黃賢明 徐芳影 (江蘇省蘇州高新區(qū)景山實驗初級中學校 215129)

理解是教育永恒的追求,隨著國際教育改革的不斷推進,“為理解而教,為理解而學”成為了當代教育改革的重要思潮.自1935年布勞內(nèi)爾(W.A.Brownell)提出從理解的視角認識算術(shù)教學以來[1],數(shù)學理解就成為了研究者關(guān)注的重點,并被列為國際數(shù)學教育研究的主題之一.不難發(fā)現(xiàn),數(shù)學理解是發(fā)展核心素養(yǎng)的堅實基礎(chǔ),是培育數(shù)學思想的前提條件,是涵養(yǎng)數(shù)學精神的重要源泉,在促進學生數(shù)學能力的發(fā)展中起著不可替代的作用.數(shù)學理解既可以認為是學習者獲得數(shù)學對象本質(zhì)性理解的過程,也可以認為是學習者經(jīng)歷了數(shù)學理解性學習而達到對數(shù)學對象的理解水平[2].中考作為初中生學習的終點,自然會涉及對某一知識點數(shù)學理解水平的檢測.以2022年江蘇省各市數(shù)學中考中“抽樣與數(shù)據(jù)分析”試題為例,分析其所對應的數(shù)學理解水平,并對初中“抽樣與數(shù)據(jù)分析”內(nèi)容的教學得到相關(guān)啟示.

1 數(shù)學理解的理論框架

1.1 數(shù)學理解的內(nèi)涵

數(shù)學理解的本質(zhì)在于學習者建立新舊知識的聯(lián)結(jié),進而將新知納入原有認知結(jié)構(gòu),并隨時提取應用于數(shù)學問題的解決中.從結(jié)果上看,數(shù)學理解是學生經(jīng)歷了“經(jīng)驗性理解、形式化理解、結(jié)構(gòu)化理解、遷移性理解、文化性理解”這五大環(huán)節(jié),獲得對數(shù)學對象本質(zhì)內(nèi)涵及其外延知識的深入認識,建立形成新的知識網(wǎng)絡(luò),并達到一定的數(shù)學理解水平.受多方面因素的影響,不同學習者對于同一數(shù)學對象可能會產(chǎn)生不同水平層次的理解,而高水平層次的數(shù)學理解是數(shù)學教育所追求的目標.

1.2 數(shù)學理解的水平框架

李春雷等[3]將數(shù)學理解的水平劃分為認知和情感兩大維度.從認知維度出發(fā),數(shù)學理解可 以劃分為工具性理解、關(guān)系性理解與創(chuàng)造性理解;從情感維度出發(fā),主要包括文化性理解水平,目 前還未出現(xiàn)更細致的劃分.基于該劃分框架,結(jié) 合“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的考查內(nèi)容與試題特點, 可將各個水平在考查中的具體體現(xiàn)闡述如下(表1).

表1 數(shù)學理解水平框架

在“抽樣與數(shù)據(jù)分析”試題的設(shè)計中,大多圍繞認知維度的考查展開,重點關(guān)注學生工具性理解水平的達成情況.近年來,圍繞關(guān)系性理解和創(chuàng)造性理解水平的試題也逐漸增多,但幾乎沒有針對文化性理解水平的相關(guān)試題.

2 2022年江蘇省各市中考“抽樣與數(shù)據(jù)分析”試題的評析

2.1 總體分析

從整體上看,2022年江蘇中考“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的考查遵循《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《課標(2022年版)》)的內(nèi)容要求,在立足基礎(chǔ)的前提下更關(guān)注數(shù)學知識情境化的應用,并且部分地區(qū)的中考突破了對“抽樣與數(shù)據(jù)分析”內(nèi)容的顯性考查,更趨向于將知識內(nèi)隱于問題情境中,考查這些統(tǒng)計量的重要特征.

經(jīng)統(tǒng)計,2022年江蘇省中考共有26道“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的試題,考查知識點包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等計算,統(tǒng)計圖(表)中信息的提取與分析等.縱觀試題的問題情境,其中生活情境占據(jù)了84.62%,表明抽樣與數(shù)據(jù)分析擁有著較強的現(xiàn)實價值與意義,這也與《課標(2022年版)》所提出的教學建議相吻合.從數(shù)學理解水平角度對試題進行劃分,發(fā)現(xiàn)工具性理解水平試題占84.62%,關(guān)系性理解水平試題占7.69%,創(chuàng)新性理解水平試題占7.69%.由此可知,抽樣與數(shù)據(jù)分析的考查大多圍繞工具性理解水平而展開,僅做知識點的簡單再現(xiàn)與應用,而關(guān)于統(tǒng)計量的特征、預測數(shù)據(jù)變化趨勢、推斷事物發(fā)展規(guī)律、綜合性的數(shù)據(jù)分析等內(nèi)容卻幾乎未涉及,不能真正彰顯學生經(jīng)歷三年學習后所形成的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

2.2 不同理解水平下的試題評析

以下從數(shù)學理解的認知維度來具體分析“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的考查特點.

(1)工具性理解水平試題

工具性理解水平是對數(shù)學知識理解的起始性要求,也是大多數(shù)“抽樣與數(shù)據(jù)分析”試題所考查的數(shù)學理解水平.這些試題的編制圍繞《課標(2022年版)》中的內(nèi)容要求,創(chuàng)設(shè)生活情景或數(shù)學情景,體現(xiàn)統(tǒng)計的基本概念、統(tǒng)計表(圖)等內(nèi)容的簡單應用.

圖1

評析本題考查了方差的性質(zhì)及計算,屬于工具性理解水平中理解事實性知識、理解操作程序的范疇.學生可以根據(jù)方差的計算公式算出兩組數(shù)據(jù)的方差來進行判斷,也可以根據(jù)方差的性質(zhì)從折線圖觀察兩組數(shù)據(jù)偏離程度的大小.因此,學生只要掌握其中任意一種方法就可以解決該問題,得出甲的方差較大.

(2)關(guān)系性理解水平試題

關(guān)系性理解水平更關(guān)注知識之間的數(shù)學聯(lián)系,更體現(xiàn)數(shù)學思想方法的應用,是對基本知識內(nèi)涵的深入探究.這一水平試題的編制立足知識的本質(zhì),并關(guān)注到學生數(shù)據(jù)觀念、應用意識等核心素養(yǎng)的發(fā)展.

A.①② B.①③ C.①④ D.③④

(3)創(chuàng)造性理解水平試題

創(chuàng)造性理解水平強調(diào)在新情境、新問題中對于知識的拓展與應用,更側(cè)重數(shù)學知識的實踐價值與跨學科融合.創(chuàng)新性理解水平是數(shù)學教育的目標導向,也是當今時代發(fā)展下對人才培養(yǎng)的基本訴求.在此思想的指導下,對于“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的考查也出現(xiàn)了新的趨勢,即知識內(nèi)隱于問題情境中,這對教師的教學提出了新挑戰(zhàn).

例3(徐州)如圖2,5枚裝在相同的透明密封盒內(nèi)的古錢幣,其密封盒上分別標有古錢幣的尺寸及質(zhì)量,例如:錢幣“文星高照”密封盒上所標“45.4*2.8 mm,24.4 g”是指該枚古錢幣的直徑為45.4 mm,厚度為2.8 mm,質(zhì)量為24.4 g.已知這些古錢幣的材質(zhì)相同.

圖2

根據(jù)圖中信息,解決下列問題:

(1)略.

(2)由于古錢幣無法從密封盒內(nèi)取出,為判斷密封盒上所標古錢幣的質(zhì)量是否有錯,桐桐用電子秤測得每枚古錢幣與其密封盒的總質(zhì)量如下:

名稱文星高照狀元及第鹿鶴同春順風大吉連中三元總質(zhì)量/g58.758.155.254.355.8

請你應用所學的統(tǒng)計知識,判斷哪枚古錢幣所標的質(zhì)量與實際質(zhì)量差異較大,并計算該枚古錢幣的實際質(zhì)量約為多少克.

評析本題考查學生的數(shù)據(jù)分析綜合能力,屬于創(chuàng)新性理解新情境下數(shù)學本原知識、理解數(shù)學的實踐應用的范疇.學生需要先根據(jù)實際質(zhì)量與所標質(zhì)量之差(即密封盒的質(zhì)量)來判斷存在問題的數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)鹿鶴同春的質(zhì)量與實際質(zhì)量差異較大,進而計算出其余四個密封盒質(zhì)量的平均值34.2 g,得到鹿鶴同春的實際質(zhì)量為21 g.在此題的解決過程中,學生經(jīng)歷了“數(shù)據(jù)分析—發(fā)現(xiàn)問題—數(shù)據(jù)處理—得出結(jié)論”的思考過程,彰顯了數(shù)據(jù)分析的現(xiàn)實價值意義,是學生數(shù)據(jù)分析綜合能力的直接反映.

例4(常州)某汽車評測機構(gòu)對市面上多款新能源汽車0～100 km/h的加速時間和滿電續(xù)航里程進行了性能評測,評測結(jié)果繪制如 圖3,每個點都對應一款新能源汽車的評測數(shù)據(jù).已知0～ 100 km/h的加速時間的中位數(shù)是ms,滿電續(xù)航里程的中位數(shù)是nkm,相應的直線將平面分成了①、②、③、④四個區(qū)域(直線不屬于任何區(qū)域).欲將最新上市的兩款新能源汽車的評測數(shù)據(jù)對應的點繪制到平面內(nèi),若以上兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)均保持不變,則這兩個點可能分別落在( ).

圖3

A.區(qū)域①、② B.區(qū)域①、③

C.區(qū)域①、④ D.區(qū)域③、④

評析本題考查了中位數(shù)的性質(zhì),屬于創(chuàng)造性理解水平試題.本題構(gòu)建了學生較為陌生的情境,并且將兩組數(shù)據(jù)用平面直角坐標系中的點來表示,需要學生發(fā)現(xiàn)并理解問題的本原,并將問題轉(zhuǎn)化為“在添加了兩組數(shù)據(jù)之后,中位數(shù)保持不變的方法”.當問題轉(zhuǎn)化后,只需要保證0～100 km/h的加速時間的數(shù)值分別處于直線m的上方和下方,滿電續(xù)航里程的數(shù)值分別位于直線n的左側(cè)和右側(cè),即可得出兩個點可能分別落在區(qū)域①、③或區(qū)域②、④.此題將對中位數(shù)性質(zhì)的考查內(nèi)隱于問題情境中,較好地體現(xiàn)了知識的綜合性與靈活性,是對學生閱讀理解、問題分析、知識應用等能力的檢測.

3 教學啟示

3.1 夯實統(tǒng)計基礎(chǔ),達成工具性理解

《課標(2022年版)》指出:數(shù)學學科需要確立以學生發(fā)展為本、以核心素養(yǎng)為導向的課程目標,強調(diào)學生“四基”的獲得與“四能”的發(fā)展[4]2.從2022年江蘇省中考試題中可以發(fā)現(xiàn),抽樣與數(shù)據(jù)分析的考查圍繞工具性理解水平的達成,即要求學生掌握基本的統(tǒng)計量與統(tǒng)計方法來解決現(xiàn)實生活中的簡單問題.那么教師的教學目標就應將重點放在基礎(chǔ)性統(tǒng)計知識的應用上,促進學生在小學統(tǒng)計知識的基礎(chǔ)上形成數(shù)據(jù)分析觀念、掌握數(shù)據(jù)分析方法、感悟數(shù)據(jù)分析價值.在教學實踐中,教師要把握好知識的本質(zhì),從現(xiàn)實世界的問題出發(fā),引導學生在問題的分析與解決中感悟統(tǒng)計量的價值意義,理解它們的內(nèi)涵與本質(zhì),并將其應用于預測數(shù)據(jù)規(guī)律、解釋現(xiàn)實世界問題中.例如,在方差的教學中,教師可以給出甲、乙運動員射靶成績的兩組數(shù)據(jù):“7,8,8,8,9”和“10,6,10,6,8”,讓學生發(fā)現(xiàn)平均數(shù)在刻畫數(shù)據(jù)離散程度中的局限性,并在折線圖的直觀感受下激發(fā)學生的認知沖突,形成方差的定義與計算公式,進而獲得對方差最本質(zhì)的理解,達到工具性理解水平.總之,夯實統(tǒng)計基礎(chǔ)、達成工具性理解是數(shù)學理解發(fā)展的基本訴求,也是數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的基本要求.

3.2 建立關(guān)系圖式,形成關(guān)系性理解

“抽樣與數(shù)據(jù)分析”中的各個概念是相互聯(lián)系的一個整體,但這些聯(lián)系卻常常被教師所忽視.倘若以一種孤立的視角教授這些概念,必將會導致學生思維受到限制.因此,在教學中教師要以大單元、大概念的視角解構(gòu)統(tǒng)計知識,重建統(tǒng)計知識的“大廈”.同時,教師要利用好單元復習課,選擇開設(shè)相關(guān)專題課,組織繪制統(tǒng)計知識的思維導圖,讓學生主動構(gòu)建各個統(tǒng)計量之間的內(nèi)在聯(lián)系.在習題的講評中,教師也應注意滲透統(tǒng)計試題的問題分析思路與方法,體會數(shù)據(jù)分析的必要過程,進一步推進“四基”“四能”的發(fā)展,推動數(shù)學核心素養(yǎng)的形成.

以例2的講評為例,教師應引導學生以一般的視角分析問題,給出第2組數(shù)據(jù)的一般形式,滲透分類討論思想,培養(yǎng)數(shù)學抽象與數(shù)學運算的能力,避免就題論題.在解決例3后,可以引導學生改變問題條件,提出新的探究問題,如:“若第3組數(shù)據(jù)為m個a和n個a+1,此時數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和方差分別如何表示?它們與第2組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和方差相比有何變化?”最后,教師在探究總結(jié)中帶領(lǐng)學生整理回顧相關(guān)知識、形成知識體系,并布置開放性作業(yè):請參考這三組數(shù)據(jù)與問題的設(shè)置,仿照設(shè)計一道相關(guān)統(tǒng)計量性質(zhì)的試題,并給出詳細的參考答案.在探究中,不僅讓學生從大觀念的視角下解決了問題,構(gòu)建了統(tǒng)計知識的關(guān)系圖式,促進了學生關(guān)系性理解的形成,而且還借助數(shù)學活動發(fā)展了學生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學抽象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng),激發(fā)了學生的創(chuàng)新意識與數(shù)學興趣.

3.3 關(guān)注實踐拓展,推動創(chuàng)造性理解

隨著《課標(2022年版)》的頒布,“抽樣與數(shù)據(jù)分析”也新增了“經(jīng)歷數(shù)據(jù)分類的活動,知道按照組內(nèi)離差平方和最小的原則對數(shù)據(jù)進行分類的方法”和“會計算四分位數(shù),了解四分位數(shù)與箱線圖的關(guān)系,感悟百分位數(shù)的意義”兩大內(nèi)容,這一變動指明了“抽樣與數(shù)據(jù)分析”更應立足于現(xiàn)實世界、服務(wù)于現(xiàn)實世界,教學要給予學生更全面的數(shù)據(jù)分析方法,彰顯數(shù)據(jù)分析的價值意義[4]74.這也意味著未來“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的中考命題將逐漸向?qū)嵺`性、綜合性、靈活性的方向發(fā)展,也將更為關(guān)注學生對統(tǒng)計知識的創(chuàng)新性理解水平的達成,更為關(guān)注學生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學抽象、數(shù)學建模等數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展.這些啟示著教師要在達成工具性理解、形成關(guān)系性理解的基礎(chǔ)上,開展實踐與拓展性數(shù)學活動,推動學生創(chuàng)造性理解的發(fā)展.

《課標(2022年版)》在“抽樣與數(shù)據(jù)分析”中給出了“設(shè)計調(diào)查方案”“分布式計算平均數(shù)或百分數(shù)”“數(shù)據(jù)分組的原則”等案例.案例均從現(xiàn)實問題出發(fā),以求用統(tǒng)計的思想或工具加以解決.這些案例都是教師開展實踐拓展型教學活動的重要素材來源.此外,教師還可以與物理、化學、心理、體育等學科教師協(xié)作,開展相關(guān)跨學科主題的統(tǒng)計研究活動,如:運動前后的心率變化、學生心理問題調(diào)查、不同石塊的密度研究等,引導學生以小組合作的形式,借助網(wǎng)絡(luò)信息、實地調(diào)查或?qū)嶒灢僮鞯确绞?經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集的過程,并在數(shù)據(jù)整理中 以理性的眼光發(fā)現(xiàn)錯誤的數(shù)據(jù)、剔除無關(guān)的數(shù)據(jù),最后選擇合適的統(tǒng)計工具與統(tǒng)計方法,預測事物發(fā)展規(guī)律、估計事物總體情況,得出較為科學的結(jié)論與建議,并形成相關(guān)文字材料.在此過程中,學生全身心地參與到了研究中去,完整經(jīng)歷了數(shù)據(jù) 分析的全過程,靈活應用了統(tǒng)計知識解決生活中的問題,感悟統(tǒng)計思想.最終學生在實踐活動的 推動下形成了創(chuàng)造性理解,實現(xiàn)了數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展.