福建省福清第一中學(xué) 葉誠理 （郵編：350300）

福建省福清進(jìn)修學(xué)校 林新建 （郵編：350300）

福建省福清第一中學(xué) 林品玲 （郵編：350300）

隨著新課程改革的深入開展，將有越來越多的數(shù)學(xué)老師有機(jī)會走出校門，參與借班上課的活動.所謂借班上課，就是教師在參加各種教學(xué)比賽、教研活動中需要借用陌生班級完成一節(jié)公開課的教學(xué)行為.面對陌生的學(xué)生和班級，如何進(jìn)行課前的教學(xué)準(zhǔn)備和開展課堂教學(xué)以達(dá)到最佳的授課效果，成為了老師們所共同關(guān)心的話題.筆者最近參加了一次市級名師工作室組織的送教送培活動，到附近的一所中學(xué)上了一節(jié)主題為《立足數(shù)學(xué)思想方法，巧解三角函數(shù)值域》的復(fù)習(xí)課，對借班上課的有效性深有感觸，故把教學(xué)過程和反思與讀者分享，期能拋磚引玉，共同提升.

1 關(guān)注學(xué)情，了解生情（明情）

借班上課與日常上課最大的差別是對生情毫無知曉，上課教師置于一個(gè)完全陌生的上課環(huán)境，給一批素不相識的學(xué)生上課，并不了解學(xué)生原有的知識狀態(tài)和學(xué)習(xí)能力，師生間不熟悉亦不了解，上課過程有很多不確定的因素，無疑對授課老師提出了很大的挑戰(zhàn).

章建躍博士對一堂好的數(shù)學(xué)課的教學(xué)設(shè)計(jì)歸結(jié)為四個(gè)理解：理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)、理解技術(shù).因此，借班上課更要做好學(xué)情分析.在上課前我們最好能跟任課班級的數(shù)學(xué)老師事先做好溝通，了解班級準(zhǔn)確的教學(xué)進(jìn)度，大致的學(xué)習(xí)情況，包括在年級的排名.上課的教學(xué)設(shè)計(jì)要依據(jù)授課班級的生情、學(xué)情進(jìn)行有針對性的彈性設(shè)計(jì).

2 注重開場，拉近距離（暖場）

好的開頭是成功的一半.借班上課的老師如何第一時(shí)間走近學(xué)生，縮短因師生不熟悉而產(chǎn)生的心理距離，成為了上課成功與否的首要因素.試想，如果一上課便單刀直入，學(xué)生必然比較突然，教師與學(xué)生間無法形成共鳴，教學(xué)效果可能會大打折扣.正所謂磨刀不誤砍柴工，所以，開始上課的第一分鐘開場白很重要，也就是心理學(xué)上所說的第一印象，讓學(xué)生對教師有一個(gè)較好的印象，從而在心里慢慢接受執(zhí)教老師，進(jìn)而快速地融入課堂.教師要面帶微笑，語言生動幽默，讓學(xué)生感受到老師的親和力.設(shè)計(jì)開場白的方式有多種多樣，教師課前需做足功課，包括做好自我介紹，找到與學(xué)生共同關(guān)心的話題，尋找?guī)熒鷮υ挼钠鹾宵c(diǎn)等.比如，對學(xué)校環(huán)境的贊美、學(xué)校歷史的贊嘆等，臨場抓住班級與學(xué)生的某些閃光點(diǎn)，這些看似無關(guān)緊要，實(shí)則都可以讓學(xué)生感受到老師的魅力.

3 充分鋪墊，水到渠成（伏筆）

借班上課時(shí)，由于教師對學(xué)生的學(xué)習(xí)水平了解不夠，故在上課的開始階段最好復(fù)習(xí)回顧與本節(jié)課相關(guān)的基礎(chǔ)知識，讓學(xué)生漸入佳境.通過精心設(shè)計(jì)問題串，創(chuàng)設(shè)復(fù)習(xí)課的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生主動融入到對求三角值域的有效復(fù)習(xí)中來.

3.1 知識回顧環(huán)節(jié)

問題1求一般函數(shù)的值域有哪些常見方法？

例如：y=x2-2x,x∈[0,3].

問題2碰到復(fù)雜函數(shù)求值域有哪些方法？

問題3正弦函數(shù)y=sinx的圖象和性質(zhì)有哪些？

問題4三角恒等變換公式有哪些？

（1）同角基本關(guān)系：①平方關(guān)系：____②商數(shù)關(guān)系：____；

（2）倍角公式：sin 2α=______；cos 2α=____=_____=_____；

公式變形：sinαcosα=____；cos2α=_____sin2α=_____；

（3）輔助角公式：asinx+bcosx=________，其中tanφ=______.

三角函數(shù)作為一種特殊的函數(shù)，求值域離不開一般函數(shù)的求解通法，問題習(xí)1、2 的設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生回顧求一般函數(shù)的值域常用的各種方法，包括直接法，圖象法，配方法，換元法等，這看似與本節(jié)無關(guān)的問題實(shí)則是為復(fù)習(xí)做好方法鋪墊；問題3 的設(shè)置意圖是對正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)給學(xué)生做一個(gè)系統(tǒng)梳理，其應(yīng)用將貫穿于本節(jié)課始終，凸顯數(shù)形結(jié)合思想在求解三角值域中的引領(lǐng)作用，為復(fù)習(xí)做好思想滲透；問題4 的設(shè)置意圖是幫助學(xué)生系統(tǒng)回顧三角函數(shù)值域中常用到的相關(guān)公式，與此同時(shí)，在一體機(jī)右邊黑板上留下了板書，這些公式為本節(jié)課的計(jì)算、化簡、變形做好知識準(zhǔn)備.

在復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)中，學(xué)生非常配合，幾乎齊聲回答，對本節(jié)課的順利推進(jìn)打響了第一炮.可見，這個(gè)班級的總體水平比較高，也給筆者上好這節(jié)課增強(qiáng)了信心.通過復(fù)習(xí)這一環(huán)節(jié)，學(xué)生初步體驗(yàn)了上課成功的喜悅.心理學(xué)告訴我們，一個(gè)人只要體驗(yàn)一次成功的喜悅，便會激起無休止追求的意念和力量，會以更加積極、良好的心理狀態(tài)投入到新的活動中去，從而產(chǎn)生強(qiáng)大的內(nèi)驅(qū)力.正如蘇霍姆林斯基說的：“成功的歡樂是一種巨大的情緒力量，它可以促進(jìn)孩子好好學(xué)習(xí).”

4 充分預(yù)設(shè)，動態(tài)生成（活思）

對于陌生的學(xué)生，教學(xué)內(nèi)容的難度設(shè)置最好是低起點(diǎn)，從簡單到復(fù)雜，從具體到抽象，從感性到理性，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn).在接下來的典例講解環(huán)節(jié)，精選了四類常見的求三角函數(shù)值域的題型，師生共同交流，引導(dǎo)學(xué)生逐層深入地解決各類問題，并及時(shí)進(jìn)行方法總結(jié).

4.1 典例講解環(huán)節(jié)

探究一形如y=Asin(ωx+φ)+k.

例1（1）y=2 sinx+1 的值域是______；

探究二形如y=asinx+bcosx或y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x.

例2（1）(多選題)下列函數(shù)最大值為2 的是（ ）

（2）求y=sinxcosx-cos2x的值域______.

探究三形如y=asin2x+bsinx+c(a≠0).

例3求y=2 sin2x-sinx+1 的值域.

變式求y=2 sin2x-cosx+1 的值域.

探究四形如y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx.

例4求y=sinx+cosx+sinxcosx的值域.

思考sinx+cosx與sinxcosx有什么內(nèi)在關(guān)系？

借班上課與日常在自己班上課一樣，每個(gè)問題的設(shè)置都必須始終位于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，激活學(xué)生的思維，問題間有一定的邏輯關(guān)系和梯度.教學(xué)的方式盡量以啟發(fā)式教學(xué)為主，給學(xué)生一定的思考問題的空間，關(guān)注學(xué)生的課堂反應(yīng).其中，例題1 的設(shè)置讓學(xué)生掌握解三角函數(shù)值域的最基本方法，即圖象法，用到數(shù)形結(jié)合的思想；例題2 可通過輔助角公式、倍角公式轉(zhuǎn)化成例題1 的形式；例題3 是通過換元法，設(shè)t=sinx轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的形式，用到了化歸轉(zhuǎn)化思想；例題4也是通過換元，設(shè)t=sinx+cosx，最終也轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的類型.不過，學(xué)生還是忽視了t的取值范圍，這點(diǎn)早在意料之中.在講解四種類型的同時(shí)，在一體機(jī)左邊的黑板上留下了板書，記錄了四種題型及其相應(yīng)的解題方法.在例題講解中，不時(shí)地鼓勵(lì)學(xué)生，激發(fā)學(xué)生主動探究的欲望.師生良好互動，在合作中交流，在探究中生成.

對生情的缺乏了解，決定了借班上課更要做好教學(xué)設(shè)計(jì)的預(yù)設(shè)與生成.余文森教授說過：預(yù)設(shè)與生成是課堂教學(xué)的兩翼，沒有預(yù)設(shè)的課堂是不負(fù)責(zé)的課堂，沒有生成的課堂是不精彩的課堂.所以，在借班上課的課前教學(xué)設(shè)計(jì)中更要根據(jù)學(xué)情做到充分預(yù)設(shè)，估計(jì)教學(xué)中學(xué)生遇到的問題或臨場遇到的突發(fā)狀況.

因此，教師在課中要根據(jù)學(xué)生的課堂反應(yīng)靈活調(diào)整各種教學(xué)方案，因勢利導(dǎo)，隨機(jī)應(yīng)變，運(yùn)用自身的專業(yè)素質(zhì)和教學(xué)智慧駕馭課堂，做到從容應(yīng)對、游刃有余.比如，教師心里要緊緊把握本節(jié)課的重點(diǎn)、難點(diǎn)這兩根弦，控制好上課節(jié)奏和時(shí)間.并非所有準(zhǔn)備好的例題和練習(xí)都一定要按預(yù)設(shè)地完成，可以大膽選取部分或干脆跳過.再者，遇到軟件無法運(yùn)行或電腦突然死機(jī)之類的突發(fā)狀況，授課老師要先穩(wěn)定情緒，做到不慌不亂，在重啟電腦的同時(shí)可以安排學(xué)生先思考或做課堂練習(xí)，以巧妙地化解危機(jī).

5 察言觀色，鼓勵(lì)學(xué)生（融情）

借班上課也是公開課，充分展示教師的教學(xué)功底和個(gè)人魅力，故教師在課堂上的表現(xiàn)力顯得尤為重要，教學(xué)中忌諱滿堂灌，教師唱獨(dú)角戲，使得課堂氣氛比較僵硬.面對素不相識的學(xué)生，拉近距離的最好手段就是在課堂上多走近學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生.所以，教師要帶著欣賞的眼光看待學(xué)生，審視學(xué)生的面部表情，關(guān)注學(xué)生的課堂反應(yīng)，不放過任何一個(gè)教學(xué)過程中的細(xì)節(jié)和閃光點(diǎn)，由此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.德國教育學(xué)家第斯多惠曾說：“教學(xué)藝術(shù)的本質(zhì)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵(lì)、喚醒、鼓舞.”比如，在例題講解中每回答對一個(gè)問題，筆者都會向?qū)W生投以贊許的目光并高聲表揚(yáng)到：“非常好，請坐！”遇到學(xué)生卡殼的問題，筆者會耐心地提示，比如例題4，學(xué)生一時(shí)沒有反應(yīng)，筆者便提示道：“ 大家想想看，sinx,cosx二者的和與積能互相轉(zhuǎn)化嗎，我們學(xué)過他們之間的哪些相關(guān)的公式呢？”正所謂不憤不啟，不悱不發(fā)，學(xué)生很自然地想到了用換元法與同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化與解決，從而突破了難點(diǎn).

5.1 課堂練習(xí)環(huán)節(jié)：求下列函數(shù)值域：

課堂練習(xí)是檢測借班上課學(xué)生對于所教知識的領(lǐng)會與掌握程度，時(shí)間要控制得當(dāng).很遺憾，可能是兩個(gè)學(xué)生比較緊張，他們都未能在規(guī)定的五分鐘時(shí)間內(nèi)完成這兩道習(xí)題.第一個(gè)學(xué)生知道用二倍角公式，但用輔助角公式時(shí)輔助角寫錯(cuò)了；第二位學(xué)生懂得換元，但配方配錯(cuò)了.在習(xí)題講評環(huán)節(jié)，先肯定了兩位同學(xué)的正確思路，鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)努力,對運(yùn)算中的錯(cuò)誤一一糾正.

5.2 反思?xì)w納環(huán)節(jié)

談?wù)剬W(xué)習(xí)了本節(jié)課你有什么收獲？（知識、方法、思想）

學(xué)生回答的并不完整，但沒有關(guān)系，這才是真實(shí)的課堂.在肯定學(xué)生的基礎(chǔ)上進(jìn)一步完善，補(bǔ)充，師生一起用“一、二、三、四”口訣總結(jié)概括這節(jié)課：

一個(gè)專題：求三角函數(shù)的值域；

兩種思想：化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想；

三種方法：換元法、公式法、配方法；

四類題型：正余弦函數(shù)的四種混合運(yùn)算.

5.3 作業(yè)布置環(huán)節(jié)

必做題1求下列函數(shù)值域：

思考題2你能用兩種不同方法求函數(shù)y=的值域嗎？并可否推導(dǎo)出形如y=的值域的一般方法？

選做題3（2021年八省適應(yīng)性考試第12題）設(shè)函數(shù)，則（ ）

作業(yè)體現(xiàn)分層設(shè)計(jì)理念，提供給不同層次的學(xué)生完成.其中，必做題設(shè)置讓全體學(xué)生鞏固本節(jié)課的基礎(chǔ)知識和基本技能，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；思考題引導(dǎo)學(xué)生一題多解，從函數(shù)結(jié)構(gòu)特征出發(fā)得到幾何意義，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，并對此類題進(jìn)行變式推廣，達(dá)到解一題，通一類；選做題讓學(xué)有余力學(xué)生進(jìn)一步拓展思維，綜合運(yùn)用本節(jié)課思想方法靈活解題.

下課了,學(xué)生還沉浸在老師精彩的講解中,短短的一節(jié)課,通過老師的循循善誘,啟發(fā)引導(dǎo),贊許欣賞,讓一位陌生的老師走近學(xué)生的心靈世界,獲得新知,達(dá)到了良好的教學(xué)效果.

6 傾聽同行，吸取經(jīng)驗(yàn)（收獲）

借班上課雖然不是教學(xué)的常態(tài)，但對教師的專業(yè)成長有很大的促進(jìn)作用，讓一線老師有機(jī)會走出自己熟悉的學(xué)校走向外校展示自己的教學(xué)風(fēng)采.課后，授課老師要積極主動地聽取專家同行對本節(jié)課提出的寶貴意見和建議，特別是不足之處，進(jìn)而反思教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，以促進(jìn)自身教學(xué)能力的不斷提升.以下是老師們對本節(jié)課的評價(jià).

葉老師上課教態(tài)自然、有親和力.在教學(xué)過程中，采用問題驅(qū)動的方式，對常見的三角函數(shù)求值域問題進(jìn)行分類，形成模式化的解題方法，全程滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.學(xué)生課堂參與度高，吸收程度好，整堂課學(xué)習(xí)氛圍良好，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣高漲，是一堂非常優(yōu)秀的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課.從葉老師身上我們能夠?qū)W到：在復(fù)習(xí)課教學(xué)過程中一定要幫助學(xué)生形成必要的知識框架并進(jìn)行有針對性的訓(xùn)練.

不足之處對學(xué)情把握還不夠準(zhǔn)確，課堂的容量偏大，給學(xué)生思考的時(shí)間還不夠充裕，老師講的偏多點(diǎn)，學(xué)生自主性還有待挖掘等.

總之，借班上課對教師自身的教學(xué)是一種很好的歷練機(jī)會.所謂他山之石可以攻玉，每次借班上課和教學(xué)反思，都是一次自我覺醒和思想成長的過程.教學(xué)往往是不完美的藝術(shù)，不管是在熟悉的自己班級上課，還是在陌生的班級借班上課，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展和核心素養(yǎng)的提升是永恒不變的主題，期待著與老師們共同努力，在新課程改革的背景下追求真實(shí)有效的教學(xué)與充滿人文關(guān)懷的課堂.