【摘要】平方差公式是多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的特殊形式。在公式教學(xué)中采取整體性策略、活動(dòng)性策略、數(shù)學(xué)審美策略，將數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實(shí)處，對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)具有重要意義。本文以人教版八年級(jí)上冊(cè)第十四章第二節(jié)“乘法公式”的第一課時(shí)“平方差公式”的教學(xué)為例進(jìn)行研究。

【關(guān)鍵詞】平方差公式；三個(gè)策略；核心素養(yǎng)

作者簡(jiǎn)介：秦玉紅（1970—），女，新疆維吾爾自治區(qū)昌吉回族自治州昌吉市第七中學(xué)。

一、三個(gè)策略概述

其一是整體性策略。根據(jù)認(rèn)知教育心理學(xué)家?jiàn)W蘇貝爾的認(rèn)知同化理論，學(xué)習(xí)需以已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)的過(guò)程是新舊知識(shí)相互作用的過(guò)程。基于整合協(xié)調(diào)原則，采取整體性策略，讓學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的建構(gòu)，能夠轉(zhuǎn)變學(xué)生原來(lái)只能理解與應(yīng)用零散的知識(shí)點(diǎn)的模式。

其二是活動(dòng)性策略。遵循教育家杜威“從做中學(xué)”原則，采取活動(dòng)性策略，讓學(xué)生在動(dòng)手操作的活動(dòng)中學(xué)習(xí)，手腦并用，能夠幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

其三是數(shù)學(xué)審美策略。采取數(shù)學(xué)審美策略，需要教師讓學(xué)生在學(xué)習(xí)與運(yùn)用公式的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，激發(fā)學(xué)生追求真善美的欲望，提高學(xué)生的審美能力。

二、教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重難點(diǎn)

本課的教學(xué)目標(biāo)為：1.讓學(xué)生了解平方差公式的形成過(guò)程，能夠用代數(shù)和幾何方法證明平方差公式；2.讓學(xué)生掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算（教學(xué)重點(diǎn)），體會(huì)平方差公式結(jié)構(gòu)的不變性和字母的可變性（教學(xué)難點(diǎn)）；3.讓學(xué)生總結(jié)平方差公式的研究方法，理清研究平方差公式的基本思路，為后續(xù)研究完全平方公式打好基礎(chǔ)［1］。

三、基于三個(gè)策略的教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

例題1：小明陪媽媽去菜店，買了3.8千克單價(jià)是4.2元的青菜。售貨員還沒(méi)有說(shuō)出應(yīng)付的金額，小明就脫口而出“應(yīng)付15.96元”。媽媽吃驚地問(wèn)他怎么算得這么快，小明說(shuō)他用了昨天學(xué)的一個(gè)數(shù)學(xué)公式。你們知道小明是如何又快又準(zhǔn)地算出結(jié)果的嗎？

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)貼近生活的問(wèn)題情境，旨在設(shè)置懸念，引發(fā)學(xué)生思考，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的欲望。

（二）溫故知新，探索新知

例題2：計(jì)算（1） （x+1） （x+2）；（2） （x+1） （x-1）；（3）（m+2） （m-3）；（4） （m+2） （m-2）；（5） （2 x +1） （2 x +1）；（6） （2 x +1） （2 x -1）。然后思考下列問(wèn)題：1.請(qǐng)觀察以上多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算結(jié)果，說(shuō)說(shuō)你有什么發(fā)現(xiàn)？（追問(wèn)：具有什么特征的二項(xiàng)式相乘結(jié)果是二項(xiàng)式？）2.試著將你的發(fā)現(xiàn)用含有字母的式子表示出來(lái)。（追問(wèn)：你能說(shuō)出每個(gè)字母的含義是什么嗎？）

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生先對(duì)具體的式子進(jìn)行觀察、思考和歸納，再把式子中的數(shù)字換成字母，試著概括出平方差公式，借助語(yǔ)言和符號(hào)進(jìn)行表達(dá)，可以讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象的過(guò)程，對(duì)平方差公式形成初步的認(rèn)識(shí)，從整體性的角度，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，為證明、應(yīng)用平方差公式做

鋪墊。

（三）進(jìn)行猜想，證明規(guī)律

例題3：猜想“（a+b） （a-b） =？”，用自己的話說(shuō)一說(shuō)，試著證明你的猜想。（追問(wèn)：“（a+b） （a-b）”與多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則中的“（a+b） （c+d）”有什么區(qū)別和聯(lián)系？從數(shù)、符號(hào)、項(xiàng)等角度分析公式的結(jié)構(gòu)特征是什么。）

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生運(yùn)用代數(shù)方法概括出公式之后，強(qiáng)調(diào)公式結(jié)構(gòu)的不變性和字母的可變性，可以為他們運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算提供理論根據(jù)。回歸多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的本質(zhì)，可以讓學(xué)生經(jīng)歷從一般到特殊的過(guò)程，體會(huì)特殊形式的簡(jiǎn)潔性。

（四）動(dòng)手實(shí)踐，幾何驗(yàn)證

例題4：（1）由a2和b2，你能聯(lián)想到什么？你能用幾何圖形表示a2-b2嗎？（預(yù)設(shè)學(xué)生畫(huà)出的圖形如圖1-1所示。）（2）由（a+b） （a-b），你又能聯(lián)想到什么？你能把圖1-1的圖形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)和寬分別為（a+b）和（a-b）的長(zhǎng)方形嗎？請(qǐng)動(dòng)手剪一剪，拼一拼。（預(yù)設(shè)學(xué)生畫(huà)出的部分圖形如圖1-2、圖1-3所示。）（3）請(qǐng)問(wèn)圖1-1與圖1-2、圖1-3的圖形面積有什么關(guān)系？你能根據(jù)所得的結(jié)論驗(yàn)證平方差公式嗎？（4）你知道中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家是怎么推導(dǎo)平方差公式的嗎？（教師告訴學(xué)生早在很多年前，趙爽就用面積割補(bǔ)法證明了平方差公式的正確性。）

設(shè)計(jì)意圖：在這一環(huán)節(jié)，教師設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)的問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)行深度思考與探究；開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，借助幾何直觀進(jìn)一步理解平方差公式的幾何意義；引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用面積割補(bǔ)法來(lái)證明平方差公式，滲透數(shù)形結(jié)合思想，可以培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，幫助學(xué)生養(yǎng)成多角度思考問(wèn)題的習(xí)慣，提高邏輯思維能力。此外，教師引入有關(guān)平方差公式的數(shù)學(xué)史，可以拓展學(xué)生的知識(shí)面，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情操。

（五）典例精析，應(yīng)用新知

練習(xí)1：計(jì)算（1） （3x+2） （3x-2）；（2） （x+2y） （x-2y）。

然后思考下列問(wèn)題：平方差公式中的a、b代表什么？運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算的一般步驟是什么？

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生解題的過(guò)程中，教師再次強(qiáng)調(diào)平方差公式中的a、b的意義，滲透換元思想，總結(jié)計(jì)算的步驟，有利于學(xué)生規(guī)范地解答相關(guān)題目，提高書(shū)寫(xiě)的條理性。

練習(xí)2：下列多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的式子中，能用平方差公式計(jì)算的是（ ）

A. （x+y） （x-y）

B. （-x+y） （-x-y）

C. （-x+y） （x+y）

D. （-x-y） （x-y）

E. （x-y） （y-x）

F. （x+y） （-x-y）

G. （m+n+p） （m+n+p）

H. （m+n+p） （m+n-p）

設(shè)計(jì)意圖：教師設(shè)計(jì)這道練習(xí)題，以此讓學(xué)生在觀察、交流和思辨的過(guò)程中明確平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，加深對(duì)平方差公式結(jié)構(gòu)的不變性和字母的可變性的認(rèn)識(shí)，了解運(yùn)用平方差公式的條件。

練習(xí)3：計(jì)算103×97

設(shè)計(jì)意圖：教師設(shè)計(jì)這道練習(xí)題，旨在讓學(xué)生嘗試運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，鞏固所學(xué)知識(shí)。

練習(xí)4：請(qǐng)?jiān)谙旅娴?個(gè)括號(hào)內(nèi)填上1個(gè)二項(xiàng)式，并用平方差公式進(jìn)行計(jì)算。

（3a-5b） （ ） = （ ） 2- （ ） 2=

設(shè)計(jì)意圖：教師設(shè)計(jì)這個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，可以積累學(xué)生運(yùn)用平方差公式的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生掌握正向、逆向運(yùn)用平方差公式的條件。

練習(xí)5：計(jì)算（1） （2+1） × （22+1） × （24+1） ×（28+1） +1；（2） （3+1） × （32+1） × （34+1） × （38+1）。

設(shè)計(jì)意圖：教師設(shè)計(jì)拓展提升的練習(xí)內(nèi)容，有利于發(fā)散學(xué)生的思維，讓學(xué)生把握公式的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，實(shí)現(xiàn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

之后，教師讓同桌之間相互出題。其中一名學(xué)生需要根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征編題，另一名學(xué)生需要先判斷題目是否符合公式的特征，然后做題；做完后，由編題的學(xué)生進(jìn)行批改。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)習(xí)公式需要學(xué)生理解和記憶運(yùn)用公式的條件。學(xué)生在出題的過(guò)程中，先找到運(yùn)用公式的條件，再借助公式的模型設(shè)計(jì)題目，有利于掌握公式。

教師利用剩下的課堂時(shí)間讓學(xué)生圍繞“導(dǎo)入環(huán)節(jié)的例題1中小明是如何算出結(jié)果的？”這一問(wèn)題進(jìn)行小組討論。［預(yù)設(shè)學(xué)生的答案為：3.8×4.2= （4-0.2） ×（4+0.2） =42-0.04=15.96。］

設(shè)計(jì)意圖：首尾呼應(yīng)，讓學(xué)生熟練掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。

四、反思

“平方差公式”一課是“乘法公式”這一節(jié)的起始課，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)基于本章“整式的乘法與因式分解”整體教學(xué)的內(nèi)容，有利于學(xué)生對(duì)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算方法形成更全面的認(rèn)識(shí)，把握包括平方差公式在內(nèi)的這一類數(shù)學(xué)公式的共同特征［2］。學(xué)生通過(guò)觀察、猜想、證明、實(shí)踐等方式，從整體性視角探索規(guī)律，借助幾何圖形分析公式的幾何意義，可以加深對(duì)公式的理解，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化［3］。

精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，有利于突破教學(xué)的重難點(diǎn)，向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想。開(kāi)展關(guān)于平方差公式的問(wèn)題思考、規(guī)律證明、實(shí)驗(yàn)探究、知識(shí)應(yīng)用等活動(dòng)，能夠讓學(xué)生認(rèn)識(shí)平方差公式的由來(lái)和內(nèi)涵，積累從特殊到一般、從具體到抽象的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。在平方差公式的教學(xué)中，教師不僅從數(shù)的角度對(duì)公式進(jìn)行了推導(dǎo)，從幾何的角度證明了公式的正確性，而且借助圖形直觀地呈現(xiàn)了公式的結(jié)構(gòu)特征。這有助于學(xué)生提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)。

運(yùn)用數(shù)學(xué)公式可以為解決問(wèn)題提供簡(jiǎn)便的方法。學(xué)生在問(wèn)題引導(dǎo)下能夠發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果會(huì)比一般的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的結(jié)果更加簡(jiǎn)潔，初步感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。在應(yīng)用新知環(huán)節(jié)，學(xué)生在運(yùn)用平方差公式的過(guò)程中體會(huì)到了公式給運(yùn)算帶來(lái)的便捷性，進(jìn)一步感受計(jì)算結(jié)果的簡(jiǎn)潔美。

教學(xué)即指導(dǎo)，學(xué)習(xí)即研究。兩者的關(guān)系為“以研定導(dǎo)、以導(dǎo)促研、導(dǎo)研耦合”。具體來(lái)說(shuō)，“以研定導(dǎo)”主要是以學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平和最近發(fā)展區(qū)為基礎(chǔ)，制訂教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，選擇教學(xué)方式，進(jìn)行教學(xué)評(píng)價(jià)。換言之，教師不應(yīng)喧賓奪主，把自己的觀點(diǎn)強(qiáng)加給學(xué)生，而應(yīng)根據(jù)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，以及他們?cè)谘芯繒r(shí)可能會(huì)遇到的困難，決定應(yīng)該如何指導(dǎo)，指導(dǎo)到何種程度。“以導(dǎo)促研”是指由于學(xué)生在研究中常常會(huì)遇到困難，因此教師的指導(dǎo)是必不可少的。教師給予學(xué)生適時(shí)、合理的指導(dǎo)不是為了快速地傳授知識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生的解題技能，而是為了暗示學(xué)生研究的思路和策略，讓學(xué)生通過(guò)教師的指導(dǎo)，提高自身的研究能力。“導(dǎo)研耦合”是指教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間應(yīng)該相互作用，相互影響，從而提高教與學(xué)、導(dǎo)與研的匹配程度，使教學(xué)效益最大化。

學(xué)生經(jīng)過(guò)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握了基本的數(shù)學(xué)理論知識(shí)。但是有的學(xué)生往往不能靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。采取三個(gè)策略，讓學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)踐—理論—實(shí)踐”的過(guò)程，不僅能夠幫助他們更好地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)的思想、方法和語(yǔ)言，還能提高他們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，讓他們樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)觀，全面地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)。傳統(tǒng)的教學(xué)大多是以教師為主體的“滿堂灌”式的教學(xué)。采取三個(gè)策略，能夠讓教師由課堂的主導(dǎo)者轉(zhuǎn)變?yōu)橐龑?dǎo)者，讓學(xué)生由聆聽(tīng)者轉(zhuǎn)變?yōu)樗伎颊?，由知識(shí)的接受者轉(zhuǎn)變?yōu)橹R(shí)的探索者。做好教師和學(xué)生在角色上的轉(zhuǎn)變，能夠?qū)ⅰ敖淌菫榱瞬唤獭薄笆谌艘贼~(yú)不如授人以漁”落到實(shí)處。

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