喬衛(wèi)亮， 馬來(lái)好， 韓曉雙， 陳海泉， 孫玉清

(大連海事大學(xué) 輪機(jī)工程學(xué)院，遼寧 大連 116026)

透空結(jié)構(gòu)以其顯著的減波、消波特性，在海洋工程領(lǐng)域獲得了越來(lái)越多的重視。英國(guó)的Ekofisk圓柱形海洋結(jié)構(gòu)物[1]以及法國(guó)Trfalgar海上風(fēng)電場(chǎng)[2]均采用了透空薄壁柱體的減波設(shè)計(jì)。Wang[3]對(duì)固定式同心透空?qǐng)A柱體的波浪載荷特性，建立了解析分析模型，在此基礎(chǔ)上 Williams等[4]對(duì)中間夾有一段透空薄壁的圓柱體開(kāi)展了半解析工作，分析了其水動(dòng)力性能。岳景云等[5]采用復(fù)合邊界元素法論證了結(jié)構(gòu)物外壁采用透水結(jié)構(gòu)可大幅降低cosine-type同心圓柱體周圍的繞射波動(dòng)，Sarkar等[6]對(duì)外層透空結(jié)構(gòu)的圍護(hù)效果進(jìn)行了分析，Wang等[7]針對(duì)該問(wèn)題給出了解析計(jì)算模型。Ning等[8]通過(guò)數(shù)值計(jì)算模型的搭建以及物理模型實(shí)驗(yàn)的實(shí)施分析了上部帶有透空結(jié)構(gòu)的浮式圓柱體結(jié)構(gòu)的垂蕩運(yùn)動(dòng)特性。liu等[9]對(duì)多層透空薄壁的圍護(hù)效能進(jìn)行了數(shù)值分析，Chen等[10]用零場(chǎng)積分方程對(duì)多個(gè)固定式透空?qǐng)A柱周圍的波高分布及波浪載荷進(jìn)行了半解析分析，Sarkar等[11]在Bhatta[12]對(duì)浮式圓柱體水動(dòng)力性能解析解的基礎(chǔ)上，通過(guò)推導(dǎo)解析計(jì)算模型，分析了浸沒(méi)式圓柱形透空薄壁對(duì)海洋平臺(tái)的圍護(hù)效果，后來(lái)，Mackay等[13]對(duì)固定和浮式透空?qǐng)A柱體進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)分析和數(shù)值求解。由于波浪能量大多集中于自由水面附近，目前透空薄壁在自由水面附近的應(yīng)用研究成果較多[14]，對(duì)正下方帶有透空薄壁的圓柱形結(jié)構(gòu)物的關(guān)注度明顯不夠，透空薄壁在改善浮式結(jié)構(gòu)物波浪水動(dòng)力特性方面的潛能有待于進(jìn)一步開(kāi)展研究。為了克服以上研究的不足之處，本文以正下方帶有圓柱形透空薄壁的浮式結(jié)構(gòu)物為研究對(duì)象，基于porous-wavemaker理論[15]和勢(shì)流理論，針對(duì)該結(jié)構(gòu)物的波浪散射和輻射特性，構(gòu)建解析計(jì)算模型，并將結(jié)果與現(xiàn)有數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，基于此，分析透空系數(shù)對(duì)波浪散射和輻射特性的影響機(jī)理。

1 構(gòu)建理論計(jì)算模型

如圖1所示，一列波高為H，頻率為ω，波長(zhǎng)為λ的規(guī)則波通過(guò)一個(gè)半徑為a的透空?qǐng)A柱體，圓柱體浸入水中的非透水高度為h1，透水部分的高度為h2-h1，水深為h0，以靜水面與圓柱體軸線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，建立柱坐標(biāo)系。為便于與已有研究成果[4,12]進(jìn)行對(duì)比分析，本文分析輻射特性時(shí)，假設(shè)浮體系統(tǒng)在三自由度內(nèi)做微幅振蕩運(yùn)動(dòng)。

圖1 透空柱體與波浪的相互作用示意

假設(shè)流體不可壓縮且無(wú)粘性，浮體固定不動(dòng)，如圖1所示，流體區(qū)域分為3部分整個(gè)流場(chǎng)分為流域ΩI和ΩII，其范圍為：

(1)

根據(jù)上述對(duì)該問(wèn)題的描述，可以基于流體勢(shì)函數(shù)的求解對(duì)透空柱體與波浪的相互作用進(jìn)行分析。取Φj(j=1,2,3)分別表示流體區(qū)域ΩI、ΩII、ΩIII的流體勢(shì)函數(shù)，在柱坐標(biāo)下可將其表示為：

Φj(r,θ,z,t)=Re[φj(r,θ,z)e-iωt]

(2)

式中φj(r,θ,z)表示流體區(qū)域內(nèi)勢(shì)函數(shù)的空間表達(dá)式部分，在整個(gè)流場(chǎng)范圍內(nèi)，速度勢(shì)函數(shù)均滿足拉普拉斯方程，在本論文所設(shè)定的柱坐標(biāo)情形下，拉普拉斯方程可以轉(zhuǎn)化為[4]：

(3)

波浪與透空柱體在相互作用的過(guò)程中，將會(huì)產(chǎn)生波浪散射和輻射的作用，在流體區(qū)域內(nèi)會(huì)相應(yīng)地出現(xiàn)散射、輻射速度勢(shì)函數(shù)，因此，各流體區(qū)域內(nèi)的勢(shì)函數(shù)可認(rèn)為是各區(qū)域內(nèi)相關(guān)勢(shì)函數(shù)的合成，即：

(4)

(5)

式中：k0和ω滿足色散關(guān)系式，當(dāng)m=0時(shí)，βm=1，當(dāng)m≥1時(shí)，βm=2im。

自由表面與等深不透水底面的邊界條件為[4]：

(6)

柱體的側(cè)表面由2部分組成，即非透空表面和透空表面，因此柱體表面條件的表達(dá)式相應(yīng)地由2部分組成：

(7)

式中：v=(v1,v2,v3)分別表示透空柱體在縱蕩、垂蕩以及橫搖3個(gè)自由度上的運(yùn)動(dòng)速度，n為單位法向量，w(θ,z)為流體質(zhì)點(diǎn)穿越透空?qǐng)A柱體柱面過(guò)程中速度的空間表達(dá)式。假設(shè)透空柱體的側(cè)面厚度相對(duì)較薄，其厚度可忽略不計(jì)，流體流經(jīng)透空表面的過(guò)程滿足達(dá)西定理的條件，根據(jù)理想流體的伯努利方程，w(θ,z)正比于透空薄壁前后的壓差，即[4]：

w(θ,z)=ik0G0[φ1(a,θ,z)-φ2(a,θ,z)]

(8)

式中：G0=ρωb/(μk0)是表征透空薄壁透水性能的無(wú)量綱參數(shù)，數(shù)值越大，透水能力越強(qiáng)[15]；μ為動(dòng)力粘度；ρ為流體密度；b為長(zhǎng)度量綱的材料特性。

針對(duì)波浪與透空柱體相互作用過(guò)程中的散射速度勢(shì)和輻射速度勢(shì)的求解，流體區(qū)域ΩI的遠(yuǎn)方邊界符合Sommerfeld輻射邊界條件，即產(chǎn)生的散射波和輻射波會(huì)一直向遠(yuǎn)方傳播，不會(huì)產(chǎn)生反射現(xiàn)象，其表達(dá)式為：

(9)

式中：l=1,2,3分別代表縱蕩、垂蕩以及橫搖3種微幅振蕩運(yùn)動(dòng)模式。

在流體區(qū)域ΩI和ΩII的邊界是柱體的透空薄壁部分，根據(jù)前述假設(shè)，透空薄壁厚度可忽略不計(jì)，流體質(zhì)點(diǎn)在穿越透空?qǐng)A柱體柱面過(guò)程中，流體質(zhì)點(diǎn)的速度具有連續(xù)性，因此，該處的邊界條件可表達(dá)為：

(10)

流體區(qū)域ΩI和ΩIII處于完全貫通的狀態(tài)，因此流體勢(shì)函數(shù)及流體質(zhì)點(diǎn)的速度均具有連續(xù)性，因此該邊界處的邊界條件表達(dá)式為：

(11)

2 理論模型的解析解

2.1 波浪散射問(wèn)題

在柱坐標(biāo)下拉普拉斯方程基本解(的基礎(chǔ)上，結(jié)合邊界條件(6)和(7)，可以對(duì)流體區(qū)域ΩI內(nèi)的波浪散射流體速度勢(shì)函數(shù)求解，其表達(dá)式為：

(12)

其中：

(13)

ω2=-gkntan(knh)

(14)

根據(jù)式(4)，在不考慮波浪輻射效應(yīng)的情況下，流體區(qū)域ΩI中的速度勢(shì)函數(shù)表達(dá)式為：

(15)

(16)

式中：Bmn(m,n=0,1,2,…)是待求解的未知系數(shù)，Im(βnr)為m階經(jīng)修正的第1類貝塞爾函數(shù)，波數(shù)βn的計(jì)算公式為：

(17)

對(duì)于流體區(qū)域ΩIII而言，如圖1所示，該流域的邊界條件與區(qū)域ΩII類似，因此求解散射速度勢(shì)函數(shù)的拉普拉斯方程所用的方法相同，經(jīng)過(guò)求解，該流體區(qū)域內(nèi)的勢(shì)函數(shù)表達(dá)式為：

(18)

式中Cmn(m,n=0,1,2,…)待求解的未知系數(shù)。波數(shù)τn的計(jì)算公式為：

(19)

綜述所述，Amn、Bmn、Cmn為待求解系數(shù)，利用r=a處的邊界條件(7)、(10)和(11)，結(jié)合coskm(z+h0)、cosβm(z+h2)與cosτm(z+h0)分別在積分區(qū)間-h0≤z≤0(流體區(qū)域ΩI)、-h2≤z≤-h1(流體區(qū)域ΩII)和-h0≤z≤-h2內(nèi)的正交特性，可通過(guò)求解線性方程組的途徑對(duì)上述未知系數(shù)進(jìn)行求解。然后，可以利用伯努利方程計(jì)算透空柱體在入射波作用下所受到的波浪力，以流體區(qū)域ΩI為例，透空柱體受到的外部波浪力為：

(20)

式中P為由于波浪運(yùn)動(dòng)在柱體表面產(chǎn)生的壓力，可通過(guò)伯努利方程進(jìn)行求解。根據(jù)式(20)，透空柱體在縱蕩方向、垂蕩方向以及橫搖方向上受到的波浪力的求解表達(dá)式依次為：

(21)

(22)

(23)

式中：F3為透空浮體的傾覆力矩;(0,0,zc)為傾覆力矩的作用中心。

2.2 波浪輻射問(wèn)題

(24)

在流體區(qū)域ΩI內(nèi)，根據(jù)邊界條件(6)和(7)，可分別對(duì)透空浮體的縱蕩運(yùn)動(dòng)、垂蕩運(yùn)動(dòng)以及橫搖運(yùn)動(dòng)模式下該流域內(nèi)的勢(shì)函數(shù)進(jìn)行求解，勢(shì)函數(shù)的表達(dá)式為：

(25)

(26)

(27)

在流體區(qū)域ΩII內(nèi)，根據(jù)透空部分上下底面的非透水條件以及柱體表面邊界條件(7)，可分別對(duì)透空浮體的縱蕩運(yùn)動(dòng)、垂蕩運(yùn)動(dòng)以及橫搖運(yùn)動(dòng)模式下該流域內(nèi)的勢(shì)函數(shù)進(jìn)行求解，勢(shì)函數(shù)的表達(dá)式為：

(28)

(29)

(30)

在流體區(qū)域ΩIII內(nèi)，根據(jù)底面邊界條件(6)和透空柱體下表面的物面條件(7)，可分別對(duì)透空浮體的縱蕩運(yùn)動(dòng)、垂蕩運(yùn)動(dòng)以及橫搖運(yùn)動(dòng)模式下該流域內(nèi)的勢(shì)函數(shù)進(jìn)行求解，勢(shì)函數(shù)的表達(dá)式為：

cos (mθ)

(31)

(32)

(33)

(34)

將透空柱體單位運(yùn)動(dòng)速度的勢(shì)函數(shù)(24)代入式(34)，可得透空柱體單位運(yùn)動(dòng)速度下所受到的波浪輻射力為：

(35)

根據(jù)式(38)可以發(fā)現(xiàn)，透空柱體所受到的波浪輻射力的復(fù)數(shù)表達(dá)形式中，附加質(zhì)量系數(shù)與實(shí)部有關(guān)，阻尼系數(shù)與虛部有關(guān)，因此水動(dòng)力系數(shù)的表達(dá)式為：

(36)

(37)

(38)

(39)

式中(0,0,zc)為透空柱體橫搖的運(yùn)動(dòng)中心。

3 計(jì)算結(jié)果與分析

3.1 解析計(jì)算方法驗(yàn)證

為驗(yàn)證本論文提出的計(jì)算方法的準(zhǔn)確性，接下來(lái)需要將本論文相關(guān)計(jì)算結(jié)果與已有的研究成果進(jìn)行對(duì)比分析。當(dāng)G0=0時(shí)，透空薄壁變?yōu)閷?shí)心非透水薄壁，Williams等[4]和Bhatta[12]對(duì)該極限情況下圓柱體的波浪載荷進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算。如圖2～4所示，分別取h0/a=0.75,h2/a=0.5(圖2和圖3)和h0/a=5,h2/a=1.2(圖4)，其中縱蕩、垂蕩波浪激振力的無(wú)量綱化過(guò)程為Λl=Fl/(ρgHπa2)(l=1,2)，橫搖激振力的無(wú)量綱化過(guò)程為Λ3=F3/ρgHπa3。將本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[4]的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證本文解析計(jì)算模型的正確性。

圖2 實(shí)心圓柱體所受波浪激振力的計(jì)算結(jié)果

圖3 實(shí)心圓柱體微幅振蕩阻尼系數(shù)的計(jì)算結(jié)果

圖4 實(shí)心圓柱體微幅振蕩附加質(zhì)量系數(shù)的計(jì)算結(jié)果

3.2 散射激振力分析

在規(guī)則入射波的作用下，利用本論文構(gòu)建的理論計(jì)算模型對(duì)透空?qǐng)A柱體受到的散射激振力進(jìn)行計(jì)算，在計(jì)算的過(guò)程中，設(shè)初始輸入條件為，h0/a=6,h2/a=2,h1/a=0.5透空系數(shù)分別取0.5、5.0和10.0。分析不同透空系數(shù)對(duì)散射激振力的影響規(guī)律，結(jié)果如圖5所示。透空系數(shù)對(duì)波浪激振力的影響主要集中在入射波長(zhǎng)波較大的情形，尤其是對(duì)縱蕩和橫搖波浪激振力峰值影響較為顯著，這對(duì)工程應(yīng)用非常重要。隨著透水能力的增強(qiáng)，透空薄壁的有效波浪作用面積將會(huì)變小，因此3個(gè)自由度方向上的散射激振力均會(huì)變小，相比較而言，垂蕩激振力的降低幅度最小，橫搖力矩的變化最為復(fù)雜，需要在工程應(yīng)用中引起重視。

圖5 不同透空系數(shù)對(duì)散射激振力的影響

3.3 微幅振蕩響應(yīng)特性分析

在規(guī)則入射波作用下，利用本論文所構(gòu)建的理論解析計(jì)算模型對(duì)透空?qǐng)A柱體微幅振蕩運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的水動(dòng)力系數(shù)(附加質(zhì)量系數(shù)和阻尼系數(shù))進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如圖6～8所示，在計(jì)算的過(guò)程中，圖(a)所示的無(wú)量綱附加質(zhì)量系數(shù)計(jì)算結(jié)果的初始輸入條件為h0/a=5.0,h2/a=1.2,h1/a=0.5；圖(b)所示無(wú)量綱阻尼系數(shù)計(jì)算結(jié)果的初始輸入條件為h0/a=3.0,h2/a=1.0,h1/a=0.5；透空系數(shù)分別取0、5.0和10.0。

圖6 不同透空系數(shù)下縱蕩水動(dòng)力系數(shù)的變化趨勢(shì)

圖7 不同透空系數(shù)下垂蕩水動(dòng)力系數(shù)的變化趨勢(shì)

在入射波的激勵(lì)下，隨著透空系數(shù)的增加，透空薄壁的有效迎浪面積減小，浮體系統(tǒng)受到的波浪激振力也隨之減小，導(dǎo)致3個(gè)自由度(縱蕩、垂蕩以及橫搖)上的附加質(zhì)量系數(shù)(圖6～8中的(a)圖)均呈現(xiàn)出減小的趨勢(shì)，而且在不同的入射波波長(zhǎng)范圍內(nèi)，減小的幅度基本一致，即對(duì)入射波波長(zhǎng)不敏感，這對(duì)于維護(hù)透空?qǐng)A柱體的穩(wěn)定性具有重要意義。阻尼系數(shù)的變化則相對(duì)復(fù)雜，整體來(lái)看，增加透空薄壁以后，阻尼系數(shù)呈現(xiàn)出增加的趨勢(shì)；對(duì)于縱蕩阻尼系數(shù)而言，透空系數(shù)只有在某一段入射波波長(zhǎng)范圍內(nèi)才會(huì)對(duì)阻尼系數(shù)產(chǎn)生較為明顯的影響(下降)，且越接近阻尼系數(shù)的峰值，這種影響作用就越為明顯；在垂蕩方向上，透水能力增加以后，在不同的入射波波長(zhǎng)范圍內(nèi)阻尼系數(shù)的增加率也不相同，當(dāng)入射波波長(zhǎng)較小時(shí)，透水能力的增加反而會(huì)降低阻尼系數(shù)，這一點(diǎn)需要引起注意；在橫搖方向上，阻尼系數(shù)隨入射波波長(zhǎng)的變化趨勢(shì)存在明顯不同，甚至是相反的情況，在波長(zhǎng)較大或較小時(shí)透水能力的增加會(huì)導(dǎo)致阻尼系數(shù)的上升，但在中間某波長(zhǎng)范圍內(nèi)透空?qǐng)A柱體的透水能力越強(qiáng)，橫搖阻尼系數(shù)反而會(huì)變小。

圖8 不同透空系數(shù)下橫搖水動(dòng)力系數(shù)的變化趨勢(shì)

4 結(jié)論

1)透空薄壁只能在入射波低頻范圍內(nèi)能夠顯著降低圓柱體體所受到的縱蕩和橫搖波浪力(矩)，對(duì)垂蕩波浪力影響作用較小。

2)從整體上看，透空薄壁能夠較好地改善圓柱形結(jié)構(gòu)物的水動(dòng)力性能，尤其是附加質(zhì)量系數(shù)的改善較為明顯，且對(duì)入射波波長(zhǎng)不敏感，這對(duì)于維護(hù)透空?qǐng)A柱體的穩(wěn)定性具有重要意義。

3)隨著透空薄壁透水能力的增大，圓柱形結(jié)構(gòu)物微幅振蕩阻尼系數(shù)的峰值呈增大趨勢(shì)，且透空系數(shù)越大，阻尼系數(shù)峰值的增加也越明顯。

本文的研究成果為透空薄壁在浮式圓柱形結(jié)構(gòu)物領(lǐng)域中的工程應(yīng)用奠定了一定的理論分析基礎(chǔ)，可為下一步開(kāi)展物理模型試驗(yàn)提供一定的理論指導(dǎo)。同時(shí)，本文設(shè)定的理論計(jì)算條件與工程實(shí)際存在一定差異，下一步可針對(duì)非線性/隨機(jī)波浪作用下透空?qǐng)A柱體在六自由度空間內(nèi)的波浪水動(dòng)力性能開(kāi)展數(shù)值分析工作。