摘要：培養(yǎng)學生的思維能力是數學教學的重要目標之一，如何實現這一目標，靈活處理高中數學課本的習題，挖掘并掌握其中的豐富內涵，是一種行之有效的辦法，其對培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性、靈活性、深刻性、創(chuàng)造性、廣闊性都有很大作用。

關鍵詞：思維能力? 課本習題? 作用

習題課教學是高中數學教學的重要形式，處理好習題課的教學，對教學質量的提高、學生智力的發(fā)展、思維品質的培養(yǎng)都起著至關重要的作用。但在實際教學中，部分教師只是通過大量的資料來進行習題課教學，導致學生對數學學習的興趣不高，不利于培養(yǎng)學生的思維能力。因此，在實際教學中教師應該關注課本習題，課本習題是教材的重要組成部分，這些習題是編者從茫茫題海中經過反復篩選、精心選擇出來的，是培養(yǎng)學生雙基的重要來源，也是教師傳授知識的紐帶，發(fā)揮著重要的教學作用。

一、拓展延伸，培養(yǎng)思維的發(fā)散性

在教學中，如果對一些典型的習題進行變式處理，如改變原題的條件、結論、方法或逆向思維、反例分析等，即可以在演變多解過程中，使得學生在知識及方法的縱橫方向分別得以拓廣和延伸，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維。

例1 數學必修⑷P122第3題證明：對任意a，b，c，d∈R，恒有不等式（ac+bd）2≤（a2+b2） （c2+d2）? ? （1）

先讓學生推證，發(fā)現他們用比較法、綜合法、反證法、放縮法都可以得到證明，此時進一步追問：能否有更新穎的證法呢？

引導學生抓住“a2+b2”、“c2+d2”、“ac+bd”的結構特征，因此可考慮用構造法證明。

證法1 （向量法）

構造向量[u]=（a，b）， [v]=（c，d）， [u]·[v]=|[u]||[v]|cosθ（其中θ為向量[u]與[v]夾角）

則ac+bd=[a2+b2]·[c2+d2]cosθ，

（ac+bd） 2=（a2+b2）（c2+d2） cos2θ

≤（a2+b2）（c2+d2）

[y][A][C][B][O][x]

證法2（構造三角形）利用“三角形的兩邊之和大于第三邊”（上圖中OBCA為平行四邊形）

由|OA|+|OB|＞|AB|及|OA|+|OB|＞|OC|，不等式⑴迅速得證。

由解法一不少學生都能發(fā)現a與b，c與d可交換位置。

[變1]求證：（a2+b2）（c2+d2）≥（ad+bc） 2? ? ⑵

[變2]⑴式兩邊開方可否？

求證：[a2+b2][c2+d2]≥|ac+bd| ? ? ? ⑶

[變3]⑶式右邊去掉絕對值可否？

求證：[a2+b2][c2+d2]≥ac+bd ? ? ? ⑷

對于⑴式能否有更深刻的變化呢？將不等式⑴字母分別排序，得

（a12+a22）（b12+b22）≥（a1 b1+a2 b2） 2 ⑸

通過分析知道，可以按字母增加的方向演變.

[變4]設a1、a2 、a3 、b1、 b2、 b3∈R，

求證：（a12+a22+a32）（b12+b22+b32）

≥（a1 b1+a2 b2+a3 b3） 2 ⑹

此時，利用學生的連續(xù)思維所產生的思維慣性，教師因勢利導，把問題推廣。

推廣? 設ai，bi∈R（i=1，2……n），則

（a12+a22+……+an2） （b12+b22+……+bn2）

≥（a1 b1+a2 b2+……+an bn） 2

（當且僅當ai=kbi時，取“=”號）

這是一個重要的定理，叫柯西不等式，不等式⑸、⑹即柯西不等式當n=2和 n=3時的特例。如此層層推進，使結論更加完美，更具有普遍性。

上述對原題從不同角度進行演變和多解，這樣從一題多變到一題多解，使知識橫向聯系，縱向深入，拓寬了學生的思路，培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維。

二、融會貫通，培養(yǎng)思維的靈活性

數學中有很多知識是相互聯系的，現行新教材特別注意用聯系的觀點處理問題，課本中例、習題為我們提供了充足的素材和廣闊的空間。因此，在教學中充分利用課本例、習題之間相互聯系、互相作用、互相影響這一規(guī)律，引導學生串通教材，做到融會貫通，開闊學生的視野，增強學生思維的靈活性。如研究空間面面關系，線面關系，線線關系時經常要用到轉化思想方法來解題，通常有關線面平行、垂直的問題可轉化為線線平行、垂直的問題，而有關面面平行、垂直的問題可轉化為線面平行、垂直的問題。

例2 數學必修⑵P72例3，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B任意一點，求證：平面PAC⊥平面PBC.

證明：[PA⊥平面ABCBC?平面ABC][?][PA⊥BCAC⊥BC]

這是一個典型的通過線線垂直去證線面垂直再去證面面垂直的例子，這樣解剖一例串通一片，揭示了問題的本質，溝通了內在聯系，使學生學過的知識結構化、系統(tǒng)化，學生的思維靈活性得到有效激活。

三、揭示規(guī)律，培養(yǎng)思維的深刻性

有些例題、習題蘊含著解題思路或方法上的規(guī)律性，教師要有意識地引導學生去分析、歸納、挖掘、提煉，以總結出這些規(guī)律，并使學生深刻領會，牢固掌握，能用于解類似的問題，這有利于提高學生思維品質的深刻性。

例3 數學必修⑸練習：

等差數列{an}的前n項和是Sn=5n2+3n，求它的前3項，并求它的通項公式。

多數學生解為：∵S1=a1=8， S2=a1+a2=26

∴a2=S2-a1=18， d=a2-a1=10， a3=a2+d=28，

∴an=10n-2，教學不應就此結束，可繼續(xù)設問：“若等差數列這個條件去掉，應該怎樣求an？”經過總結歸納，可以發(fā)現：

∵Sn=a1+a2+……+an? ?Sn-1=a1+a2+……+an-1，

∴an=Sn－Sn-1，這實際上就得到了有價值的通法了，即：凡是已知 Sn，抓住Sn與an的關系an=[S1 n=1Sn-Sn-1 （n≥2）]

an學生掌握了此規(guī)律，以后處理類似問題就不費周折了。

再進一步推廣、深化例3：

Sn是數列{an}的前n項的和，若對任何自然數n，

Sn=an2+bn（a、b∈R且ab≠0）可以證明數列{an}是公差為2a的等差數列.再進一步追問，若Sn=an2+c（c≠0），數列{an}是等差數列嗎？為什么？

如此層層深入思考，分析歸納，不斷深化，有效地訓練和培養(yǎng)了學生思維的深刻性。

四、標新立異，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

習題教學中，在學生掌握基本方法的同時，應有意識地創(chuàng)設新活的思維情境，激勵學生不依常規(guī)、不受教材與教師傳授的方法的束縛，引導學生多角度、全方位地思考問題，鼓勵學生標新立異、探究新解，達到開拓學生思維、鍛煉學生思維創(chuàng)造的目的。

例4 數學必修⑷P111例7，已知A（-1，-1），B（1，3），C（2，5）試判斷A、B、C三點之間的位置關系.這是一道基本題，但應要求學生盡可能多地進行多方位、多層次的聯系，尋求不同解法，如一些學生僅想到一些常規(guī)解法：

（1）證明|AB|+|BC|=|AC|；（2）證明點B在直線AC上；（3）證明直線AB、AC的方程相同或斜率相等，而有一些學生，聯想寬廣深刻，不但有上述解法，還得到了如下的非常規(guī)解法；（4）證明點C到直線AB的距離為0；（5）證明△ABC的面積等于零；（6）證明點B是有向線段AC的一個定比分點，顯然后者的解法較之于前者，更難想到，更獨到，因而更具有創(chuàng)新性，有利于培養(yǎng)思維的廣泛性、創(chuàng)造性。

五、聯想轉化，培養(yǎng)思維的廣闊性

數學是一個具有內在聯系的有機整體，各不同分支，不同部分，都是相互聯系、相互滲透的，解題方法、解題思路更是如此，因而，在課本例、習題的教學中應有意識地教給學生類比、聯想、轉化的方法，以提高學生分析問題、解決問題的能力，促進知識的正向遷移，培養(yǎng)思維的廣闊性。

例5 舊教材《立體幾何》P70第4題：棱臺的上、下底面的面積各是Q′和Q，求證：這個棱臺的高和截得這個棱臺的原棱錐的高的比是[Q-QQ′Q]。

證明此題后，要學生進行類比聯系：即若把其中的“棱臺”換為“圓臺”，則有怎樣的結論？學生經過類比聯想，可得結論：“圓臺的上、下底面的面積各是Q′和Q，那么這個圓臺的高和截得這個圓臺的原圓錐的高之比是[Q-QQ′Q]?！?/p>

對于剛解決的問題，或者是熟知的問題，引導學生橫向思考，類比聯想，常可獲得某些問題的解題思考或新穎的結論。

例6 舊教材《代數》下冊P17例7? 已知a，b，m∈R+，并且a＜b，

求證：[a+mb+m]＞[ab]

教材上是用“分析法”證的，如果就此結束，效果不大，實際上，它內蘊著豐富的教學價值，如引導學生巧妙聯想，靈活轉換，構造函數來證，則很富有意趣。

證明：令f（x）=[a+xb+x]=[x+b+a-bb+x]=1+[a-bx+b]

∵a-b＜0，∴f（x）在[0，+∞）上為增函數，

∵m＞0，∴f（m） ＞f（0）? ?即[a+mb+m]＞[ab]

這樣的教學就使學生不再把函數與不等式割裂開來，而是融合為一個有機的整體，以后處理有關問題時將能迅速遷移，另如例1巧妙地利用了數形轉換解題的思想方法，這些都有助于培養(yǎng)學生思維的廣闊性、創(chuàng)造性。

綜上所述，課本是教學之本，深挖教材的潛力，充分發(fā)揮教材的自身作用，處理好課本例、習題的教學十分重要.立足課本，對課本典型例、習題進行演變、探究、引申、拓廣、應用，由點到面，由題及類，解剖一例，帶活一串，注意數學思想方法的滲透，這樣教學，深化了基礎知識，培養(yǎng)了思維品質，發(fā)展了思維能力，這正是我們所要追求的目標。

備注：

課題名稱：在高中數學課堂教學設計中落實核心素養(yǎng)的實踐研究

課題編號：JKGH19247

課題主持人：陳榮軍

課題成員：陳榮軍 李勤? 胡正明? 張征? 黎明

課題類別：信陽市教育科學規(guī)劃課題

課題成果（論文）：如何利用高中數學課本習題培養(yǎng) 提高學生的思維能力