摘 要： 從生活情境出發(fā)引出“點和圓的位置關(guān)系”，能夠增加開課階段的一些趣味，體現(xiàn)數(shù)學(xué)源自生活。然而，從幾何研究的基本方法或套路出發(fā)，基于圖形位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的對應(yīng)，精心設(shè)計系列作圖問題，驅(qū)動“點和圓的位置關(guān)系”的新知生成，能夠關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展，使得教學(xué)更有“幾何味”。

關(guān)鍵詞：尺規(guī)作圖 問題驅(qū)動 點和圓的位置關(guān)系 教學(xué)設(shè)計

對于“點和圓的位置關(guān)系”，不少版本的初中數(shù)學(xué)教材都是從一個生活情境（比如射擊問題）出發(fā)，引出相應(yīng)的性質(zhì)與判定。這樣可以增加開課階段的一些趣味，體現(xiàn)數(shù)學(xué)源自生活。然而，我們也可以從幾何研究的基本方法或套路出發(fā)，基于圖形位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的對應(yīng)，精心設(shè)計系列作圖問題，驅(qū)動新知生成，串聯(lián)課堂教學(xué)。這樣可以關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展，使得教學(xué)更有“幾何味”。下面就給出這樣的教學(xué)流程，以供研討。

一、教學(xué)流程與思考

（一）“一點”出發(fā)，畫圖分析，引出課題

教師在“副板區(qū)”（黑板的右半部分）先畫出點A，并指出“經(jīng)過一點的直線有無數(shù)條”；再畫出點B，連出直線AB，并指出“經(jīng)過兩點的直線有且僅有一條”；接著畫出直線AB外一點C（如圖1），并指出“在七年級我們還研究過點與直線的位置關(guān)系”。然后，教師在“主板區(qū)”（黑板的左半部分）書寫留白式課題“……位置關(guān)系”。

（二）作圓活動，得到“點與圓的位置關(guān)系”

教師出示作圖活動1：

作圖1 過點A作圓，能作多少個圓？這些圓的分布有什么特點？

預(yù)設(shè)：學(xué)生畫圖發(fā)現(xiàn)，這樣的圓有無數(shù)個，在分布上沒有什么特點。教師在黑板上保留經(jīng)點A的一個圓，引導(dǎo)學(xué)生觀察平面被該圓分成的三個部分，基于圓的定義，從集合的角度來描述點在圓外、圓上、圓內(nèi)（如圖2）。然后，教師板書完善課題“點和圓的位置關(guān)系”，并生成新知“‘?dāng)?shù)形對應(yīng)理解點和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離OP=d，則有點P在圓外d>r；點P在圓上d=r；點P在圓內(nèi)d

教師出示例1：

例1

已知矩形ABCD的四個頂點在同一圓O上，若AB=4 cm，AD=3 cm，邊AB所在直線上有一點E。

（1）當(dāng)OE=2 cm時，分析點E與⊙O的位置關(guān)系；

（2）當(dāng)OE=2.5 cm時，分析點E與⊙O的位置關(guān)系；

（3）當(dāng)OE=3 cm時，分析點E與⊙O的位置關(guān)系；

（4）設(shè)平面內(nèi)有一點P，點P到圓心O的距離大于等于1.5 cm且小于等于2.5 cm時，畫出點P所在的區(qū)域。

預(yù)設(shè)：本題主要用于鞏固新知（點和圓的位置對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系），選擇矩形作為問題背景還有一個考慮：矩形的四個頂點恰在以對角線交點為圓心（對角線長為直徑）的圓上。學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，前三問分別對應(yīng)著點在圓內(nèi)、圓上、圓外，而最后一問則是兩個同心圓形成的圓環(huán)區(qū)域。

（三）作圓活動，研究“三點共圓”問題

教師出示作圖活動2：

作圖2 作一個圓，使該圓能同時經(jīng)過點A、B。

預(yù)設(shè)：學(xué)生先分組作圖、交流，再全班展示、匯報，發(fā)現(xiàn)這樣的圓也有無數(shù)個（如圖3）。教師進一步要求學(xué)生說出這些圓的特點，即圓心分布的特點（在線段AB的垂直平分線上）。

教師出示作圖活動3：

作圖3 能否作出一個圓同時經(jīng)過已知的三個點？

預(yù)設(shè)：部分學(xué)生受到前面的啟發(fā)，畫出兩條垂直平分線的交點，作為圓心，從而確定圓（如圖4）。教師給予肯定，并定義三角形的外接圓與外心等概念。然后，教師啟發(fā)學(xué)生繼續(xù)思考：經(jīng)過平面內(nèi)三個點一定能確定一個圓嗎？若學(xué)生沒有考慮到三個點在同一直線上的情形，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考之。學(xué)生能直觀地看出，不可能作出同時經(jīng)過同一直線上三個點的圓。這時，教師可讓學(xué)生繼續(xù)探究如何說理，從而引出反證法的介紹（結(jié)合圖5講解；“反證法”在課標中只作為“了解”內(nèi)容，這里可以一帶而過）。

教師出示例2：

例2 已知邊長為23的等邊三角形ABC。

（1）尺規(guī)作圖作出△ABC的外接圓⊙O，并求出它的半徑；

（2）若點P到△ABC的外接圓的圓心O的距離大于等于1且小于等于2，分析點P所在的區(qū)域。

預(yù)設(shè)：第（1）問訓(xùn)練等邊三角形的外接圓的尺規(guī)作圖，跟進求出半徑為2；第（2）問主要鞏固點到直線的位置關(guān)系，從“數(shù)”的角度分析“形”的關(guān)系。學(xué)生會畫出半徑分別為1、2的同心圓O（如圖6），其中小圓O恰為△ABC的內(nèi)切圓（后面會學(xué)到）。

（四）梳理所學(xué)，形成結(jié)構(gòu)化的板書

教師引導(dǎo)學(xué)生梳理本課所學(xué)的內(nèi)容，完善并形成結(jié)構(gòu)化的板書（包括課題、新知以及圖1～圖5等內(nèi)容），幫助學(xué)生理解本課所學(xué)內(nèi)容與后續(xù)待學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系。

教師出示跟進練習(xí)：

練習(xí)

在平面直角坐標系xOy中，⊙M經(jīng)過點A（2，0）、B（2，2）、C（0，2）。

（1）尺規(guī)作圖作出⊙M，并寫出圓心M的坐標；

（2）試判斷點D（3，1）與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）若點P（x，y），且x+y=2，試分析當(dāng)x取何值時，點P在⊙M外、上、內(nèi)？

意圖：前兩問主要訓(xùn)練本課教學(xué)重點，第（3）問適度拓展與關(guān)聯(lián)一次函數(shù)圖像（直線）與圓的交點（恰在坐標軸上），并且為后續(xù)研究的直線和圓的位置關(guān)系提供知識生長點。

二、教學(xué)立意的進一步闡釋

（一）基于作圓活動，驅(qū)動課堂進程

如何構(gòu)思一個好的問題情境或者高度相關(guān)的數(shù)學(xué)活動驅(qū)動整節(jié)課的教學(xué)進程，是不少教師教學(xué)設(shè)計時反復(fù)思考的。教材中，“點和圓的位置關(guān)系”“三點共圓”“反證法”等新知比較零散地出現(xiàn)，關(guān)聯(lián)度不強。于是，筆者構(gòu)思了系列作圖活動。開課時，依次畫出一個點、兩個點（確定一條直線）、三個點（點在直線外），這三個圖形既復(fù)習(xí)了幾何研究的最初對象（從點到線），也復(fù)習(xí)了幾何的研究角度（圖形的形狀與位置），更重要的是，為后續(xù)的系列作圖活動提供了三個“生成性教學(xué)情境”（由之前的教學(xué)活動保留下來的背景，可以作為后續(xù)教學(xué)環(huán)節(jié)中一些新知探究的生長點）。具體來說，一個點的圖形為后面“經(jīng)過一點作圓”的作圖探究提供了“生成性教學(xué)情境”；兩個點的圖形為后面“經(jīng)過兩點作圓”的作圖探究提供了“生成性教學(xué)情境”；三個點的圖形為后面“三點共圓”的作圖探究以及三角形外接圓、反證法等新知的探究提供了“生成性教學(xué)情境”。

（二）圓的定義出發(fā)，歸納生成新知

通過對教材內(nèi)容的分析，本課新知探究的生長點是“圓的定義”。圓的定義中有兩個關(guān)鍵元素：圓心、半徑。圓心半徑確定圓的位置，圓的半徑確定圓的大小。從圓的定義出發(fā)，可以把平面內(nèi)的點分成三類：點在圓外、點在圓上、點在圓內(nèi)。從圓的定義出發(fā)，分別經(jīng)過一點、兩點、三點（不在同一直線上）作圓，并追問圓是如何作出來，畫出的圓是否唯一確定（圓心能否被確定，半徑能否被確定等）。在不同教學(xué)環(huán)節(jié)中，通過互動與對話，反復(fù)引導(dǎo)學(xué)生回到圓的定義來說理，也是一種數(shù)學(xué)研究或解題方法的滲透：回到概念去理解或思考。

（三）精心設(shè)計例題，突出內(nèi)容效度

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)離不開例題與習(xí)題，怎樣選編一些好的例題與習(xí)題也是需要我們在備課時認真思考的。本課中，一共安排了3道例題或習(xí)題。例1主要訓(xùn)練點與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)與判定（數(shù)形對應(yīng)），選用矩形作為問題背景是因為之前《圓的定義》一課中，學(xué)生已經(jīng)證明過命題“矩形的四個頂點在同一個圓上”。例2關(guān)注的是等邊三角形的外接圓作法，并且遞進形成同心圓問題，訓(xùn)練學(xué)生聚焦等邊三角形的外接圓與內(nèi)切圓，以及基本圖形中邊角之間的關(guān)系。最后一道習(xí)題將正方形放置在平面直角坐標系中，其中的最后一問適度關(guān)聯(lián)直線與圓的交點問題，但是本質(zhì)上還是運用點和圓的位置關(guān)系的性質(zhì)與判定進行解答。

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