安徽省肥東縣教育體育局教研室 孫家和 （郵編：231600）

安徽省肥東縣城關(guān)中學(xué) 羅守鳳 （郵編：231600）

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是以“做”為支架，通過(guò)認(rèn)知與非認(rèn)知因素雙重參與，自主設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程，操作相關(guān)工具發(fā)現(xiàn)問(wèn)題或驗(yàn)證結(jié)論，進(jìn)而理解知識(shí)的一種學(xué)習(xí)方式.通過(guò)親歷“數(shù)學(xué)家”發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證結(jié)論的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的“四基”，增強(qiáng)“四能”，從而提高學(xué)生的實(shí)驗(yàn)探究與設(shè)計(jì)能力.

初中數(shù)學(xué)滬科版教材中雖然安排了與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有關(guān)的“綜合與實(shí)踐”“閱讀與思考”“數(shù)學(xué)活動(dòng)”“信息技術(shù)應(yīng)用”與“閱讀與欣賞”等選學(xué)內(nèi)容，但是可作為實(shí)驗(yàn)教學(xué)的內(nèi)容并不多，更缺乏具體的實(shí)驗(yàn)教學(xué)的設(shè)計(jì)策略，導(dǎo)致初中實(shí)驗(yàn)教學(xué)存在著“虛化”“弱化”等現(xiàn)象，甚至有的老師直接將其作為自學(xué)內(nèi)容，教學(xué)上出現(xiàn)了較大的隨意性.

基于此，本文以滬科版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第26章《概率初步》的“閱讀與思考”欄目中《幾何概率》內(nèi)容為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)《利用幾何概率估算圓周率》實(shí)驗(yàn)教學(xué)案例，介紹實(shí)驗(yàn)教學(xué)的設(shè)計(jì)策略，與同行交流.

1 實(shí)驗(yàn)案例背景

《幾何概率》安排在九年級(jí)下冊(cè)第26 章《概率初步》的“閱讀與思考”欄目，是在學(xué)生學(xué)完古典概率后的閱讀內(nèi)容.學(xué)生已經(jīng)了解了隨機(jī)事件及古典概率的概念，會(huì)計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率，基本掌握了數(shù)據(jù)收集與處理的一些方法及概率知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.因此，本節(jié)課教學(xué)之前，預(yù)先布置學(xué)生閱讀課本內(nèi)容，準(zhǔn)備器材，分組設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程，嘗試估算圓周率π.教學(xué)中，通過(guò)分析實(shí)驗(yàn)過(guò)程，不斷改進(jìn)實(shí)驗(yàn)方法，提高實(shí)驗(yàn)效果，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)探究能力.

2 實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程

2.1 教學(xué)環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

上課前，播放一段網(wǎng)絡(luò)視頻《圓周率的定義及發(fā)展史》，介紹我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在張衡研究思路的基礎(chǔ)上，利用“割圓術(shù)”求出較準(zhǔn)確的圓周率.南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之基于劉徽的割圓術(shù)，計(jì)算出圓周率π 的值在3.1415926 和3.1415927 之間，他的這一成就，領(lǐng)先了西方約1000年！播放視頻一方面讓學(xué)生了解我國(guó)古代杰出的數(shù)學(xué)成就，增強(qiáng)民族自豪感和文化自信，另一方面激發(fā)學(xué)生探求圓周率的興趣，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

問(wèn)題1如圖1，已知邊長(zhǎng)為2a的正方形及其內(nèi)切圓，

（1）拋擲一粒豆子，求豆子落到圓內(nèi)的概率；

（2）隨機(jī)拋擲10 粒豆子，求落入圓中的豆子數(shù)是多少？

請(qǐng)學(xué)生分組討論

學(xué)生在討論的過(guò)程中，很容易發(fā)現(xiàn)，本題的計(jì)算與前面所學(xué)的古典概率知識(shí)不一樣，因?yàn)椤盎臼录奔础包c(diǎn)”的個(gè)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，無(wú)法計(jì)算.此時(shí)，教師順勢(shì)引出課題，指出這就是“幾何概率”.通過(guò)分析，學(xué)生直觀感覺(jué)可以通過(guò)兩者的面積比來(lái)計(jì)算，此時(shí)，教師對(duì)同學(xué)們積極的思考給與肯定，即豆子落到圓內(nèi)的概率=接下來(lái)師生共同分析第（2）問(wèn)，因?yàn)?，所以圓中豆子數(shù)為

圖1

設(shè)計(jì)意圖第（1）問(wèn)從學(xué)生已有的知識(shí)背景和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引發(fā)認(rèn)知沖突，提出幾何概率的概念.第（2）問(wèn)激發(fā)學(xué)生的探究興趣，由淺入深，應(yīng)用幾何概率解決問(wèn)題，為圓周率估算實(shí)驗(yàn)做準(zhǔn)備.

2.2 教學(xué)環(huán)節(jié)2：設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，估算π值

問(wèn)題2根據(jù)問(wèn)題1，你能設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，估算圓周率π 的值嗎？請(qǐng)同學(xué)們拿出自己的實(shí)驗(yàn)器材，匯報(bào)小組的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及結(jié)果.

教師：其他組有沒(méi)有不同做法？

小組2 代表：我們組用的方法和第一組一樣，但是，每次“撒豆”時(shí)，發(fā)現(xiàn)有的豆子恰好在圓周上，對(duì)這種情況做了分類處理.而且，我們組4 個(gè)人，每人做了5 次實(shí)驗(yàn)，總共做了20 次，分別進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)并計(jì)算了它們的平均值（如圖2）.當(dāng)落在圓周上的豆子數(shù)不算在圓內(nèi)，估算出圓周率的值為2.408；當(dāng)落在圓周上的豆子數(shù)算一半在圓內(nèi)，估算值為2.554；當(dāng)落在圓周上的豆子數(shù)全算在圓內(nèi)，估算值為2.7.

教師：很好！第2 組不僅收集處理了大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，而且觀察的非常仔細(xì)，對(duì)可能出現(xiàn)的情況做了分析比較，大家要學(xué)習(xí)他們嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的態(tài)度！那么，為什么估算值與圓周率π 的真實(shí)值差距比較大呢？

師生共同分析得到：由于正方形紙盒的底面可能凹凸不平，豆子不是絕對(duì)球體等原因，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果和圓周率π 的值誤差較大.

圖2

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)分組操作實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，增強(qiáng)合作意識(shí)，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，促使學(xué)生反思實(shí)驗(yàn)過(guò)程，提高實(shí)驗(yàn)分析的能力，培養(yǎng)科學(xué)的探究精神

2.3 教學(xué)環(huán)節(jié)3：質(zhì)疑結(jié)果，改進(jìn)實(shí)驗(yàn)

教師：怎樣改進(jìn)實(shí)驗(yàn)方法才能使得實(shí)驗(yàn)的結(jié)果更準(zhǔn)確呢？

小組3 代表：我們組在家里做的是“投擲飛鏢”實(shí)驗(yàn)，這個(gè)實(shí)驗(yàn)可以克服“撒豆”實(shí)驗(yàn)的弊端.具體做法是，事先將飛鏢靶面用正方形白紙粘貼覆蓋，并將飛鏢盤(pán)垂直懸掛離地一定距離，實(shí)驗(yàn)員站在固定距離進(jìn)行投擲.每投擲一次，用記號(hào)筆對(duì)投擲點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)注，以方便統(tǒng)計(jì).然后計(jì)算投中圓面（飛鏢盤(pán)）的“點(diǎn)”數(shù)與投擲次數(shù)（50 次）之比，以此來(lái)估算圓周率的值.我們組4 人，每人做了50 次實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)得到投中飛鏢盤(pán)的平均次數(shù)為41 次，計(jì)算出

教師：很好！小組3 的實(shí)驗(yàn)方法克服了紙板表面凹凸不平，豆子不是絕對(duì)球體等原因，但是，投擲飛鏢與人的因素有很大關(guān)系！雖然用白紙覆蓋了“靶面”，但是大家在擲飛鏢時(shí)，總是想投中“靶心”，這樣就會(huì)導(dǎo)致更多的投擲點(diǎn)集中在圓內(nèi)，造成了估算值與圓周率π 的誤差！

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)不斷地改進(jìn)實(shí)驗(yàn)方法，鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的科學(xué)精神，同時(shí)指出實(shí)驗(yàn)的“不足”之處，為信息技術(shù)手段的引入做好鋪墊.

2.4 教學(xué)環(huán)節(jié)4：幾何畫(huà)板，精確實(shí)驗(yàn)

教師：剛才兩個(gè)小組給出了自己的實(shí)驗(yàn)方法，但是都有一些弊端.一方面，無(wú)法克服自制實(shí)驗(yàn)器材的缺陷和人為因素的干擾，另一方面，實(shí)驗(yàn)次數(shù)不能重復(fù)做“很多”次.也就是說(shuō)，我們的實(shí)驗(yàn)需要可重復(fù)性、標(biāo)準(zhǔn)性和準(zhǔn)確性.請(qǐng)同學(xué)們想一想，借助什么工具可以達(dá)到上述要求？

（教師稍作停頓，此時(shí)學(xué)生不約而同的提到了計(jì)算機(jī)）對(duì)！我們可以借助信息技術(shù)手段.此時(shí)，教師打開(kāi)電腦，利用課前做好的幾何畫(huà)板模擬“拋豆”實(shí)驗(yàn)，估算圓周率.通過(guò)演示不同的“拋豆”數(shù)量，讓學(xué)生體會(huì)到隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，估算值與圓周率π 的真實(shí)值越來(lái)越接近（如圖3）.

圖3

設(shè)計(jì)意圖利用幾何畫(huà)板演示“拋豆”實(shí)驗(yàn)估算圓周率，克服了上述實(shí)驗(yàn)方法的弊端，而且可以“無(wú)限”次地做實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生感受到信息技術(shù)手段的“威力”，它可以有效地提高實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確率.

3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)策略

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅能幫助學(xué)生掌握所學(xué)的內(nèi)容，而且能讓學(xué)生通過(guò)親身實(shí)踐感受到探究的快樂(lè)，在“做”的過(guò)程中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為“四基”、“四能”的培養(yǎng)和學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展提供土壤，有效提高學(xué)科的育人價(jià)值.

3.1 體現(xiàn)實(shí)驗(yàn)改進(jìn)過(guò)程，培養(yǎng)探究精神

在本節(jié)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，學(xué)生自己制作邊長(zhǎng)為2a的正方形紙盒，通過(guò)“撒豆”實(shí)驗(yàn)來(lái)估算圓周率.依次經(jīng)歷了“撒一組豆子→撒20 組豆子（統(tǒng)計(jì)豆子的分布情況）→擲飛鏢→幾何畫(huà)板模擬撒豆”四次實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，每一次試驗(yàn)后，引導(dǎo)學(xué)生用“科學(xué)家”的視角觀察實(shí)驗(yàn)過(guò)程，思考實(shí)驗(yàn)中存在的弊端，親歷數(shù)學(xué)結(jié)論的探究的過(guò)程.一方面，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模等概率統(tǒng)計(jì)的基本觀念，另一方面，了解了影響數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可能的因素，即實(shí)驗(yàn)器材本身的缺陷和人為因素等，掌握了提高實(shí)驗(yàn)效果的途徑，為以后設(shè)計(jì)其它數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了參考，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基本技能和基本思想，積累了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了學(xué)生理性地科學(xué)探究精神.

3.2 融入信息技術(shù)手段，提高實(shí)驗(yàn)效果

引入新課時(shí)，利用多媒體播放《圓周率的定義及發(fā)展史》，一方面，了解我國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，達(dá)到學(xué)科育人的目的，另一方面，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的興趣，為新課教學(xué)做好鋪墊.實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集、整理分析的過(guò)程，通過(guò)用眼觀察、動(dòng)手操作，主動(dòng)思考，尋找實(shí)驗(yàn)存在誤差的原因.師生共同分析后發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)器材本身的缺陷和大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的“人為”因素是傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)方法無(wú)法克服的！自然的過(guò)渡到利用信息技術(shù)改進(jìn)實(shí)驗(yàn)（如圖4），符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,有助于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用信息技術(shù)解決實(shí)驗(yàn)問(wèn)題的意識(shí).

圖4

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下面簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）指出:“教師可以利用信息技術(shù)對(duì)文本、圖象、聲音、動(dòng)畫(huà)等進(jìn)行綜合處理，豐富教學(xué)場(chǎng)景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和探究新知的欲望.利用數(shù)學(xué)專用軟件等教學(xué)工具開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)”.

因此，根據(jù)《課標(biāo)》精神，在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，要將實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和信息技術(shù)合理的融合，在傳統(tǒng)設(shè)計(jì)“不能完全做到或做不到”的地方，合理適時(shí)地運(yùn)用信息技術(shù)輔助實(shí)驗(yàn)，一方面，克服傳統(tǒng)手段的無(wú)法解決的“弊端”，另一方面，改變實(shí)驗(yàn)過(guò)程的呈現(xiàn)方式，使得數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更加生動(dòng)形象，促進(jìn)學(xué)生多感官參與，提高數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的效果.