李明儒， 徐聰， 齊征， 趙愛紅， 吳限德， 王劍穎

(1.中山大學(xué) 航空航天學(xué)院，廣東 廣州 510275； 2.北京臨近空間飛行器系統(tǒng)工程研究所， 北京 100076； 3.哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

火星是太陽系中離地球最近的一顆類地行星，因此它一直是人類行星探測的首選目標(biāo)?；鹦翘綔y對于人類認(rèn)識(shí)和了解類地行星的演化過程、氣候變化的成因以及探索生命的起源都具有重大的參考價(jià)值[1]。關(guān)于火星探測的諸多方面中，火星大氣電離層是必須了解的火星電磁環(huán)境，因?yàn)槠渲苯雨P(guān)系到地球與火星之間的通信、火星當(dāng)?shù)氐耐ㄐ诺戎匾顒?dòng)[2]。除此之外，研究火星大氣電離層對于利用雷達(dá)在火星上找水源是極其重要的，因此火星大氣電離層探測研究具有重要的理論意義和工程價(jià)值。

火星大氣電離層探測的方式大致可分為直接探測和間接探測2種。直接探測是采用空間飛行器作為載體，將探測裝置攜帶到電離層中對其進(jìn)行直接測量；間接探測是采用人工發(fā)射機(jī)發(fā)射的電磁波，經(jīng)過電離層傳播時(shí)與等離子體相互作用產(chǎn)生電磁效應(yīng)，進(jìn)而間接地推算出電離層特性參量。但直接探測存在觀測時(shí)間短、探測區(qū)域片面等問題；間接探測則空間分辨率低，無法探測到火星電離層中的精細(xì)結(jié)構(gòu)，且可探測的電離層太陽天頂角范圍受到地球與火星軌道的限制。

針對上述探測方式存在的不足，本文提出一種基于升力體飛行器的穿刺探測方法。該方法采用升力體飛行器作為載體，依靠氣動(dòng)力在火星大氣層內(nèi)外往復(fù)穿刺飛行，實(shí)現(xiàn)對電離層的探測，同時(shí)采用氣動(dòng)力輔助變軌的思想，改變穿刺探測飛行軌道，實(shí)現(xiàn)對火星大氣層全方位的探測，為獲得穩(wěn)定、全面且準(zhǔn)確的探測數(shù)據(jù)提供支撐。20世紀(jì)60年代，London[3]在關(guān)于變軌問題的論文中提出了氣動(dòng)力輔助變軌的概念。隨后國外有許多學(xué)者對氣動(dòng)捕獲進(jìn)行了研究，Cruz[4]提出了氣動(dòng)捕獲任務(wù)設(shè)計(jì)的概念。French等[5]提出了將氣動(dòng)捕獲用于行星際探測任務(wù)。Vaughan等[6]研究了火星氣動(dòng)捕獲過程的軌道特性。近些年我國也有相關(guān)人員對此問題進(jìn)行了研究，符俊等[7]針對共面橢圓軌道轉(zhuǎn)移問題，采用Gauss偽譜法進(jìn)行了氣動(dòng)力輔助最優(yōu)轉(zhuǎn)移研究。姬聰云等[8]針對微小衛(wèi)星在變軌問題中的難點(diǎn)，采用Gauss偽譜法進(jìn)行了微小衛(wèi)星氣動(dòng)力輔助變軌研究。唐青原等[9]針對火星大氣密度低、大氣不確定性強(qiáng)等問題，采用基于預(yù)測校正制導(dǎo)的組合式制導(dǎo)方法進(jìn)行了火星氣動(dòng)捕獲制導(dǎo)研究。上述文獻(xiàn)大多關(guān)注于飛行器穿越一次大氣層進(jìn)行軌道改變的問題，雖然也有部分文獻(xiàn)提到飛行器多次穿越大氣層進(jìn)行變軌，但是其變軌目標(biāo)和被控對象均與本文研究的對象不同，因此無法直接應(yīng)用于穿刺探測飛行。

針對火星大氣電離層穿刺探測飛行的動(dòng)力學(xué)建模與軌跡優(yōu)化問題，本文首先基于升力體飛行器的氣動(dòng)輔助變軌特性，提出多次改變近地點(diǎn)幅角的穿刺探測飛行任務(wù)模式；其次，建立升力體飛行器穿刺探測的動(dòng)力學(xué)模型，通過聯(lián)立軌道動(dòng)力學(xué)方程與彈道動(dòng)力學(xué)方程，推導(dǎo)彈道參數(shù)與軌道六根數(shù)間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，獲取大氣層內(nèi)外的飛行動(dòng)力學(xué)。進(jìn)一步，采用Guass偽譜法進(jìn)行軌跡優(yōu)化，給出多次改變近地點(diǎn)幅角飛行軌跡的目標(biāo)函數(shù)、優(yōu)化變量和約束條件等。最后，通過數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證本文方法的有效性。

1 多次改變近地點(diǎn)幅角的穿刺探測飛行任務(wù)描述

考慮升力體滑翔飛行器對火星大氣層采用“再入點(diǎn)進(jìn)入大氣——?dú)鈩?dòng)輔助變軌——彈出大氣進(jìn)入新軌道”的往復(fù)穿刺探測飛行模式，如圖1所示。每次進(jìn)入火星大氣層時(shí)，利用大氣層內(nèi)飛行段進(jìn)行電離層探測，同時(shí)利用氣動(dòng)力改變飛出大氣層入軌點(diǎn)的參數(shù)，使得軌道近地點(diǎn)幅角發(fā)生改變，軌道相位進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而保證再次進(jìn)入大氣層時(shí)，能夠?qū)Σ煌瑓^(qū)域的電離層進(jìn)行探測。該穿刺飛行模式能夠保證飛行器在有限次進(jìn)入大氣層的情況下完成對火星半球的電離層探測，因?yàn)榛鹦谴髿饩哂袑ΨQ性，因此可以實(shí)現(xiàn)火星大氣電離層的完整探測。同時(shí)飛行器在穿刺探測后仍然能夠進(jìn)入空間軌道，保證了信息傳輸?shù)挠行馈?/p>

圖1 穿刺探測示意

根據(jù)穿刺探測飛行任務(wù)，升力體飛行器需要在火星大氣層內(nèi)外進(jìn)行多次穿刺飛行，利用氣動(dòng)力改變近地點(diǎn)幅角進(jìn)而實(shí)現(xiàn)不同區(qū)域的探測。為了實(shí)現(xiàn)對火星大氣的全方位探測，考慮到火星大氣的對稱性，多次穿刺飛行的近地點(diǎn)幅角改變量不少于180°。

2 穿刺探測飛行動(dòng)力學(xué)模型

2.1 大氣層內(nèi)外動(dòng)力學(xué)模型

考慮升力體滑翔飛行器在火星大氣內(nèi)外穿刺飛行的過程中，飛行器僅依靠氣動(dòng)力在火星大氣層內(nèi)進(jìn)行滑翔飛行，所以飛行器主要受到空氣動(dòng)力及火星與飛行器間的萬有引力作用。此外，本文分析中不考慮火星自轉(zhuǎn)。根據(jù)該假設(shè)可以得到飛行器大氣層內(nèi)無動(dòng)力三自由度再入運(yùn)動(dòng)方程為[10]：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：r、θ、φ分別為火心距、經(jīng)度、緯度；v、γ、ψ分別為飛行器的速度、速度傾角、速度偏角；m、S分別為飛行器的質(zhì)量、有效截面積；g、ρ、α分別為重力加速度、火星大氣密度、攻角；D、L分別為阻力、升力。

火心距r、經(jīng)度θ和緯度φ這3個(gè)位置參數(shù)在火心球面固連坐標(biāo)系中描述。速度參數(shù)由速度大小v、速度傾角γ和速度偏角ψ確定。運(yùn)動(dòng)參數(shù)在圖2表示，圖中O-XYZ為火心固連坐標(biāo)系，O-xyz為飛行器位置坐標(biāo)系[11]。

圖2 運(yùn)動(dòng)參數(shù)示意

當(dāng)飛行器飛出火星大氣層后，大氣密度為0，飛行器的升力和阻力也隨即消失，即式(4)和(5)中的D和L分別等于0。

2.2 彈道參數(shù)與軌道參數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系

對火星大氣電離層進(jìn)行穿刺探測，飛行器需要在火星大氣層內(nèi)外往復(fù)飛行，是一個(gè)涉及彈道參數(shù)、軌道六根數(shù)以及其相互轉(zhuǎn)換的問題，本節(jié)通過聯(lián)立方程建立彈道參數(shù)與軌道六根數(shù)間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

2.2.1 由彈道參數(shù)轉(zhuǎn)換軌道參數(shù)

已知彈道參數(shù)，根據(jù)式(7)和式(8)可求得半長軸a和偏心率e[12]：

(7)

(8)

(9)

式中μ為火星引力常數(shù)。

由式(9)可知：

(10)

h=rvcosγ

(11)

(12)

將式(11)代入式(12)，可得：

(13)

將式(13)代入式(10)，有：

(14)

因此由式(14)可得真近點(diǎn)角f為：

(15)

根據(jù)圖3中的球面幾何關(guān)系，可得軌道傾角i為：

i=arccos(cosφsinψ)

(16)

另有：

(17)

因此由式(17)可得升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω為：

(18)

根據(jù)圖3中的球面幾何關(guān)系，還可知：

圖3 慣性坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系

(19)

(20)

因此由式(15)和式(20)可得近地點(diǎn)幅角ω為：

(21)

2.2.2 由軌道參數(shù)轉(zhuǎn)換彈道參數(shù)

已知軌道六根數(shù)，根據(jù)軌道方程和活力公式，可以求得火心距r和速度v[12]:

(22)

(23)

由偏心率e和真近點(diǎn)角f可得速度傾角γ為：

(24)

根據(jù)圖3中的球面幾何關(guān)系，可得緯度φ為：

φ=arcsin(sinisin(f+ω))

(25)

(26)

因此，由式(26)可得經(jīng)度θ為：

(27)

又有：

(28)

因此，由式(28)可得速度偏角ψ為：

(29)

3 基于Gauss偽譜法的穿刺探測軌跡優(yōu)化方法

3.1 目標(biāo)函數(shù)

要想實(shí)現(xiàn)對火星大氣電離層的完整探測，升力體飛行器需要在火星大氣層內(nèi)外多次往復(fù)穿刺飛行。因此，飛行器所具有的能量是決定其能否完成多次穿刺飛行的關(guān)鍵，所以，再入軌跡優(yōu)化的一個(gè)重要目標(biāo)就是使飛行器每次飛出大氣層時(shí)的速度達(dá)到最大，即性能指標(biāo)函數(shù)為：

J=-vf

(30)

式中vf代表飛行器每次飛出大氣層時(shí)的速度。

3.2 優(yōu)化變量

優(yōu)化變量如何選取是本文重點(diǎn)研究的內(nèi)容之一。首先，推導(dǎo)近地點(diǎn)幅角方程，得到近地點(diǎn)幅角和彈道參數(shù)的關(guān)系。隨后，進(jìn)行參數(shù)敏感性分析，將對近地點(diǎn)幅角敏感度最大的參數(shù)選為優(yōu)化變量。

3.2.1 近地點(diǎn)幅角方程

根據(jù)穿刺探測飛行任務(wù)，飛行器需要在火星大氣層內(nèi)外進(jìn)行6次穿刺飛行，利用氣動(dòng)力改變近地點(diǎn)幅角進(jìn)而實(shí)現(xiàn)不同區(qū)域的探測。因此，如何設(shè)計(jì)穿刺探測中大氣層內(nèi)飛行的終端條件十分重要。為分析設(shè)計(jì)該終端條件，首先構(gòu)建近地點(diǎn)幅角方程：

將式(14)代入式(15)中可得：

(31)

將式(19)代入式(20)中可得：

(32)

將式(16)代入式(31)中可得：

(33)

將式(31)和式(33)代入式(21)中，可以得近地點(diǎn)幅角ω關(guān)于彈道參數(shù)的關(guān)系式：

(34)

由式(34)可以看出，近地點(diǎn)幅角ω與火心距r、緯度φ、速度v、速度傾角γ以及速度偏角ψ5個(gè)彈道參數(shù)相關(guān)，并且與火心距r、緯度φ、速度偏角ψ、速度v的平方以及速度傾角γ的平方是反三角函數(shù)的關(guān)系。因此需要進(jìn)一步分析近地點(diǎn)幅角ω局部靈敏度，以明確優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)。

3.2.2 參數(shù)敏感性分析

由前一節(jié)分析可知，近地點(diǎn)幅角的優(yōu)化是一個(gè)涉及多變量優(yōu)化的問題[13]。為了開展優(yōu)化工作，采用直接求導(dǎo)法對近地點(diǎn)幅角進(jìn)行局部靈敏度分析。

1)近地點(diǎn)幅角ω對緯度φ的敏感度：

(35)

2)近地點(diǎn)幅角ω對速度偏角ψ的敏感度：

(36)

3)近地點(diǎn)幅角ω對速度v的敏感度：

(37)

4)近地點(diǎn)幅角ω對速度傾角γ的敏感度：

(38)

在一定的彈道參數(shù)范圍內(nèi)，并在同一量度下分析參數(shù)敏感度，具體分析結(jié)果如下。

從圖4～7中可以看出，近地點(diǎn)幅角ω對速度傾角γ求偏導(dǎo)的最大值是18.318 3，對緯度φ求偏導(dǎo)的最大值是11.544 3，對速度偏角ψ求偏導(dǎo)的最大值是11.505，對速度v求偏導(dǎo)的最大值是0.016 560 9。因此，速度傾角γ對近地點(diǎn)幅角ω的影響最大，所以將其設(shè)為優(yōu)化變量。

圖4 近地點(diǎn)幅角ω對緯度φ的敏感度

圖5 近地點(diǎn)幅角ω對速度偏角ψ的敏感度

3.3 約束條件

根據(jù)穿刺探測共面軌道的約束，采用固定變量法分析建立終端狀態(tài)約束條件，具體建立過程為：

i=arccos(cosφsinψ)

(39)

(40)

由式(40)可以看出，當(dāng)穿刺探測軌道的傾角i確定后，飛出點(diǎn)的速度偏角ψ只與緯度φ有關(guān)。

(41)

圖6 近地點(diǎn)幅角ω對速度v的敏感度

圖7 近地點(diǎn)幅角ω對速度傾角γ的敏感度

根據(jù)式(39)可以求出cosψ的表達(dá)式：

(42)

將式(42)代入式(41)中，可得：

(43)

由式(43)可以看出，當(dāng)穿刺探測軌道的升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω確定后，飛出點(diǎn)的經(jīng)度θ只與緯度φ有關(guān)。

(44)

(45)

將式(42)代入式(45)中可得：

(46)

由上面的分析可以看出，當(dāng)飛出點(diǎn)的火心距r、軌道傾角i以及近地點(diǎn)幅角ω確定后，選定飛出點(diǎn)的緯度φ，經(jīng)度θ和速度偏角ψ均能唯一確定，即終端位置確定，并且飛出點(diǎn)的速度v只與速度傾角γ有關(guān)。

至此，軌跡優(yōu)化問題的完整模型可以根據(jù)上述分析確定，通過選定不同的飛出點(diǎn)緯度φ，明確飛行器飛出大氣層時(shí)的位置，即確定終端狀態(tài)約束條件，同時(shí)，將速度傾角γ設(shè)為優(yōu)化變量，飛出點(diǎn)的速度vf設(shè)為優(yōu)化目標(biāo)，即可對穿刺探測飛行軌跡進(jìn)行優(yōu)化。

3.4 基于Gauss偽譜法的穿刺探測軌跡優(yōu)化方法

Gauss偽譜法采用Legendre多項(xiàng)式的根作為離散點(diǎn)，并將控制變量以及狀態(tài)變量同時(shí)離散化，進(jìn)而將彈道優(yōu)化的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化成非線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解。

設(shè)最優(yōu)控制問題的時(shí)間區(qū)間為[t0,tf]，采用Gauss偽譜法則需將時(shí)間區(qū)間轉(zhuǎn)換到[-1, 1]，因此對時(shí)間變量t作變換：

(47)

Gauss偽譜法的離散點(diǎn)為N階Legendre多項(xiàng)式的根，Legendre多項(xiàng)式為：

(48)

Legendre-Gauss點(diǎn)分布在區(qū)間(-1, 1)，增加τ0=-1，得到區(qū)間[-1, 1)，共N+1個(gè)插值點(diǎn)。以Lagrange插值多項(xiàng)式作為基函數(shù)描述控制變量以及狀態(tài)變量：

(49)

狀態(tài)變量的一階微分可以通過對式(49)求導(dǎo)來近似得到，同時(shí)將動(dòng)力學(xué)微分方程約束轉(zhuǎn)化為代數(shù)約束。

(50)

所以動(dòng)力學(xué)方程滿足：

(51)

式中n=1,2,…,N。

終端狀態(tài)Xf可通過拉格朗日積分得到：

U(τn),τn;t0,tf]

(52)

Gauss偽譜法中的性能指標(biāo)函數(shù)為：

(53)

將連續(xù)系統(tǒng)離散化之后，最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換成非線性規(guī)劃問題，再利用序列二次規(guī)劃算法進(jìn)行尋優(yōu)，即可得到需要的再入軌跡。

4 數(shù)學(xué)仿真及結(jié)果分析

本節(jié)基于Gauss偽譜法優(yōu)化理論[14-18]對所構(gòu)建的動(dòng)力學(xué)模型以及參數(shù)關(guān)系進(jìn)行仿真驗(yàn)證，具體仿真參數(shù)以及仿真結(jié)果如表1。

表1 火星環(huán)境參數(shù)和飛行器參數(shù)

另外，火星大氣層十分稀薄，大氣密度不到地球的1%，本文認(rèn)為火星大氣高度在高于100 km后不受大氣影響。

飛行器的初始軌道六根數(shù)以及彈道參數(shù)如表2所示。

表2 初始軌道六根數(shù)以及彈道參數(shù)

表2中，初始軌道的遠(yuǎn)火點(diǎn)選擇在火星大氣層外，且半徑為ra=6.5×106m，近火點(diǎn)選擇在大氣層內(nèi)，且半徑為rp=3.427×106m，飛行器的真近點(diǎn)角選擇為剛進(jìn)入火星大氣層時(shí)的位置，且真近點(diǎn)角為f=334.63°，火心距r=3 496 996.38 m。

為了實(shí)現(xiàn)對火星大氣全方位探測，本文設(shè)置升力體飛行器6次穿越大氣，每次近地點(diǎn)幅角改變量不小于30°，近地點(diǎn)幅角總改變量不小于180°。通過本文構(gòu)建的動(dòng)力學(xué)模型以及參數(shù)方程，進(jìn)行仿真分析，具體仿真圖像如圖8～13所示。

圖8 穿刺探測飛行軌道

圖9 高度h與時(shí)間t的關(guān)系

圖10 速度v與時(shí)間t的關(guān)系

圖11 速度傾角γ與時(shí)間t的關(guān)系

圖12 攻角α與時(shí)間t的關(guān)系

圖13 法向過載ny與時(shí)間t的關(guān)系

結(jié)合表3和4能看出，飛行器完成了火星大氣層內(nèi)外6次穿刺探測飛行。此外，飛行器能在火星大氣層內(nèi)長時(shí)間無動(dòng)力滑翔飛行，每次探測軌道的近火點(diǎn)半徑以及近地點(diǎn)幅角均會(huì)發(fā)生改變，且6次穿刺探測飛行近地點(diǎn)幅角的改變量均不低于30°，近地點(diǎn)幅角總共改變了190.4°，再根據(jù)火星大氣的對稱性，因此可以實(shí)現(xiàn)火星大氣電離層的完整探測。

表3 基于Gauss偽譜法穿刺飛行軌跡優(yōu)化仿真結(jié)果

表4 穿刺探測軌道每圈的軌道參數(shù)

5 結(jié)論

1)所構(gòu)建的軌道-彈道動(dòng)力學(xué)模型以及參數(shù)方程是正確有效的，為火星大氣電離層穿刺探測飛行提供了模型基礎(chǔ)。

2)建立多次改變近地點(diǎn)幅角的軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，通過敏感性分析方法確定優(yōu)化變量和終端狀態(tài)約束條件，為火星大氣電離層穿刺探測飛行提供了可行的理論方法。

3)提出基于Gauss偽譜法的穿刺探測軌跡優(yōu)化方法，并通過仿真驗(yàn)證飛行器能夠完成火星大氣層內(nèi)外6次穿刺探測飛行，并且近地點(diǎn)幅角的改變量滿足任務(wù)要求，實(shí)現(xiàn)了對火星大氣的完整探測。