孫啟柱

【摘要】類比推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方法，通過對知識點(diǎn)進(jìn)行對比分析和確定出異同處，可加深對知識點(diǎn)的理解.在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，類比推理法已然成為一種常用的學(xué)習(xí)方法，學(xué)生通過應(yīng)用類比推理法，不僅可以更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，而且有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平和解題能力.基于此，文章結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列教學(xué)、函數(shù)與方程教學(xué)、命題教學(xué)、平面向量和解析幾何教學(xué)、立體幾何教學(xué)，提出了應(yīng)用類比推理法的一些方法.高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在教學(xué)中廣泛應(yīng)用類比推理法，以此幫助學(xué)生有效掌握類比推理法的應(yīng)用方法和技巧，為后續(xù)的自主學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)奠定堅實(shí)基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；類比推理法；立體幾何；等比數(shù)列

教育學(xué)術(shù)界對類比推理法的內(nèi)涵作出解釋，即“根據(jù)兩個事物之間的某一些相似屬性，通過分析和推理而得出另外一些相似屬性，這一種方法稱之為類比推理.”在類比推理過程中，需要基于原有知識和相關(guān)情境進(jìn)行知識的遷移，以此促進(jìn)新舊知識的分類比較與融會貫通，而高中數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)性、系統(tǒng)性和抽象性的特點(diǎn)，因此，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，在教學(xué)中廣泛有效應(yīng)用類比推理法，如可以在等差數(shù)列與等比數(shù)列教學(xué)、函數(shù)與方程教學(xué)、命題教學(xué)、立體幾何教學(xué)、平面向量和解析幾何教學(xué)這些方面應(yīng)用類比推理法，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生有效掌握應(yīng)用的策略和技巧，提高解題能力等.

一、在等差數(shù)列與等比數(shù)列教學(xué)中應(yīng)用類比推理法

在高中數(shù)學(xué)的知識體系中，等差數(shù)列、等比數(shù)列都是重要的知識內(nèi)容，概念教學(xué)是重要的教學(xué)任務(wù).從概念教學(xué)的角度而言，等差數(shù)列與等比數(shù)列的數(shù)學(xué)概念具有抽象性，學(xué)生在理解概念時會產(chǎn)生困惑，難以有效進(jìn)行解釋、判斷、運(yùn)算、推理、解決這些數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)邏輯思維能力的發(fā)展較為不利.對于此，在教學(xué)過程中，教師可以考慮應(yīng)用類比推理法，如可以借助等差數(shù)列的概念讓學(xué)生進(jìn)行類比推理，通過進(jìn)行兩個概念的類比推理而深化對概念知識的理解.

類比推理法應(yīng)用在等差數(shù)列與等比數(shù)列教學(xué)中，教師可以有兩種教學(xué)思路.第一，引導(dǎo)學(xué)生類比等差數(shù)列的“差”、等比數(shù)列的“比”，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生類比等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)、等差數(shù)列的不同之處，可以通過代數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比推理.第二，在課堂上講解等比數(shù)列的概念知識時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系已經(jīng)學(xué)習(xí)過的等差數(shù)列，對兩個概念知識進(jìn)行類比推理，試圖借助等差數(shù)列的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和理解而推導(dǎo)出等比數(shù)列的概念.在此過程中，教師可以設(shè)計一些探究性強(qiáng)的問題，如可以設(shè)計三個問題，一是“你還記得等差數(shù)列的定義是什么嗎？能說出來嗎？”二是“你是否可以根據(jù)等差數(shù)列的概念，類比猜想出等比數(shù)列的概念呢？”三是“結(jié)合具體的事例，你能說一說等比數(shù)列的定義嗎？”借助具體的問題和趣味的概念引入方案，學(xué)生可以將新舊知識有效銜接起來，通過類比推理加深對概念知識的理解.通過類比推理，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)一點(diǎn)，即等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的命題有對應(yīng)性規(guī)律可循，在等差數(shù)列公式和等比數(shù)列公式中，前者的加、減、乘、除可以對應(yīng)后者的乘、除、乘方、開方.為了讓學(xué)生可以直觀學(xué)習(xí)和理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念知識，教師可以要求學(xué)生制作表格，將類比推理的成果用表格呈現(xiàn)出來.如表1，是等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念類比推理.

等差數(shù)列與等比數(shù)列教學(xué)中，教師可以借用典型的例題訓(xùn)練學(xué)生的類比推理能力.如可以設(shè)計這樣一道題目，即現(xiàn)有{an}這一等差數(shù)列，當(dāng)a10的值為0，則a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n，其中n<19且n為正整數(shù)，進(jìn)行類比推理：現(xiàn)在有{bn}這一等比數(shù)列，如果b1×b2…×b9=1，那么S9的值為多少呢？借助這一典型例題，學(xué)生需要結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念知識進(jìn)行類比推理，這一過程中可以有效發(fā)展類比推理能力.

二、在函數(shù)與方程教學(xué)中應(yīng)用類比推理法

高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)知識具有十分重要的地位，因此，教師要幫助學(xué)生有效學(xué)習(xí)和建構(gòu)完整的知識體系.函數(shù)與方程教學(xué)具有復(fù)雜性和專業(yè)性，對于學(xué)生而言會有較大難度，尤其是強(qiáng)調(diào)學(xué)生有良好的抽象思維能力和分析理解能力.正是因?yàn)槿绱?，教師要對函?shù)與方程教學(xué)中的方法進(jìn)行創(chuàng)新，嘗試應(yīng)用一些新方法幫助學(xué)生有效學(xué)習(xí)和理解函數(shù)與方程的知識內(nèi)容，最大程度地降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度.在將函數(shù)與方程教學(xué)內(nèi)容引入課堂時，教師可以選擇應(yīng)用類比推理法，與此同時，可以借助典型例題引出類比推理法的方法和技巧，促使學(xué)生在“分析問題→探究問題→解決問題”這一學(xué)習(xí)過程中，提高應(yīng)用類比推理法的綜合能力.

在函數(shù)與方程教學(xué)中，教師可以和學(xué)生一起解決數(shù)學(xué)問題，如有兩個圓的坐標(biāo)方程分別為x2+y2=1和x2+（y-3）2=1，前者式子減掉后者式子便可以得到兩個圓的對稱軸方程.如果是要對題目中的命題進(jìn)行推廣，要求得到一個更一般的命題，且要保證已知命題是推廣命題的特例，那么應(yīng)該如何總結(jié).在解決這一數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生需要用到類比推理法進(jìn)行思考，即基于“對稱性”這一性質(zhì)，能夠知道題目中的兩個圓具有一個特定關(guān)系，即半徑相等.當(dāng)圓心處于不同位置時，對稱軸方可以出現(xiàn)，可以通過類比推理得到兩個圓的對稱軸方程，需要確定兩個圓的兩個式子，一是圓方程（x-a）2+（y-b）2=R2，二是圓方程（x-c）2+（y-d）2=R2，兩個圓方程滿足條件a≠c和b≠d，兩式相減即可得到對稱軸方程.

三、在命題教學(xué)中應(yīng)用類比推理法

在新命題提出時，師生會進(jìn)行一系列的思維過程，主要包含聯(lián)想、類比、推理及歸納，也因此讓類比推理成為高中數(shù)學(xué)命題教學(xué)中一種非常常見的思維方式，具有重要作用.命題教學(xué)中應(yīng)用類比推理法時，教師除了凸顯學(xué)生的主體地位之外，還應(yīng)該多對學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)，幫助學(xué)生有效應(yīng)用類比推理方法，以求促進(jìn)思維發(fā)展，尤其是促進(jìn)思維具備良好的廣闊性和創(chuàng)造性.在命題教學(xué)中應(yīng)用類比推理法時，教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)研究命題的三方面相似性，一是性質(zhì)特征，二是結(jié)構(gòu)內(nèi)涵，三是形成過程.以高中數(shù)學(xué)中的立體幾何命題為例，教師可以指導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)進(jìn)行平面和空間的類比推理，在此過程中學(xué)生可以推理出一些空間圖形的性質(zhì).再以圓相關(guān)知識的教學(xué)為例，指導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)類比圓和球類，通過類比推理，學(xué)生可以猜測和驗(yàn)證出“兩球相切的性質(zhì)”.總之，在高中數(shù)學(xué)的命題教學(xué)中，教師應(yīng)該重視類比推理法的應(yīng)用，并幫助學(xué)生培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，以求借用類比推理方法更好地理解新知識.

除課堂上重視命題教學(xué)，將類比推理法應(yīng)用在命題教學(xué)活動中，教師還應(yīng)該高度關(guān)注近些年的數(shù)學(xué)高考變化.通過分析可以發(fā)現(xiàn)一點(diǎn)，即近些年的數(shù)學(xué)高考試卷中會有一些類比推理的題目，綜合考查學(xué)生的類比推理能力.有這樣的一道高考試題，即已知由1樓至2樓共有20級臺階，現(xiàn)在假設(shè)規(guī)定上樓的人每一步只可以跨上1級臺階或2級臺階，那么想要從1樓爬上2樓，共有幾種方法呢？在解題過程中，如果學(xué)生是進(jìn)行直接思考或傳統(tǒng)思考，則會發(fā)現(xiàn)有太多的方法，解題時會出現(xiàn)思維混亂的情況.針對于此，教師在指導(dǎo)學(xué)生分析和解題時都應(yīng)該抓住一個切入點(diǎn)，即讓學(xué)生從題目中找出對應(yīng)的模型.如在解題時可以假設(shè)第n級臺階會有fn種方法，如果是要跨上第20級臺階，則需要從第18級臺階和19級臺階分別跨上2級和1級為到達(dá)，可以得到關(guān)系式“f20=f18+f19”.繼續(xù)通過分析，可以得出“f19=f17+f18”“f3=f1+f2”等一系列的關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上借用類比推理法，便可以進(jìn)行逐項計算和推導(dǎo)出結(jié)論，即想要跨上第20級臺階，f20=10946，表明從1樓爬上2樓可以有10946種方法.可以說，新課程改革背景下的高中數(shù)學(xué)命題教學(xué)中，教師應(yīng)非常重視類比推理法，且關(guān)注數(shù)學(xué)高考變化，幫助學(xué)生針對性地訓(xùn)練類比推理法的應(yīng)用能力，避免在高考中失利.

四、在平面向量和解析幾何教學(xué)中應(yīng)用類比推理法

五、在立體幾何教學(xué)中應(yīng)用類比推理法

高中數(shù)學(xué)的立體幾何教學(xué)有兩大特殊性，一是較為抽象和復(fù)雜，學(xué)生在學(xué)習(xí)和解題時都不可避免遇到困難，影響到學(xué)生的高中數(shù)學(xué)整體學(xué)習(xí)質(zhì)量；二是立體幾何教學(xué)和培養(yǎng)學(xué)生的高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有密切關(guān)聯(lián)，如需要借助立體幾何教學(xué)培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、空間想象能力.正是因?yàn)槿绱?，教師?yīng)格外重視高中數(shù)學(xué)的立體幾何教學(xué)，既要向?qū)W生傳遞立體幾何的知識內(nèi)容，也要幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).從類比推理的角度而言，教師可以將立體幾何的知識與平面幾何的知識對應(yīng)起來，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中進(jìn)行類比推理，在已有知識經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上有效學(xué)習(xí)和理解立體幾何的知識.比如，在講解立體幾何的“線”“面”的知識時，教師可以將其和平面幾何的“點(diǎn)”“線”知識對應(yīng)起來，指導(dǎo)學(xué)生在類比推理中有效學(xué)習(xí).更重要一點(diǎn)，即學(xué)生通過類比推理“二面角”和“平面角”，能夠?qū)⒅R從二維向三維過渡，學(xué)習(xí)立體幾何知識的難度可以有所降低，對發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力、空間想象能力也會有十分大的裨益.

高中數(shù)學(xué)的平面幾何教學(xué)中，勾股定理是常用的定理，當(dāng)△ABC的AB，BC這兩條邊具有相互垂直的關(guān)系時，則AB2+AC2=BC2.如果是由平面拓展或延伸至空間，則教師可以指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行勾股定理的類比推理，試著得出三棱錐的底面積、側(cè)面積之間的關(guān)系，并可以提出具體的探究問題，即當(dāng)三棱錐A-BCD的三個側(cè)面ABC，ABD，ACD具備“每兩個側(cè)面都互相垂直”這一關(guān)系時，則可以得到一些什么結(jié)論？在類比推理過程中，學(xué)生可以假設(shè)S△ABC，S△ACD，S△ABD，S△BCD分別是等于x，y，z，α，則可以假設(shè)三個式子：x3+y3+z3=α3，x+y+z=α，x2+y2+z2=α2.要求學(xué)生通過類比推理法確定出三個式子的正確與否，可以促使學(xué)生進(jìn)行“大膽猜想”和“小心驗(yàn)證”.

結(jié) 語

教師應(yīng)該將類比推理法廣泛應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，幫助學(xué)生熟練應(yīng)用類比推理法，掌握類比思維和提高高中數(shù)學(xué)解題能力.不過要想有效應(yīng)用類比推理法，實(shí)則對教師“教”的能力和學(xué)生“學(xué)”的能力都有較高的要求，尤其是強(qiáng)調(diào)教師的有效教學(xué)，所以教師后續(xù)依然要加大研究力度，繼續(xù)探究類比推理法融入課堂教學(xué)的方法和技巧，尤其是應(yīng)該貫穿于高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中.與此同時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)，以便可以掌握類比推理法的應(yīng)用方法，使其成為自己學(xué)習(xí)和解題的重要抓手.

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