劉守文 江厚庭

【摘要】義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，重視發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).模型觀念是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，其發(fā)展具有一致性、階段性、整體性，根植于真實(shí)問題情境之中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)過程.

【關(guān)鍵詞】“生動(dòng)”課堂；模型觀念；工程問題；行程問題

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2022年版）》）強(qiáng)調(diào)“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者”[1]，首次提出義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).以下是筆者進(jìn)行中考復(fù)習(xí)時(shí)經(jīng)歷的一個(gè)課例實(shí)踐，切身感受到模型觀念素養(yǎng)的形成與發(fā)展離不開真實(shí)教學(xué)情境和有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng).

1提出問題

原題（2021年百色中考）據(jù)國(guó)際田聯(lián)《田徑場(chǎng)地設(shè)施標(biāo)準(zhǔn)手冊(cè)》，400米標(biāo)準(zhǔn)跑道由兩個(gè)平行的直道和兩個(gè)半徑相等的彎道組成，有8條跑道，每條跑道寬1.2米，直道長(zhǎng)87米；跑道的彎道是半圓形，環(huán)形跑道第一圈（最內(nèi)圈）彎道半徑為35.00米到38.00米之間.某校據(jù)國(guó)際田聯(lián)標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)校場(chǎng)地實(shí)際，建成第一圈彎道半徑為36米的標(biāo)準(zhǔn)跑道.小王同學(xué)計(jì)算了各圈的長(zhǎng)：

第一圈長(zhǎng)：87×2+2π（36+1.2×0）≈400（米）;

第二圈長(zhǎng)：87×2+2π（36+1.2×1）≈408（米）;

第三圈長(zhǎng)：87×2+2π（36+1.2×2）≈415（米）;

……請(qǐng)問：

（1）略.

（2）小王緊靠第一圈邊線逆時(shí)針跑步、鄧教練緊靠第三圈邊線順時(shí)針騎自行車（均以所靠邊線長(zhǎng)計(jì)路程），在如圖1的起跑線同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過20秒兩人在直道第一次相遇，若鄧教練的平均速度是小王平均速度的2倍，求他們的平均速度各是多少？（注：在同側(cè)直道，過兩人所在點(diǎn)的直線與跑道邊線垂直時(shí)，稱兩人直道相遇.）

學(xué)生在解題時(shí)出現(xiàn)了兩種理解思路，部分學(xué)生將其理解為行程問題中的相遇問題，另一部分學(xué)生認(rèn)為兩人合起來剛好行進(jìn)了“一圈”，將其理解為工程問題.

解設(shè)小王的速度是x米/秒，教練的速度是y米/秒.

思路1（行程問題模型）：

y=2x，

20（x+y）=400+12×（415－400），

解得x=16324，

y=16312.

思路2（工程問題模型）：將兩人從起點(diǎn)出發(fā)到第一次相遇理解為工程總量1，則

y=2x，

20x400+20y415=1，解得x=1660243，

y=3320243.

哪種解法是正確的？錯(cuò)誤解法錯(cuò)在哪里？學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤解法的思維誤區(qū)是什么？對(duì)教學(xué)有什么啟示？教師如何解釋才能反映數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)？這些問題引發(fā)了筆者的深入思考.

為了突出學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中真正地“動(dòng)”起來，教學(xué)時(shí)筆者并未急于給出正確答案，而是引導(dǎo)學(xué)生在關(guān)聯(lián)的情境中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，利用觀察、比較、猜想、計(jì)算等方法分析與解決問題，從而回歸數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì).本題利用實(shí)際生活的真實(shí)情境考查學(xué)生選擇合適的方程構(gòu)建具體模型并解決問題，發(fā)展學(xué)生的模型觀念.2建模求解

教師引導(dǎo)1：當(dāng)一個(gè)模型反映數(shù)學(xué)客觀規(guī)律具有不確定性時(shí)，我們可否找出一些相關(guān)聯(lián)的模型，觀察、比較、分析、計(jì)算，進(jìn)而找出結(jié)果？請(qǐng)大家分組討論.

學(xué)生1：我們組結(jié)合原題的情境，創(chuàng)設(shè)了一個(gè)關(guān)聯(lián)的情境.如圖2所示，現(xiàn)將跑道的中間直道舍去，將兩個(gè)半圓形彎道合并構(gòu)造圖2所示的圓環(huán)形彎道.第一圈彎道半徑為36米，每條跑道寬1.2米，當(dāng)兩人終點(diǎn)連線的延長(zhǎng)線經(jīng)過彎道圓心時(shí)，稱兩人相遇，其他條件不變.設(shè)小王的速度是x米/秒，則教練的速度是2x米/秒，教練從A到C經(jīng)過的圓心角為α度，跑道第一圈長(zhǎng)為2π（36+1.2×0）≈226米，第三圈長(zhǎng)為2π（36+1.2×2）≈241米.

思路1（行程問題模型）：

241×α360=40x，（1）

226×（1－α360）=20x，（2）

解得：α=452×360693，代入（1），解得：

x=241×452693×40=272336930.

思路2（工程問題模型）：

40x241+20x226=1，

解得：x=140241+20226=272336930.

結(jié)論：兩種模型結(jié)果相同.

教學(xué)說明預(yù)設(shè)是教師主導(dǎo)作用的重要體現(xiàn).教師引導(dǎo)1所做的預(yù)設(shè)，目的是進(jìn)一步指明研究的方向，縮小研究的范圍，使問題具體化，根據(jù)原題的情境，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)設(shè)關(guān)聯(lián)的情境模型，發(fā)展模型觀念.

教師引導(dǎo)2：比較兩種模型，大家繼續(xù)探究原題中哪一種解法是錯(cuò)誤的？錯(cuò)因是什么？

學(xué)生2：原題中跑道是由直道和彎道兩種圖形構(gòu)成，我猜想兩人在直道和彎道中行進(jìn)的“效率”不同，不符合工程問題的定義，如果跑道由一種圖形構(gòu)成，則兩種模型都正確.

教師引導(dǎo)3：結(jié)合學(xué)生2的猜想，請(qǐng)大家嘗試再構(gòu)建關(guān)聯(lián)情境的模型，觀察、猜想、計(jì)算、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕Y(jié)果.

學(xué)生3：我們小組類比圖2的模型將原跑道的彎道舍去，按黃金分割比構(gòu)建了一個(gè)長(zhǎng)方形環(huán)形跑道.如圖3所示，最內(nèi)側(cè)的長(zhǎng)方形長(zhǎng)87米，寬54米，每條跑道寬1.2米，經(jīng)過20秒2人在左側(cè)直道第一次相遇，其他條件不改變.設(shè)小王的速度是x米/秒，則教練的速度是2x米/秒，教練從A順時(shí)針到C經(jīng)過的路程為40x米，小王從B逆時(shí)針到D經(jīng)過的路程為20x米.

思路1（行程問題模型）：

20（x+2x）=（87+54）×2+2×2×2×1.2，解得：x=291.660=4.86米/秒.

思路2（工程問題模型）：

將兩人從起點(diǎn)出發(fā)到第一次相遇理解為工程總量1.則

20x（87+54）×2+40x（87+1.2×2×2+54+1.2×2×2）×2=1，解得：x=353917210≈4.91米/秒.

結(jié)論：兩種模型結(jié)果不同.

學(xué)生4：我們小組為了便于計(jì)算構(gòu)建了一個(gè)正方形環(huán)形跑道模型，并簡(jiǎn)化了數(shù)據(jù).如圖4所示，最內(nèi)側(cè)的正方形邊長(zhǎng)為40米，每條跑道寬2米，經(jīng)過20秒2人在左側(cè)直道第一次相遇，不改變其他條件.設(shè)小王的速度是x米/秒，則教練的速度是2x米/秒，教練從A順時(shí)針到C經(jīng)過的路程為40x米，小王從B逆時(shí)針到D經(jīng)過的路程為20x米.

思路1（行程問題模型）：

20（x+2x）=40×4+2×2×2×2，解得：x=17660=4415米/秒.

思路2（工程問題模型）：

將兩人從起點(diǎn)出發(fā)到第一次相遇理解為工程總量1.則20x40×4+40x（40+2×2×2）×4=1，解得：x=3米/秒.

結(jié)論：兩種模型結(jié)果不同.

教師引導(dǎo)4：學(xué)生4在保留問題本質(zhì)屬性的前提下，簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)，更有利于運(yùn)算結(jié)果.這種刪繁就簡(jiǎn)、抓問題本質(zhì)的思維方式可以幫助我們把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，順利解決問題.從結(jié)果來看，學(xué)生2的猜想是錯(cuò)誤的.請(qǐng)大家觀察、思考以上幾種模型的圖形特征，嘗試通過計(jì)算探究結(jié)果.

學(xué)生5：“特殊化”學(xué)生4的模型，如圖5所示，將起跑點(diǎn)放在與最內(nèi)側(cè)跑道的上側(cè)跑道平行的A、B兩點(diǎn)，小王逆時(shí)針方向由B到D的路程是20×3=60米，終點(diǎn)D在左側(cè)直道的中點(diǎn).教練順時(shí)針方向由A到C1的路程是44+48+24=116≠120米，矛盾.

教學(xué)說明生成強(qiáng)調(diào)教學(xué)活動(dòng)中學(xué)生的主體地位.首先，生成促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)“動(dòng)”起來參與到建模、算模、驗(yàn)?zāi)５幕顒?dòng)探究中來.其次，教師根據(jù)學(xué)生的生成，可以了解學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維方式，對(duì)建模過程中出現(xiàn)的普遍錯(cuò)誤做出針對(duì)性的解釋，有利于教師整體把握課堂教學(xué)，做到“有的放矢”.再次，學(xué)生“集思廣益”的生成，能夠激發(fā)靈感，碰撞出“靈性”的思維火花，拓展學(xué)生的思考深度和廣度，幫助學(xué)生多方向、多角度建立模型，改進(jìn)模型.

3檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

教師引導(dǎo)5：結(jié)合圖5，你能從工程問題定義的角度探究原題中思路2的思維誤區(qū)嗎？

學(xué)生6：如圖5所示，小王逆時(shí)針方向由B到D，完成了全程的60160=38，教練順時(shí)針方向由A到C1，完成了全程的116192=2948，但38+2948≠1.原題的原理和本題相同，所以原題不是工程問題模型.

追問：圖2模型是否滿足工程問題的定義？這對(duì)理解圖5是否有更進(jìn)一步的啟發(fā)？

學(xué)生7：如圖6所示，“對(duì)應(yīng)邊”劣弧AC和BD與各自跑道的總長(zhǎng)之比都等于360－α360.故可以用小王20秒的“行程量”360－α360（類比工程問題的工作量）代替教練20秒后（未騎行）的“剩余量”，這樣可以理解為小王和教練合在一起走完了“全程”，二者之和為1.究其根本原因，是因?yàn)閮蓚€(gè)“同心扇形”AOC和BOD是“相似”的.對(duì)于圖5的模型，如圖7所示，由于教練的速度是小王的2倍，四邊形BGHD與AEFC不可能“相似”，故圖5模型不是工程問題模型.

教學(xué)說明學(xué)生在建立模型——求解模型——優(yōu)化模型——檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪^程中獨(dú)立思考、自主探索、合作交流，真正參與到課堂活動(dòng)中來，落實(shí)了“生動(dòng)”課堂的目標(biāo)，完成了知識(shí)學(xué)習(xí)從知其然到知其所以然的跨越，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)回歸到數(shù)學(xué)的知識(shí)本質(zhì).

4數(shù)學(xué)課堂發(fā)展模型觀念的幾點(diǎn)思考

4.1模型觀念的發(fā)展具有一致性、階段性和整體性

學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)獲取的核心素養(yǎng)具有三個(gè)特征：內(nèi)涵的一致性、表現(xiàn)的階段性和表述的整體性[2].模型素養(yǎng)是義務(wù)教育階段核心素養(yǎng)之一，貫穿于學(xué)生學(xué)習(xí)的各個(gè)階段.小學(xué)階段更具體，側(cè)重于基于經(jīng)驗(yàn)的感悟，即模型意識(shí);初中階段相對(duì)抽象，側(cè)重于概念的理解和實(shí)踐的掌握，即觀念和能力.實(shí)際上，小學(xué)階段的相遇問題、追及問題是行程問題模型的初始階段，分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)使學(xué)生理解了“1”作為總體的涵義，自此埋下了工程問題模型的萌芽，學(xué)生在這些知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，積累了模型實(shí)踐應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)，初步形成了模型意識(shí)，模型觀念的發(fā)展尚未成熟，若隱若現(xiàn)地存在于大腦的潛意識(shí)里.隨著知識(shí)的不斷積累和認(rèn)知思維的不斷成熟與深入，初中階段的學(xué)習(xí)可以開展一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，如本課例的代數(shù)方法解決實(shí)際應(yīng)用問題的建模探究，具備了數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的部分特點(diǎn)，有助于學(xué)生進(jìn)一步形成和發(fā)展模型觀念，促進(jìn)模型觀念素養(yǎng)的連續(xù)性和階段性發(fā)展.

4.2模型觀念的發(fā)展需強(qiáng)化真實(shí)情境設(shè)計(jì)與問題提出

《課標(biāo)（2022年版）》在教學(xué)建議中強(qiáng)調(diào)，強(qiáng)化情境設(shè)計(jì)與問題提出，“注重創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境、重視設(shè)計(jì)合理問題”[1]87.本課例通過操場(chǎng)跑道這個(gè)生活實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)設(shè)圓形、黃金矩形、正方形跑道等熟悉的生活情境，這個(gè)探究過程符合《課標(biāo)（2022年版）》在學(xué)業(yè)質(zhì)量描述中強(qiáng)調(diào)的“從學(xué)生熟悉的生活與社會(huì)情境中，在經(jīng)歷用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題，用數(shù)學(xué)的思維和語言分析和解決問題的過程中形成模型觀念”[1]80的理念.在探究過程中，筆者循序漸進(jìn)地提出合適的問題引導(dǎo)學(xué)生探索真實(shí)情境中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，從真實(shí)情境中提煉有用的數(shù)學(xué)信息，用數(shù)學(xué)的方法分析和解決問題.這個(gè)過程即弗賴登塔爾的“數(shù)學(xué)化”過程，“數(shù)學(xué)化”過程是初中階段形成和發(fā)展模型觀念的重要途徑.本課例的問題設(shè)計(jì)根植于真實(shí)情境，兼顧到思維含量，基于數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì).采用追問的方式對(duì)教師引導(dǎo)5進(jìn)行補(bǔ)充，推動(dòng)學(xué)生思維層層遞進(jìn)，引領(lǐng)學(xué)生探究活動(dòng)不斷深入，揭示概念本質(zhì).模型觀念核心素養(yǎng)在學(xué)生與情境、問題的有效互動(dòng)中得到提升，其表現(xiàn)出來的知識(shí)、能力和態(tài)度是在創(chuàng)設(shè)的真實(shí)情境中領(lǐng)悟和習(xí)得的.

4.3模型觀念的發(fā)展強(qiáng)調(diào)“活動(dòng)”和“過程”

《課標(biāo)（2022年版）》的理念之一是“實(shí)施促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的教學(xué)活動(dòng)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)主動(dòng)的過程，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流是學(xué)習(xí)的重要方式”[1]3.基于上述要求，模型觀念的形成與數(shù)學(xué)建?！盎顒?dòng)”密不可分，參與活動(dòng)的全“過程”是發(fā)展模型觀念的重要保證.本課例重視學(xué)生在獨(dú)立思考、合作交流后提出問題和假設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生借助試題模型，自己建立相關(guān)聯(lián)的、熟悉的數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)算求解模型，給予結(jié)果解釋或賦予實(shí)際意義.學(xué)生在“活動(dòng)”和“過程”中經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程，獲取數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，感悟數(shù)學(xué)建模的基本思想，積累數(shù)學(xué)建模的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，如“特殊化”思想，再如保留模型的本質(zhì)屬性，簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算，這種抓問題本質(zhì)的思考方式，可以上升到哲學(xué)抓主要矛盾的思辨高度.凡此種種，無不是學(xué)生在數(shù)學(xué)建?！盎顒?dòng)”和“過程”中感悟和積累的.

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.4：3.

[2]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.8：2.

作者簡(jiǎn)介劉守文（1983—），男，安徽合肥人，中學(xué)高級(jí)教師，合肥市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人;合肥市教壇新星;發(fā)表論文10余篇.

江厚庭（1983— ） ，男 ，安徽六安人，中學(xué)高級(jí)教師，合肥市骨干教師，合肥市優(yōu)秀班主任 ;發(fā)表論文多篇.