式保證學(xué)生課堂主體的地位.好的問(wèn)題是高效課堂的保障，學(xué)生想在有限的課堂教學(xué)時(shí)間內(nèi)完成高質(zhì)量的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，教師一定要進(jìn)行充分的備課，了解學(xué)情，設(shè)計(jì)一系列引導(dǎo)性的問(wèn)題串，在學(xué)生理解困難處和疑惑處搭建腳手架，使學(xué)生可以“跳一跳，摘個(gè)桃”，也就是問(wèn)題的設(shè)計(jì)要符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).同時(shí)，課堂中教師要隨時(shí)注意學(xué)生提出的問(wèn)題，學(xué)生想到的問(wèn)題可能不是正確的，但這就是學(xué)習(xí)的過(guò)程，符合桑代克提出的試誤——聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)理論，犯錯(cuò)證實(shí)學(xué)習(xí)在真實(shí)地發(fā)生.學(xué)生提出問(wèn)題（哪怕是錯(cuò)的）比解決問(wèn)題來(lái)得更為重要，能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題才是教育的最終目的.

例如 在高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修三第六章最后一節(jié)“數(shù)學(xué)探究：楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用”中可以設(shè)計(jì)如下問(wèn)題串.

問(wèn)題1 對(duì)比二項(xiàng)式系數(shù)表與楊輝三角，你有什么發(fā)現(xiàn)？

追問(wèn)1 請(qǐng)同學(xué)們觀察這兩個(gè)數(shù)表，你能把二項(xiàng)式系數(shù)表與楊輝三角統(tǒng)一起來(lái)嗎？

結(jié)合教材中的兩個(gè)圖，可以發(fā)現(xiàn)楊輝三角比二項(xiàng)展開(kāi)式多了一行，把第一行記為第0行，則楊輝三角的第n行的第r個(gè)數(shù)可以表示為Cr－1n，第n行就是（a+b）n的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù).

問(wèn)題2 先從整體觀察楊輝三角中數(shù)字的結(jié)構(gòu)，即楊輝三角這一數(shù)字三角形中數(shù)字排列的規(guī)律.

追問(wèn)1 再細(xì)致地觀察每一行、相鄰兩行、斜行等的規(guī)律.

追問(wèn)2 通過(guò)畫一畫、連一連、算一算這樣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)算一下你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

追問(wèn)3 寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，這些結(jié)論能否用組合數(shù)表示？

通過(guò)問(wèn)題串的形式，引導(dǎo)學(xué)生逐步地學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)探究的方法，先是表征問(wèn)題，然后就是帶著問(wèn)題，觀察、思考、分析，提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，猜測(cè)、歸納和猜想，再到推理和論證，這就是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)探究過(guò)程.帶著問(wèn)題使課堂更高效，這節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)是教會(huì)學(xué)生數(shù)表的探究方法.通過(guò)本節(jié)課，學(xué)生知道數(shù)學(xué)探究要觀察，可以先整體再局部，先猜想再論證，先類比模仿再創(chuàng)新實(shí)踐.

2.3 以信息技術(shù)輔助教學(xué)

人類已經(jīng)進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代，數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域和應(yīng)用范圍得到的拓展，數(shù)學(xué)直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值，推動(dòng)社會(huì)生產(chǎn)力的發(fā)展.同時(shí)信息技術(shù)的發(fā)展也能反哺數(shù)學(xué)的研究與教學(xué)，讓數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究活動(dòng)變得生動(dòng)和有趣.直接的優(yōu)勢(shì)就是：計(jì)算機(jī)將數(shù)學(xué)建模問(wèn)題和數(shù)學(xué)探究的求解變得異常直觀、清晰、透徹.這也符合大數(shù)據(jù)時(shí)代數(shù)學(xué)的經(jīng)濟(jì)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)信息技術(shù)反作用于數(shù)學(xué)研究.

例如 高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊(cè)5.6.1勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)筒車模型進(jìn)行的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，可以通過(guò)GGB軟件把模型簡(jiǎn)化.

通過(guò)對(duì)幾何圖形的研究很容易把實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)一步引入、建構(gòu)函數(shù)模型問(wèn)題，經(jīng)歷的過(guò)程如圖2.

同樣地，在數(shù)學(xué)探究過(guò)程中，由于數(shù)學(xué)太抽象，配以動(dòng)態(tài)的信息技術(shù)手段能使問(wèn)題變得生動(dòng)，學(xué)生不光可以聽(tīng)見(jiàn)還可以看見(jiàn)，甚至動(dòng)手操作，這樣數(shù)學(xué)探究的難度就會(huì)降低，如在5.6.2函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中可以通過(guò)幾何畫板或者GGB軟件來(lái)演示三個(gè)參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的影響.

2.4 充分考慮學(xué)生的學(xué)情

《新標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)也是教育的重要部分，其根本任務(wù)也是立德樹(shù)人，最終要實(shí)現(xiàn)人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同程度的發(fā)展的目的.而數(shù)學(xué)探究活動(dòng)和數(shù)學(xué)建模活動(dòng)就是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的有效抓手，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)和數(shù)學(xué)建模都是以自主探究和小組合作來(lái)進(jìn)行的.

例如 在高中人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修三中，對(duì)楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用一節(jié)的數(shù)學(xué)探究，先進(jìn)行自主思考，對(duì)數(shù)表的探究是個(gè)比較簡(jiǎn)單的任務(wù)，就是學(xué)生很喜歡的找規(guī)律，使每個(gè)學(xué)生都能思有所得，從而實(shí)現(xiàn)每個(gè)人都能學(xué)有所得.再進(jìn)行小組交流，在思辨討論中知識(shí)產(chǎn)生了，語(yǔ)言表達(dá)能力提高了，思維得以碰撞，眼界得以開(kāi)闊.在分組時(shí)充分考慮學(xué)情，采用組間同質(zhì)、組內(nèi)異質(zhì)的原則分組.小組交流時(shí)每個(gè)同學(xué)提出自己的意見(jiàn)，經(jīng)過(guò)小組分析、辯論以后產(chǎn)生的才是知識(shí).小組在激烈討論時(shí)，以及全班同學(xué)共同研討時(shí)，實(shí)際上就是在進(jìn)行頭腦風(fēng)暴，就是創(chuàng)造性思維訓(xùn)練，最后就能實(shí)現(xiàn)對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng).

3 數(shù)學(xué)探究活動(dòng)、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)文化一脈相承

楊輝三角是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的偉大成就，教科書(shū)因?yàn)闂钶x三角在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)思維上的價(jià)值（人們研究數(shù)表由一行到多行，一兩條性質(zhì)到一系列性質(zhì)，從個(gè)別到系統(tǒng)，都體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得過(guò)程，即由淺入深，由特殊到一般，通過(guò)楊輝三角的研究先整體再到局部，由觀察到歸納到猜想論證，體現(xiàn)了完整的數(shù)學(xué)探究的過(guò)程），又具有審美價(jià)值和具有多元化的特性（中國(guó)、歐洲、阿拉伯等地的眾多數(shù)學(xué)家都曾研究和應(yīng)用它），對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、開(kāi)闊眼界有重要價(jià)值，從而設(shè)置了數(shù)學(xué)探究欄目，使學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)提高認(rèn)識(shí)的同時(shí)，全面提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，以此培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感和一探究竟的興趣.

例如 在高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊(cè)“5.6.1勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型”一節(jié)中，筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用，明朝的徐光啟就對(duì)筒車模型做過(guò)研究，而且畫出了工作原理圖，這里向?qū)W生呈現(xiàn)我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧結(jié)晶，吸引學(xué)生注意力，同時(shí)使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣.

窺一斑而見(jiàn)全豹，在課本中貫穿很多數(shù)學(xué)文化知識(shí)，同時(shí)將數(shù)學(xué)探究與學(xué)生建模結(jié)合起來(lái)，使學(xué)生產(chǎn)生民族自豪感的同時(shí)，引起學(xué)生的興趣，并開(kāi)闊學(xué)生的眼界，使其理解數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又能服務(wù)于生活.

4 數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模與生活息息相關(guān)

數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究活動(dòng)與生活息息相關(guān)，可以從生活中得到課題，如研究豬肉的化凍時(shí)間與溫度的關(guān)系、跑步時(shí)體重與最佳燃脂心率的關(guān)系、鞋碼與身高的關(guān)系，等等.生活中處處有數(shù)學(xué)，在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生理論與實(shí)踐相結(jié)合的能力，拓展知識(shí)面，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.

5 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)與數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)不是單獨(dú)存在的，依托于整個(gè)教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)的整體設(shè)計(jì)，即大單元的結(jié)構(gòu)，以某種知識(shí)脈絡(luò)為主線，串聯(lián)所有知識(shí)，抽絲剝繭從知識(shí)的發(fā)生發(fā)展娓娓道來(lái)，依托數(shù)學(xué)文化建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生體會(huì)生活與數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)，同時(shí)可以開(kāi)闊學(xué)生眼界，以模型為依托進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，感悟數(shù)學(xué)來(lái)源于生活.理論運(yùn)用于實(shí)踐，從知識(shí)內(nèi)化為能力……這樣行云流水般的設(shè)計(jì)使數(shù)學(xué)大單元的結(jié)構(gòu)渾然天成，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)穿插其中是知其然的過(guò)程，也是知其所以然的過(guò)程.

參考文獻(xiàn)：

[1]許小穎.大單元視角下的初中數(shù)學(xué)單元教學(xué)研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（05）：46-47.

[2]葛開(kāi)順.深化高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力[J].數(shù)理天地（高中版），2023（03）：86-88.

[3]張明剛.基于數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)下的高中數(shù)學(xué)課堂研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2023（01）：122-124.

[4]顧向忠.關(guān)于“數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究”的高中數(shù)學(xué)教材比較研究——以蘇教版、人教A版和人教B版為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（34）：13-16.

[5]陳輝忠.培養(yǎng)高中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的教學(xué)探究[J].數(shù)理天地（高中版），2022（17）：52-54.

[6]狄聞?dòng)?高中數(shù)學(xué)建模與核心素養(yǎng)的分析和探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（19）：92-93.