【摘要】將《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域?qū)嵗鳛檠芯繉?duì)象，從實(shí)例分布、實(shí)例結(jié)構(gòu)與實(shí)例內(nèi)容三個(gè)維度展開(kāi)對(duì)比研究，發(fā)現(xiàn)新課標(biāo)實(shí)例分布與內(nèi)容改動(dòng)較大，實(shí)例結(jié)構(gòu)略有變化.在此基礎(chǔ)上提出若干建議，以期幫助教師通過(guò)實(shí)例落實(shí)新課標(biāo)理念.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)；初中數(shù)學(xué)；數(shù)與代數(shù)；實(shí)例；對(duì)比研究

1研究問(wèn)題的提出

課程標(biāo)準(zhǔn)是國(guó)家制訂的基礎(chǔ)教育課程的基本規(guī)范與質(zhì)量要求，是規(guī)定某一學(xué)科的課程性質(zhì)、課程目標(biāo)、內(nèi)容目標(biāo)、實(shí)施建議的教學(xué)指導(dǎo)性文件.2022年4月21日，教育部正式頒布《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》[1]（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)”），較之《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》[2]（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“舊課標(biāo)”），“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的實(shí)例發(fā)生許多改變.實(shí)例是指在課程標(biāo)準(zhǔn)附錄中的案例，旨在幫助教師理解課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容，把握課程標(biāo)準(zhǔn)的核心思想，為一線教師提供具體的、可執(zhí)行的、可參考的案例.數(shù)學(xué)教師如何在課堂中運(yùn)用實(shí)例，最大可能地發(fā)揮實(shí)例的價(jià)值是一個(gè)非常重要的研究課題.本文將對(duì)比分析新舊課標(biāo)中初中階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的實(shí)例，為廣大數(shù)學(xué)工作者提供參考.

2研究對(duì)象與方法

本研究的研究對(duì)象是新舊課標(biāo)初中階段“數(shù)與代數(shù)”的實(shí)例.“數(shù)與代數(shù)”是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的四個(gè)領(lǐng)域之一，舊課標(biāo)與新課標(biāo)在該領(lǐng)域的主題分類(lèi)一致，即都由“數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)”三個(gè)主題組成.主題結(jié)構(gòu)已基本定型，但是相同主題的實(shí)例改動(dòng)較大.本研究采用了比較研究法和文本分析法.通過(guò)分析文本找出新舊課標(biāo)中初中階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的所有實(shí)例，比較新舊課標(biāo)初中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的實(shí)例分布、實(shí)例結(jié)構(gòu)與實(shí)例內(nèi)容的異同.

研究過(guò)程：首先通過(guò)量化分析找出實(shí)例的分布差異，了解舊課標(biāo)與新課標(biāo)實(shí)例的整體情況；其次對(duì)比新舊課標(biāo)實(shí)例的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，研究結(jié)構(gòu)變動(dòng)；最后對(duì)每個(gè)實(shí)例內(nèi)容具體分析，找出其增加與減少、增強(qiáng)與削弱的部分.

3研究結(jié)果與分析

3.1實(shí)例分布

研讀舊課標(biāo)與新課標(biāo)，發(fā)現(xiàn)雖然新舊課標(biāo)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域都是分類(lèi)成“數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)”三個(gè)主題，但是不同版本的實(shí)例分布不同.如表1所示：舊課標(biāo)在初中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域一共包含11個(gè)實(shí)例，“數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)”三個(gè)主題均有設(shè)置，分別占比36.36%，27.27%，36.36%，較為均衡[2]101-107.在新課標(biāo)中，初中階段“數(shù)與代數(shù)”共有9個(gè)實(shí)例，較舊課標(biāo)有所減少.三個(gè)主題各包含3，1，5個(gè)實(shí)例，占比率為33.33%，11.11%，55.56%[1]143-149.其中函數(shù)主題的相關(guān)實(shí)例最多，意圖幫助學(xué)生完成從常量學(xué)習(xí)過(guò)渡到變量學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的飛躍，為高中學(xué)習(xí)作好鋪墊.如例70，71的設(shè)計(jì)，旨在使學(xué)生借助函數(shù)工具，解決生活中簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，感悟如何用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界.

3.2實(shí)例結(jié)構(gòu)

2011年版的舊課標(biāo)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域?qū)嵗慕Y(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，基本可以分為“題目”與“說(shuō)明”兩個(gè)部分，其中實(shí)例搭配的“說(shuō)明”包含了實(shí)例的解題思路、教學(xué)過(guò)程與價(jià)值解讀，為實(shí)例研究與實(shí)例應(yīng)用提供了參考.而新課標(biāo)在保留原有結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上新增標(biāo)題，實(shí)例結(jié)構(gòu)變成了“標(biāo)題、題目、說(shuō)明”三部分.例如，例67的標(biāo)題為“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”，例68的標(biāo)題為“通過(guò)圖象分析函數(shù)關(guān)系”[1]145-146.這些標(biāo)題一方面可以幫助教師提煉實(shí)例內(nèi)容，另一方面也有助于實(shí)現(xiàn)實(shí)例與內(nèi)容要求的迅速配對(duì).另外，相較于舊課標(biāo)實(shí)例結(jié)構(gòu)的不完整（例47與例54只有題目沒(méi)有說(shuō)明[2]101，105），新課標(biāo)初中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的所有實(shí)例均結(jié)構(gòu)完整，內(nèi)容豐富.

3.3實(shí)例內(nèi)容

研讀新課標(biāo)發(fā)現(xiàn)，初中階段“數(shù)與代數(shù)”的實(shí)例與課程內(nèi)容中的內(nèi)容要求相配對(duì)，內(nèi)容要求主要描述學(xué)習(xí)的范圍與要求，如表2所示.實(shí)例內(nèi)容變化可依據(jù)匹配要求大致劃分為以下三類(lèi)：要求相同但對(duì)應(yīng)實(shí)例不同、舊要求中補(bǔ)增實(shí)例、新要求中新增實(shí)例（經(jīng)整理，未發(fā)現(xiàn)實(shí)例相同但要求不同，故舍去），具體如表3所示[3].本文將從以上三個(gè)方面詳細(xì)介紹新舊版課標(biāo)實(shí)例內(nèi)容的差異.

3.3.1要求相同但對(duì)應(yīng)實(shí)例不同

例68是一道通過(guò)函數(shù)圖象分析函數(shù)關(guān)系的題，對(duì)應(yīng)要求“能結(jié)合圖象對(duì)簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析”[1]57，146.不同于舊版先將“小明的父母出去散步，……”的生活情境展現(xiàn)，再?gòu)乃姆瘮?shù)圖象中分別找出哪些是父親或母親離家后距離與時(shí)間之間的關(guān)系，新版的實(shí)例直接將函數(shù)圖象給出，再使學(xué)生想象出滿足圖象所表示的函數(shù)關(guān)系.新版課標(biāo)實(shí)例不再局限于常見(jiàn)的從條件推演結(jié)果，從結(jié)果也可以想象條件.這樣的改動(dòng)可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解，發(fā)展幾何直觀，提高推理能力，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣.

例69是一道得到函數(shù)表達(dá)式的題，對(duì)應(yīng)要求“能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫(huà)簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中變量之間的關(guān)系，理解函數(shù)值的意義”[1]57，146-147.舊課標(biāo)的實(shí)例是一道常見(jiàn)的購(gòu)書(shū)問(wèn)題，只需找出購(gòu)書(shū)數(shù)量與付款金額的函數(shù)表達(dá)式即可.新課標(biāo)實(shí)例是找出給定三角形面積與線段長(zhǎng)度的函數(shù)表達(dá)式，這是一個(gè)典型的用代數(shù)式表達(dá)幾何結(jié)論的問(wèn)題，相比舊版更能培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀與推理能力.

例70是溫度的計(jì)量，對(duì)應(yīng)要求“結(jié)合具體情境體會(huì)一次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)的表達(dá)式；……”[1]57，147-148.相較于舊課標(biāo)直接給出攝氏溫度與華氏溫度的對(duì)應(yīng)表，設(shè)置四個(gè)問(wèn)題層層遞進(jìn)使學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)變量之間的一次函數(shù)關(guān)系并進(jìn)行相關(guān)的研究，新課標(biāo)實(shí)例需要學(xué)生自行查閱資料，探究過(guò)程也多次出現(xiàn)“引導(dǎo)”、“啟發(fā)”等詞語(yǔ)，讓學(xué)生獨(dú)立思考、自主探索，學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體.

3.3.2舊要求中補(bǔ)增實(shí)例

例65是簡(jiǎn)單近似計(jì)算，對(duì)應(yīng)要求“了解近似數(shù)，……，會(huì)按問(wèn)題的要求進(jìn)行簡(jiǎn)單的近似計(jì)算”[1]55，144.隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，近似計(jì)算在數(shù)據(jù)分析中常常使用，相關(guān)訓(xùn)練可以發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力.舊課標(biāo)在該知識(shí)點(diǎn)并未設(shè)置對(duì)應(yīng)實(shí)例.

例67是關(guān)于一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的題，對(duì)應(yīng)要求“了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”[1]56，145.舊課標(biāo)將該知識(shí)點(diǎn)設(shè)為選學(xué)內(nèi)容，并未設(shè)置對(duì)應(yīng)實(shí)例，新課標(biāo)不僅將選學(xué)改為必學(xué)，還設(shè)置了對(duì)應(yīng)實(shí)例，重要性可見(jiàn)一斑.學(xué)生在學(xué)習(xí)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的過(guò)程中，感悟用符號(hào)表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的作用，積累用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行一般性推理的經(jīng)驗(yàn).同時(shí)，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系在高中應(yīng)用非常廣泛，實(shí)例可以幫助學(xué)生為高中學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.

例72是反比例函數(shù)的引入，對(duì)應(yīng)要求“結(jié)合具體情境體會(huì)反比例函數(shù)的意義，……”[1]57，148-149.新課標(biāo)將“成反比例的量”調(diào)整至第四學(xué)段，并且將特殊函數(shù)的順序由“一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)”改為“一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)”.這樣的調(diào)整更符合學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律與數(shù)學(xué)內(nèi)容的發(fā)展過(guò)程，但也正是因?yàn)檫@樣的調(diào)整，實(shí)例的存在尤為重要.借助實(shí)例使學(xué)生感悟從反比例關(guān)系過(guò)渡到反比例函數(shù)的過(guò)程，加深對(duì)反比例函數(shù)的理解.

3.3.3新要求中新增實(shí)例

例64是負(fù)數(shù)的引入，對(duì)應(yīng)要求“理解負(fù)數(shù)的意義”[1]54，143-144.該知識(shí)點(diǎn)與實(shí)例都是新增，旨在使學(xué)生充分理解、認(rèn)識(shí)到負(fù)數(shù)可以表示相反意義的量，數(shù)學(xué)史的引入不僅可以讓學(xué)生學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué)文化，也能增強(qiáng)民族自信，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

例66是代數(shù)推理，對(duì)應(yīng)新增要求“了解代數(shù)推理”[1]56，144-145，推理能力是初中階段的核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)之一，大部分老師將其重點(diǎn)放在“圖形與幾何”，但是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中存在大量素材發(fā)展學(xué)生的推理能力.新課標(biāo)不僅提出了新要求“了解代數(shù)推理”，而且配置了相應(yīng)的實(shí)例，使學(xué)生在邏輯論證的過(guò)程中，逐步培養(yǎng)推理能力.

例71是二次函數(shù)的最大值與最小值問(wèn)題，對(duì)應(yīng)要求“會(huì)求二次函數(shù)的最大值或最小值，并能確定相應(yīng)自變量的值，能解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題”[1]57，148.相較于舊課標(biāo)，新課標(biāo)明確了對(duì)二次函數(shù)的具體要求，該實(shí)例的設(shè)置不僅幫助學(xué)生掌握求二次函數(shù)最值的方法，還能感悟如何用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界.

4結(jié)語(yǔ)與展望

通過(guò)新舊課標(biāo)的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域?qū)嵗膶?duì)比研究，不難發(fā)現(xiàn)新課標(biāo)在保留舊課標(biāo)經(jīng)典實(shí)例的基礎(chǔ)上有所改動(dòng)，并且增加了幾個(gè)新實(shí)例.全部實(shí)例都展現(xiàn)了核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，與課程內(nèi)容緊密聯(lián)系，更符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，難度適當(dāng).實(shí)例作為課程標(biāo)準(zhǔn)的核心理念的最佳體現(xiàn)者與承載者，值得數(shù)學(xué)教師深入研究，以促進(jìn)教學(xué)[4].

4.1把握實(shí)例，解讀新課標(biāo)

課標(biāo)作為國(guó)家課程的基本綱領(lǐng)性文件，語(yǔ)言較為精煉，對(duì)讀者的閱讀水平提出較高要求.而附錄中的實(shí)例則具有更好的可讀性，搭配的“說(shuō)明”從解題過(guò)程、實(shí)行方案、核心素養(yǎng)解讀等方面詮釋實(shí)例，更能被一線數(shù)學(xué)教師所接受.準(zhǔn)確把握與理解實(shí)例，有助于教師正確解讀課標(biāo)，掌握新課標(biāo)的核心理念.例如，例66是新課標(biāo)新增的實(shí)例，在初中階段論證小學(xué)所學(xué)結(jié)論的正確性，讓學(xué)生在邏輯論證的過(guò)程中，逐漸形成推理能力.該實(shí)例對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)“了解代數(shù)推理”，充分體現(xiàn)了新課標(biāo)對(duì)學(xué)生推理能力的培養(yǎng).

4.2對(duì)比實(shí)例，傳承與變革

新中國(guó)成立以來(lái)，我國(guó)的基礎(chǔ)教育經(jīng)歷了多次的課程改革，課標(biāo)也是一變?cè)僮?但是事物的發(fā)展離不開(kāi)傳承與變革，課標(biāo)的實(shí)例也是如此.對(duì)比研究新舊課標(biāo)的實(shí)例，有助于教師領(lǐng)悟經(jīng)典實(shí)例與新增實(shí)例的意蘊(yùn)與價(jià)值，進(jìn)而深入理解課標(biāo)并在數(shù)學(xué)課堂中實(shí)踐.例如，例70是新舊課標(biāo)都有的實(shí)例，這說(shuō)明在教學(xué)過(guò)程中可以借助這一實(shí)際例子闡述對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)，但是不同點(diǎn)在于舊課標(biāo)幫助學(xué)生搭建好“腳手架”，循環(huán)漸進(jìn)得到結(jié)論，而新課標(biāo)注重學(xué)生的自主探索，充分展現(xiàn)課標(biāo)“學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體”的理念.

4.3應(yīng)用實(shí)例，課標(biāo)與課堂

實(shí)例不僅僅可以幫助教師解讀課標(biāo)，把握核心理念，還可以幫助教師改進(jìn)教學(xué)過(guò)程，完善課堂.實(shí)例是課標(biāo)與課堂之間的橋梁.僅僅把握實(shí)例或者對(duì)比實(shí)例是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，實(shí)例仍然只是實(shí)例，只有在課堂中積極地應(yīng)用實(shí)例，實(shí)例才能發(fā)揮真正的價(jià)值，實(shí)現(xiàn)課標(biāo)與課堂的交流.但是在應(yīng)用的過(guò)程中，教師也需要考慮教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生學(xué)情，將實(shí)例與實(shí)際完美融合，再在課堂中實(shí)踐.

此次研究重點(diǎn)關(guān)注新舊課標(biāo)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域?qū)嵗膶?duì)比，還有許多問(wèn)題值得進(jìn)一步探究，如實(shí)例產(chǎn)生差異的原因、變革的合理性與科學(xué)性、如何將實(shí)例落實(shí)在課堂等.這些問(wèn)題都可進(jìn)行更深層次的研究與分析.

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作者簡(jiǎn)介武夢(mèng)鷺（2000—），女，河南駐馬店人，碩士研究生;主要研究數(shù)學(xué)教育.