吳啟霞

【摘要】通過GeoGebra軟件與高中數(shù)學(xué)問題解決課堂教學(xué)深度融合，讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決教學(xué)的問題提出、猜想和證明過程，借助信息技術(shù)，激發(fā)學(xué)生探究學(xué)習(xí)的興趣，有效提高課堂教學(xué)效率.

【關(guān)鍵詞】GeoGebra;問題解決;課堂教學(xué)

1 教學(xué)背景

2022年3月14日至18日，廣東省清遠(yuǎn)市華僑中學(xué)舉行了青年教師優(yōu)質(zhì)課評(píng)比.3月15日上午，筆者的參賽公開課選自新教材人教A版普通高中數(shù)學(xué)（必修第一冊(cè)）第五章三角函數(shù)第六節(jié)“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）”.在教學(xué)過程中，筆者以問題解決為導(dǎo)向，融入GeoGebra教學(xué)軟件進(jìn)行整合教學(xué)，教學(xué)效果甚好，獲得了評(píng)委以及聽課教師們的一致好評(píng).

2 教學(xué)分析

“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）”是在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)三角函數(shù)圖象的形狀特點(diǎn)有了初步認(rèn)識(shí)之后的一節(jié)內(nèi)容，具有較強(qiáng)的綜合性.由y=sinx到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）的圖象變換過程中有一定的復(fù)雜性，本節(jié)課通過現(xiàn)實(shí)問題情境筒車盛水問題建構(gòu)函數(shù)模型引入，遵循具體到抽象的原則，讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)源起于生活實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界.其中φ、ω、A三個(gè)量的不同變化順序?qū)D象的影響是教學(xué)的重難點(diǎn)，筆者利用GGB動(dòng)態(tài)教學(xué)軟件對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行融合，通過數(shù)形結(jié)合的思想方法控制參數(shù)的取值，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的形式去揭示這些參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響，從特殊到一般，動(dòng)態(tài)分解，直觀地對(duì)圖象變換規(guī)律進(jìn)行探索，讓學(xué)生歷經(jīng)由特殊到一般的化歸思想，進(jìn)而突破教學(xué)難點(diǎn)，最后再對(duì)y=Asin（ωx+φ）圖象的整體進(jìn)行考察.從問題解決的角度看，能讓學(xué)生學(xué)會(huì)通過抓住問題的主要矛盾去解決數(shù)學(xué)問題的基本思想方法，這樣復(fù)雜的問題也就不復(fù)雜了.而通過對(duì)參數(shù)φ、ω、A的分類討論則能夠較好的提高學(xué)生的分析推理能力，也更加注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 教學(xué)過程

3.1 創(chuàng)設(shè)情境，興趣導(dǎo)入

問題1 請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀課本第231-232頁(yè)，并回答以下問題：

從數(shù)學(xué)的角度看：如圖1所示，筒車工作時(shí)，與盛水筒運(yùn)動(dòng)有關(guān)的量有哪些呢？這些量之間又有著怎樣的關(guān)系？

設(shè)置意圖 筒車上盛水筒的運(yùn)動(dòng)具有周期性，因此通過現(xiàn)實(shí)生活中的一些周期性的現(xiàn)象和規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生試用三角函數(shù)的模型來刻畫盛水筒的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.[1]

問題2 如圖2，我們將筒車抽象成為一個(gè)平面幾何圖形，設(shè)經(jīng)過時(shí)間t后，筒車上面的盛水筒從初始位置P0開始運(yùn)動(dòng)到某位置P.根據(jù)筒車的工作原理可知，此盛水筒與水面距離的高度值為H，我們將可得到怎樣的數(shù)學(xué)模型？

設(shè)置意圖 新課標(biāo)理念注重情景教學(xué)，此環(huán)節(jié)通過問題情境實(shí)例引入課題，遵循新課標(biāo)理念，引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材，通過筒車這個(gè)模型，讓學(xué)生通過小組討論，提出個(gè)人觀點(diǎn)，交流古代筒車的發(fā)明與作用，得到盛水筒距離水面的高度H與時(shí)間t的關(guān)系是H=rsin（ωt+φ）+h，從而自然地引出要研究的數(shù)學(xué)模型y=Asin（ωx+φ）.

3.2 構(gòu)建問題，探尋解決

問題3 我們利用三角函數(shù)函數(shù)的知識(shí)建立了一個(gè)形如y=Asin（ωx+φ）的函數(shù)，它與函數(shù)y=sinx有什么差異呢？變化的參數(shù)又有哪些？

設(shè)置意圖 讓學(xué)生觀察函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的表達(dá)式與正弦函數(shù)y=sinx的表達(dá)式，去發(fā)現(xiàn)它們之間存在的差異，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)有參數(shù)φ，ω，A這3個(gè)參數(shù)，而y=sinx是其中一種比較特殊的情況，即當(dāng)φ=0，ω=1，A=1.

問題4 請(qǐng)同學(xué)們思考一下這樣的問題：針對(duì)于正弦函數(shù)y=sinx，當(dāng)其中的一個(gè)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，將會(huì)有怎樣的函數(shù)出現(xiàn)呢？

設(shè)置意圖 引導(dǎo)學(xué)生去思考3種函數(shù)：y=sin（x+φ），y=sinωx，y=Asinx .

問題5 你認(rèn)為可以怎樣討論參數(shù)φ，ω，A對(duì)y=Asin（ωx+φ）的圖象影響？

設(shè)置意圖 使學(xué)生明白有多個(gè)參數(shù)時(shí)可以分類討論，先“各個(gè)突破”，然后“歸納整合”.

3.3 GGB融合助力，深度探究

以下借助信息技術(shù)GGB繪圖進(jìn)行整合教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，以學(xué)習(xí)小組為單位，合作探究，得出參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象的影響，并且歸納出圖象變換后的性質(zhì)，在動(dòng)態(tài)演示圖象變換過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象變化過程中那些不變量.

第一類探究參數(shù)φ對(duì)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響

問題6 ?在函數(shù)y=sinx和y=sin（x+π6）的這兩個(gè)圖象上分別選取一縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)，并同時(shí)移動(dòng)這兩個(gè)點(diǎn)，試觀察它們的橫坐標(biāo)變化情況，你是否能從中發(fā)現(xiàn)φ對(duì)函數(shù)圖象的位置有著怎樣的影響？這兩個(gè)圖象有什么關(guān)系？

設(shè)置意圖 借助GGB軟件融入整合問題解決教學(xué)，通過動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)演示變換過程，遵循從具體到一般，讓參數(shù)“動(dòng)起來”，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察函數(shù)圖象變化過程中的不變量，師生共同交流得出y=sinx和y=sin（x+π6）的圖象上點(diǎn)之間坐標(biāo)的關(guān)系，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到φ對(duì)函數(shù)y=sin（x+φ）的圖象的影響，并得出它們的橫坐標(biāo)總相等的結(jié)論.[2]

問題7 對(duì)任意φ取不同的值，畫出y=sin（x+φ）的圖象，看看與y=sinx的圖象是否有類似的關(guān)系？

此環(huán)節(jié)，教師借助GGB軟件做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生觀察φ取不同值時(shí)，函數(shù)y=sin（x+φ）的圖象，并探究它與y=sinx的圖象的關(guān)系，看看是否仍有上述結(jié)論？

設(shè)置意圖 使學(xué)生獲得更多的關(guān)于φ對(duì)y=sin（x+φ）的圖象的影響的動(dòng)手實(shí)踐經(jīng)驗(yàn).

問題8 請(qǐng)同學(xué)們概括一下如何從y=sinx的圖象出發(fā)，經(jīng)過圖象的變換得到y(tǒng)=sin（x+φ）的函數(shù)圖象？

設(shè)置意圖 通過GGB軟件整合設(shè)置數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，讓學(xué)生觀察到，當(dāng)φ取其他的值也有類似的情況，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生通過自己概括認(rèn)識(shí)到φ對(duì)y=sin（x+φ）圖象的影響.

第二類探究參數(shù)ω對(duì)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響

問題9 你能用上述的研究方法，討論一下參數(shù)ω對(duì)函數(shù)和y=sin（ωx+π6）的圖象的影響嗎？

設(shè)置意圖 教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有研究經(jīng)驗(yàn)，借助GGB軟件研究參數(shù)ω對(duì)y=sin（2x+π6）及其y=sin（12x+π6）圖象的影響.從特殊到一般，此環(huán)節(jié)讓學(xué)生以小組合作方式獨(dú)立完成，教師可以作適當(dāng)指導(dǎo)，并提醒學(xué)生遵循從具體到一般的思路去嘗試獲得結(jié)論，并與教材相關(guān)段落對(duì)照.獲得ω對(duì)函數(shù)y=sin（ωx+π6）的圖象的影響的深刻認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步熟悉掌握研究方法，突破難點(diǎn)，熟悉ω對(duì)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響.

設(shè)置意圖 教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)參數(shù)ω對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象的影響，學(xué)生小組合作探索，總結(jié)學(xué)生展示，教師補(bǔ)充完善得出結(jié)論.

第三類探究參數(shù)A對(duì)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響

問題10 你能討論一下參數(shù)A對(duì)y=2sin（2x+π6）的圖象的影響嗎？y=12sin（2x+π6）的圖象又是怎樣的呢？

設(shè)置意圖 此環(huán)節(jié)師生互動(dòng)，教師指派一名學(xué)生借助GGB分別作出A=2以及A=12時(shí)函數(shù)的圖象，并觀察與y=Asin（ωx+φ）的圖象之間的關(guān)系，學(xué)生作圖，并觀察變化規(guī)律引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，并與教材相關(guān)段落對(duì)照.

第四類探究y=sinx與y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）圖象之間的變換關(guān)系.

問題11 由y=sinx的圖象得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）的圖象的變換，參數(shù)的變換順序?yàn)棣铡亍鶤.

（1）請(qǐng)同學(xué)們思考：還有其他的變換方法嗎？

（2）若參數(shù)的變換順序?yàn)棣亍铡鶤，則圖象變換的規(guī)律是怎樣的？

設(shè)置意圖 教師提出問題（1），學(xué)生回答后給出評(píng)價(jià).學(xué)生思考問題（1），討論、交流、回答.教師讓學(xué)生思考問題（2），先探究按下列順序y=sinx→y=sinωx→y=sin（2x+π3）→y=3sin（2x+π3）進(jìn)行圖象變換的規(guī)律，讓學(xué)生回答探究結(jié)果共同歸納變換順序?yàn)棣亍铡鶤（ω>0）的圖象的變換規(guī)律.

此環(huán)節(jié)運(yùn)用GGB進(jìn)行動(dòng)畫演示，最后通過“動(dòng)”起來的圖象，學(xué)生歸納總結(jié)出：由函數(shù)y=sinx的圖象得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象的兩種途徑，使學(xué)生掌握由y=sinx的圖象變換得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）的圖象的變換方法，較好的提升學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng).

4 教學(xué)感悟與提升

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，總會(huì)遇到一些疑難、抽象的數(shù)學(xué)問題，除教師用語(yǔ)言引導(dǎo)，如果能利用信息技術(shù)加以深度的融合，進(jìn)行動(dòng)態(tài)的視覺沖擊，這樣就能達(dá)到更好的效果.因?yàn)樾畔⒓夹g(shù)的使用能有效地降低了教學(xué)的難度，它能把以往教學(xué)中作圖利用的大量時(shí)間轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的理解.[3]筆者在三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換這一節(jié)教學(xué)中，融合了GGB軟件輔助，本節(jié)課以課例演示為主，學(xué)生小組合作操作，通過從正弦函數(shù)圖象與特殊函數(shù)（參數(shù)取某個(gè)定值）圖象進(jìn)行對(duì)比，得出相關(guān)結(jié)論.[4]當(dāng)參數(shù)值發(fā)生變化時(shí)，函數(shù)圖象也隨著參數(shù)的變化而變化.

筆者將參數(shù)φ、ω、A的變化分為三類進(jìn)行討論研究，例如，在研究“函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象”時(shí)，利用滾動(dòng)條構(gòu)造三個(gè)參量A、ω、φ，并建立含參函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（如圖3），通過鼠標(biāo)拖動(dòng)，產(chǎn)生動(dòng)態(tài)的變換效果，讓學(xué)生直接感受到三個(gè)參變量對(duì)函數(shù)的圖象的影響，并直接從數(shù)值的變化中找到數(shù)量上的關(guān)系，再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析其背后所隱藏的數(shù)學(xué)邏輯，進(jìn)而掌握函數(shù)圖象的變換問題.

在對(duì)學(xué)生一步一步地引導(dǎo)，層層演示，數(shù)形結(jié)合過程中，讓學(xué)生通過分學(xué)習(xí)小組自主探討，從特殊到一般，從而歸納總結(jié)得出三角函數(shù)圖象變換的規(guī)律.在課堂教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用GGB數(shù)學(xué)軟件與三角函數(shù)進(jìn)行深度融合的教學(xué)，繪制函數(shù)圖象十分便捷，當(dāng)參數(shù)不斷改變時(shí)函數(shù)圖象變化詳細(xì)情況可一一展現(xiàn)，極大程度提高了學(xué)生的專注力，使得學(xué)習(xí)氛圍更加濃厚.[5]使用GGB的動(dòng)態(tài)功能進(jìn)行動(dòng)畫演示，探究圖象變換背后的規(guī)律，讓學(xué)生對(duì)函數(shù)有更深層次的認(rèn)識(shí)與理解，同時(shí)學(xué)生能在課后的習(xí)題訓(xùn)練中運(yùn)用自如.本教學(xué)案例體現(xiàn)出新課標(biāo)和新教材的“新”，利用GeoGebra具有的動(dòng)態(tài)性的優(yōu)勢(shì)，能夠很好的化靜為動(dòng)，輕松突破學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，撥開疑云.從學(xué)生的表述和后面的練習(xí)來，學(xué)生對(duì)f（x）=Asin（ωx+φ）的本質(zhì)理解還是比較深刻和到位的，我們相信，將GGB動(dòng)態(tài)教學(xué)軟件與數(shù)學(xué)課堂問題解決教學(xué)進(jìn)行深度融合，一定能成為未來高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主流.

參考文獻(xiàn)：

[1]王飛，殷長(zhǎng)征.有效教學(xué)情境的特征及其策略分析——以高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2017（06）：1-4.

[2]項(xiàng)俊.GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探究[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（04）：25-27.

[3]高學(xué)，李峰.利用GeoGebra軟件開發(fā)高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課件[J].中國(guó)教育技術(shù)裝備，2020（21）：32-33.

[4]朱亮衛(wèi).基于GeoGebra的高中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)研究[D].陜西理工大學(xué)，2020.

[5]徐敏霞. 基于GeoGebra的高中數(shù)學(xué)探究教學(xué)研究[D].蘇州大學(xué)，2016.