安徽省肥西實驗高級中學 毛啟干 （郵編：231200）

1 原題及商榷

2022年高考數(shù)學全國卷乙卷第11題為：

雙曲線C的兩個焦點為F1、F2，以C的實軸為直徑的圓記為圓D，過F1作D的切線與C交于M、N兩點，且，則C的離心率為（ ）

經(jīng)研究，該題有以下3 點商榷之處：（1）F1、F2哪個是左焦點，哪個是右焦點，沒有區(qū)分；（2）M、N兩個交點，哪個點在x軸上方，哪個在x軸下方，沒有區(qū)分；（3）切線與曲線C交于兩支還是交于一支，沒有交代.所以說該題命制得比較粗糙，估計命題人沒有用幾何畫板進行驗證.如果本題要能給出圖形，也就能回避2 個正確選項的問題.

2 試題解答

由于雙曲線存在左右兩支，因此在解決直線與雙曲線相交的綜合題時，時常要分類討論，第一類：直線僅與雙曲線的左支或右支相交；第二類：該直線與雙曲線的左右兩支都相交.這也正是處理“直線與雙曲線綜合題”與“直線與橢圓或拋物線綜合題”的不同之處.

解（1）若切線僅與雙曲線的左支相交，設交于為M、N兩點（如圖1），設切點為A，連接OA，由已知易得：OA⊥MN，在直角△F1AO中，因為|OF1|=c,|OA|=a，即=b.

過F2作切線MN的垂線，垂足為B（B在線段NM的延長線上），則F2B∥OA，因為O是F1F2的中點，所以A是F1B的中點，由平面幾何性質得：|F2B|=2a,|F1B|=2b.

圖1

（2）若切線與雙曲線C的左、右兩支分別交于M、N兩點（如圖2），設切點為A，連接OA，由已知可得OA⊥MN，在直角△F1AO中，因為|OF1|=c,|OA|=a，所以

過F2作切線MN的垂線，垂足為B（B在線段MN上），則F2B∥OA，因為O是F1F2的中點，所以A是F1B的中點，由平面幾何性質，得|F2B|=2a,|F1B|=2b.

綜合（1）（2）可得，本題選項A、C 都是正確的.

圖2

3 一點思考

在解析幾何中，直線與圓錐曲線的綜合題是常見的題型，這類題型主要考查學生運用所學知識綜合處理問題的能力，這里提到的“所學知識”，不僅僅是直線的方程及其五種形式、圓錐曲線的標準方程的幾種形式，也不僅僅是將直線的方程與圓錐曲線的方程進行聯(lián)立，再轉化為一元二次方程的問題，而是指綜合運用在初中所學的“平面幾何”的相關知識及其它數(shù)學分支內的知識.如本題就涉及到：①直線與圓相切的相關性質定理；②直角三角形的勾股定理；③兩直線平行的判定定理；④相似三角形的判定定理與性質定理；⑤解三角形的相關知識；⑥雙曲線的定義；⑦分類討論思想；⑧相關代數(shù)運算知識.與平面幾何知識綜合是全國卷的一大特色與亮點.

“直線與橢圓或拋物線相交”與“直線與雙曲線相交”是有區(qū)別的，區(qū)別就在于后者又是要分這條直線是與雙曲線的一支相交？還是與兩支都相交？有時只有一種情況符合條件，有時兩種情況都可以.這樣恰好考查了我們思維的嚴謹性，也考查了“數(shù)學抽象”、“邏輯推理”等數(shù)學核心素養(yǎng).

下面從近幾年高考和各地模擬高考試卷中關于直線與圓錐曲線綜合題（客觀題）中略舉幾例，再看看它們的思考方向和思路探究.

題1(2021年新高考全國Ⅰ卷第5題)已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，點M在C上，則|MF1|?|MF2|的最大值為（ ）

A.13 B.12 C.9 D.6

分析本題主要是綜合運用橢圓的定義與均值不等式求最值等相關知識.

題2(2021年高考全國甲卷理科第5題) 已知F1、F2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|，則C的離心率為（ ）

分析本題主要是將雙曲線的定義與解三角形中的余弦定理結合使用.

題3(2021年高考全國乙卷文科第11題)設B是橢圓的上頂點，點P在C上，則|PB|的最大值為（ ）

分析本題主要是將圓錐曲線的范圍與二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值綜合在一起使用.

題4已知點A、B是雙曲線1(a>0,b>0)的左、右頂點，過點B作傾斜角為的直線l交C于點P，點M是線段AP的中點.若|OM|=|OA|，則該雙曲線的離心率為（ ）

分析先由平面幾何知識，即中位線結合|OM|=|OA|求得|PB|=2a，進而求出P點坐標，代入雙曲線C的方程，求得b2=a2，即可求出離心率.