闕成

【摘要】尺規(guī)作圖作為初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中的一個基本內(nèi)容，對學(xué)生培養(yǎng)空間想象、數(shù)學(xué)推理以及探究應(yīng)用能力起到了重要的作用.在考試中，也出現(xiàn)過不少基于基本作圖方法的題型.但在實(shí)際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于基本作圖的原理和作法掌握比較牢固.但對于需要分析題意，將"尺、規(guī)"作為工具達(dá)到問題解決的探究型問題比較茫然，無從下手.以下針對這一問題進(jìn)行教學(xué)反思.

【關(guān)鍵詞】尺規(guī)作圖;基本作圖;探究應(yīng)用題呈現(xiàn)

"直角"在初中幾何學(xué)習(xí)中無處不在.如圖1，已知∠AOB，請仿照小麗的方式，再用兩種不同的方法判斷∠AOB是否為直角（僅限用直尺和圓規(guī)）.

本題的作圖不再是機(jī)械的作法，而是考察了作法背后靈活的思維以及知識遷移能力.最后，再通過尺規(guī)作圖的基本作圖方法規(guī)劃作圖步驟.所以，作圖前的分析過程雖未呈現(xiàn)在答案中，但價值卻在作法之上.

解析

方法1想到勾股定理逆定理中通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判定直角三角形的方法.若以點(diǎn)O 為端點(diǎn)在射線OA、OB上任取C、D兩點(diǎn)，OC、OD、CD 滿足OC2+OD2=CD2，則可說明∠AOB為直角.為了實(shí)現(xiàn)這一目的，我們可以先假設(shè)直角成立，為方便起見選取一組勾股數(shù)作為直角三角形邊長，如3、4、5.由于圓規(guī)可用來截取相等的線段，我們只需要利用圓規(guī)作出表示3份和4份的兩條直角邊 OC、OD，再利用直尺連接CD，利用圓規(guī)驗證 CD長度是否為對應(yīng)的5份，

以此來判定∠AOB是直角.

方法2 想到圓中直徑對直角，只要在射線 OA、OB上任取兩點(diǎn)C、D以C、D為直徑作圓，若點(diǎn)O 在圓上，則∠AOB=90°。

在這道題的解決過程中，很多同學(xué)無從下手.在與學(xué)生的交流中發(fā)現(xiàn)學(xué)生遇到了以下幾點(diǎn)困惑：

1.學(xué)生在平時的練習(xí)中，更多接觸到的是尺規(guī)基本作圖，以及給出作法后的理由闡述問題.對于這一道題沒有做好心態(tài)和方法上的準(zhǔn)備;

2.學(xué)生在閱讀材料后，難以聯(lián)想到其他思路，也沒有找到分析的方法;

3.即便是想到了利用勾股定理逆定理可以用來判定直角，但依舊無法利用尺規(guī)來實(shí)現(xiàn).

針對這幾個問題，我也開始反思教學(xué)中存在的一些不足.

2教學(xué)回顧

在實(shí)際教學(xué)中，以蘇科版數(shù)學(xué)教材為例，五種尺規(guī)基本作圖以.閱讀作法，根據(jù)作法中的步驟操作"為主，在教學(xué)中，會有以下幾點(diǎn)疏漏：

（1）學(xué)生很容易將其當(dāng)做獨(dú)立的學(xué)習(xí)內(nèi)容，難以與其他知識點(diǎn)聯(lián)系在一起.

（2）對于尺規(guī)作圖的教學(xué)集中在具體的作法上，教師介紹作法，學(xué)生根據(jù)作法動手操作，但忽視了對作法原理的探究.使得作圖與教材前后的內(nèi)容相割裂.

（3）書本以及練習(xí)中配套的練習(xí)往往比較簡單，是對基本作圖的方法的不斷重復(fù).對于作圖前的分析階段鍛煉不夠.

同時，課標(biāo)要求會利用基本作圖作三角形與圓的相關(guān)圖形，在實(shí)際教學(xué)中，也存在僅僅.就事論事"的情況，忽略了作圖與三角形、圓中性質(zhì)的聯(lián)系.學(xué)生學(xué)完以后，基本上都還只局限在上課教過的圖形作法上.把尺規(guī)作圖當(dāng)成是學(xué)習(xí)的目標(biāo)，而不是解決實(shí)際問題的工具.

3教學(xué)改進(jìn)嘗試

根據(jù)這些教學(xué)中暴露出的問題，筆者也作出了幾方面的教學(xué)嘗試.

3.1深挖基本作圖教學(xué)

以作一個角的平分線為例.學(xué)生在接觸尺規(guī)作圖之前，學(xué)生已經(jīng)通過量角器、折紙、刻度尺、角尺等手段從幾何直觀和理性推理兩方面得到了各種各樣的作法，進(jìn)而不難發(fā)現(xiàn)可以用"SSS，證明畫法的正確性.這時，可以讓學(xué)生體會到畫角平分線的實(shí)質(zhì)是構(gòu)造兩個用一條公共邊的全等三角形.從而找到用"直尺和圓規(guī)，替換以上工具的來畫角平分線的的辦法.這程，實(shí)際上也是引導(dǎo)學(xué)生主動探索用直尺與圓規(guī)作角平分線的方法和原理.

3.2關(guān)注知識間的聯(lián)系與交互

在一定量的按要求作圖后，針對學(xué)生并沒有真正應(yīng)用尺規(guī)解決新問題，可以設(shè)計一些需要分析、整合已學(xué)內(nèi)容的問題.如：

例題

本題以作四邊形 ABCD為背景，考查了作平行線與做一條線段等于已知線段的兩倍.其中作平行線的方法就是對學(xué)生推理能力，幾何直觀，轉(zhuǎn)化思想的考驗.可以請學(xué)生聯(lián)系所學(xué)內(nèi)容，分析探究.

法1直線的平行關(guān)系可通過構(gòu)造同位角、內(nèi)錯角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化.這就將問題轉(zhuǎn)化為"作一個角等于已知角，的基本作圖.

法2根據(jù)"垂直于同一條直線的兩直線互相平行，構(gòu)造平行線.具體來說，作 AB的垂線，再作過點(diǎn)C 且垂直于這條垂線的垂線.這樣，就轉(zhuǎn)化為"過一點(diǎn)作已知直線的垂線，的基本作圖.其中，學(xué)生也提出"作 AB的垂線，作法不唯一，嘗試、交流中發(fā)現(xiàn)可以過點(diǎn)C 作AB的垂線，或直接作 AB的中垂線.這又涉及到"作一條線段的垂直平分線，的基本作圖.

法3根據(jù)"平分、等腰得平行，進(jìn)行構(gòu)造.作∠ABC的平分線，再以點(diǎn) C為圓心，CB長為半徑作弧，交角平分線于一點(diǎn).連接點(diǎn)C與該點(diǎn)即為AB的平行線.這里，用到了"作一條線段等于已知線段，和"作一個角的平分線，兩種基本作圖.

以上三種作法，通過作圖前的分析，尋找能夠得出兩直線平行的相關(guān)判定與方法，形成知識間的遷移.而且在學(xué)生探究的過程中，體驗到了作圖方法與幾何推理間的密切聯(lián)系.最終，學(xué)生發(fā)現(xiàn)還是通過五種基本作圖來完成，但體會卻更為深刻.

學(xué)生在進(jìn)一步思考后還有很多非常好的想法.

法4以BA、BC為一組鄰邊構(gòu)造平行四邊形.利用平行四邊形對邊平行的性質(zhì)得到平行線.

至此，學(xué)生體會到各個知識間豐富的交互與遷移，應(yīng)用意識、創(chuàng)新思維達(dá)到真正的鍛煉.

3.3深挖例題資源

回到文章一開始的問題，很多學(xué)生在做題過程中其實(shí)并沒有仔細(xì)讀題，"小麗的方法，實(shí)際上是一跳而過.在本題的評講過程中，很多學(xué)生也只是記下了正確答案，之后就將本題棄之一邊.那么這道題的價值就沒有足夠的體現(xiàn)，之后遇到探究型作圖學(xué)生依舊一籌莫展.針對這一情況，課堂評講可設(shè)置問題如下：

（1）小麗的方法原理是什么？

設(shè)問分析這實(shí)際上也是中考中常見的"給出作法，說原理，問題.對于學(xué)生來說，思維是正向的，切入難度低.學(xué)生可以從兩三角形全等的角度闡述原理，也可以根據(jù)等腰三角形三線合一的相關(guān)知識分析.學(xué)生在試圖說理的過程中，就是在進(jìn)行知識間的遷移.

（2）解析給出的兩種方法都是構(gòu)造直角三角形，還有沒有其他方式或模型可以遷移呢？

設(shè)問分析作圖前的分析是解決本題，也是此類問題的關(guān)鍵所在.這個問題的設(shè)置，也是為了讓學(xué)生明白，方法是多樣的，是不唯一的.這是對學(xué)生靈活應(yīng)用已有知識的考驗，也是對創(chuàng)新精神的磨煉.

4結(jié)語

綜上，從這一道題的分析與作圖可以看出學(xué)生在尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)中還存在很多的問題，基本作圖只是一種工具，更需要學(xué)生靈活的思維，遷移知識的能力.而這，也是今后教學(xué)過程中需要注意的.我們不僅要培養(yǎng)學(xué)生具體操作的能力，更需要讓學(xué)生學(xué)會分析，學(xué)會聯(lián)想，真正發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

[1]張萬梅.一道中考尺規(guī)作圖題畫法賞析和思考[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版）.2020（06）

[2]陸蓉.一道尺規(guī)作圖題的閱卷收獲[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué).2020（03）

[3]孫喜軍.一道中考尺規(guī)作圖題的多解及探究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2020（06）：19 -21.