丁嘉琪

摘要：古往今來(lái)，古希臘三大幾何問(wèn)題吸引了古今中外的數(shù)學(xué)家進(jìn)行前仆后繼的探索。在探索的過(guò)程中，人們不僅清楚了解了三大幾何問(wèn)題的結(jié)果，還從中得到了許多意外的收獲。本文將從歷史由來(lái)、問(wèn)題概述、解決過(guò)程及現(xiàn)實(shí)意義四個(gè)方面對(duì)古希臘三大幾何問(wèn)題進(jìn)行概述。

關(guān)鍵詞：倍立方體；化圓為方；三等分角；尺規(guī)作圖

1.背景

在數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展歷史中，古希臘三大幾何問(wèn)題一直是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中十分受關(guān)注的話題。古希臘三大幾何問(wèn)題不僅促進(jìn)了幾何學(xué)的發(fā)展，而且還促進(jìn)了人類思想的進(jìn)步和發(fā)展。從古至今，古希臘三大幾何問(wèn)題的提出和解決過(guò)程一直是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，具有十分重要的意義。本文將對(duì)古希臘三大幾何問(wèn)題的產(chǎn)生歷史、古希臘三大幾何問(wèn)題的描述、古希臘三大幾何問(wèn)題的解答及古希臘三大幾何問(wèn)題的意義四個(gè)方面進(jìn)行簡(jiǎn)要的介紹。

2.古希臘三大幾何問(wèn)題的產(chǎn)生歷史

2.1 倍立方體問(wèn)題

傳說(shuō)在古希臘時(shí)期，提洛斯（Delos）島上蔓延著十分嚴(yán)重的傳染病，民不聊生。為了避免傳染病的繼續(xù)蔓延，島上的居民求助于太陽(yáng)神阿波羅，然而阿波羅卻對(duì)祈求的人們說(shuō)：只要將阿波羅神殿前的立方體祭壇擴(kuò)大為原來(lái)體積的兩倍，且保持立方體的形狀，那么傳染病就會(huì)隨即消失。居民聽(tīng)到后很高興，立即建造了一個(gè)長(zhǎng)、寬、高都為原來(lái)2倍的祭壇，然而，傳染病卻蔓延地更快，更多的人罹患疾病，一時(shí)間人心惶惶。后來(lái)有學(xué)者指出了錯(cuò)誤：立方體的棱長(zhǎng)變?yōu)閮杀逗?，體積變?yōu)樵瓉?lái)的八倍，而不是要求的二倍。因此，人們就去請(qǐng)教古希臘最著名的學(xué)者柏拉圖，而柏拉圖也對(duì)此一籌莫展。這個(gè)問(wèn)題被稱作倍立方體問(wèn)題，因?yàn)檫@一個(gè)傳說(shuō)，倍立方體問(wèn)題也叫作提洛斯問(wèn)題。

2.2 化圓為方問(wèn)題

幾乎在同一時(shí)期，一名叫安納薩戈拉斯（Anaxagros）的哲學(xué)家因褻瀆神靈而被捕入獄，而且被判處了死刑。在獄中被關(guān)押的日子里，他依舊保持著對(duì)世界的思考。一天夜晚，他透過(guò)方形的鐵窗看見(jiàn)圓圓的月亮，心中不免疑惑：如果已知一個(gè)正方形，如何利用尺規(guī)作圖法做出與其面積相等的圓呢？

在獄中的安納薩戈拉斯一直為此問(wèn)題而困惑不已，完全忘記自己仍處在即將被判處死刑的局面。幸運(yùn)的是，當(dāng)時(shí)有一位杰出的政治家伯利克里，恰好是他的好朋友，在好朋友的營(yíng)救之下，安納薩戈拉斯獲釋出獄。出獄后，他依舊對(duì)這個(gè)問(wèn)題念念不忘，后來(lái)他組織了許多數(shù)學(xué)家來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題，但都沒(méi)有得到解決。由此便誕生了另一個(gè)幾何問(wèn)題——化圓為方問(wèn)題。

2.3 三等分角問(wèn)題

在公元前4世紀(jì)的時(shí)候，有一位公主住在亞歷山大城郊外的圓形別墅中。公主的居室恰好在別墅的中心處，別墅中間有一條河流穿過(guò)。因此，別墅中的河流上建了橋梁，而橋與別墅的南門和北門剛好位于同一直線上。每天，國(guó)王派侍從將賞賜公主的物品運(yùn)送到北門，經(jīng)過(guò)橋梁送往位于南門旁邊的物品倉(cāng)庫(kù)。當(dāng)公主需要某件物品的時(shí)候，她便派侍從從南門倉(cāng)庫(kù)將物品運(yùn)到居室。

有一天，公主想知道北門到居室的距離和北門到橋的距離哪一段更遠(yuǎn)，于是派了侍從去測(cè)量，發(fā)現(xiàn)兩段路的長(zhǎng)度是一樣的。在幾年之后，公主的妹妹也長(zhǎng)大成人，國(guó)王決定也為她修建別墅供其居住。與姐姐十分要好的妹妹提出要求，想要她的別墅和姐姐的別墅一個(gè)樣子，別墅中有河流穿過(guò)，河流上修建橋梁，也有南門和北門。國(guó)王欣然同意，于是別墅很快便開(kāi)始修建起來(lái)。當(dāng)別墅的南門位置確定，想要修建橋梁和北門的時(shí)候，問(wèn)題出現(xiàn)了：如何能確保北門與居室之間的距離等于北門與橋梁之間的距離。修建別墅的工匠利用當(dāng)時(shí)流行的尺規(guī)作圖方法進(jìn)行測(cè)量，卻發(fā)現(xiàn)無(wú)從下手。在一籌莫展之際，工匠們決定去請(qǐng)教古希臘著名的數(shù)學(xué)家阿基米德來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

阿基米德經(jīng)過(guò)思考，最終用直尺和圓規(guī)解決了角三等分的問(wèn)題，工匠利用阿基米德的方法，很快便確定好了北門的方位，大家也紛紛稱贊阿基米德的智慧和思維。但是，阿基米德表示，這個(gè)方法雖然能夠確定北門的位置，但在尺規(guī)作圖的過(guò)程中，由于利用了尺子做標(biāo)記的辦法，所以說(shuō)只是一個(gè)暫緩之計(jì)，并不是完美的辦法。在古希臘的尺規(guī)作圖法規(guī)定中，是不允許在直尺上做刻度的。由此，最后一個(gè)問(wèn)題——三等分角也誕生了。

3.古希臘三大幾何問(wèn)題的描述

古希臘三大幾何問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，可以概述為：

（1）倍立方體問(wèn)題

給定一個(gè)立方體V，利用尺規(guī)作圖法求得新立方體的邊長(zhǎng)l，使新立方體的體積等于原來(lái)體積的2倍，即求立方體邊長(zhǎng)l，使得V=2V。

我們現(xiàn)在知道，這樣的新立方體邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)，因而利用尺規(guī)作圖法來(lái)做圖是十分困難的，因而它成為了千百年來(lái)難以解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（2）化圓為方問(wèn)題

給定一個(gè)圓O，利用尺規(guī)作圖法求得新正方形的邊長(zhǎng)，使得新正方形的面積與給定圓的面積完全相等。阿基米德將化圓為方問(wèn)題表述為如下形式：給定圓的半徑為r，則其周長(zhǎng)為2πr，面積為πr2；如果能夠求得一個(gè)直角三角形，其直角邊長(zhǎng)分別為2πr和r，那么則能夠很容易得到：

通過(guò)這個(gè)直角三角形，我們便不難得到滿足要求的正方形。但這個(gè)直角邊如何來(lái)用尺規(guī)作圖得到，便成了一個(gè)千百年來(lái)的數(shù)學(xué)難題。

（3）三等分角問(wèn)題

三等分角的問(wèn)題出現(xiàn)的時(shí)間要早于前兩個(gè)問(wèn)題。在公元前600-500年期間，古希臘的數(shù)學(xué)家便已經(jīng)用尺規(guī)作圖解決了二等分角的問(wèn)題，這個(gè)方法在中學(xué)課本中便已經(jīng)介紹過(guò)，方法簡(jiǎn)單且易于理解。在這種情況下，數(shù)學(xué)家自然而然便聯(lián)想到：如何能用類似的方法來(lái)解決三等分角的問(wèn)題。

從表面上看，三大幾何問(wèn)題貌似很容易，但卻使無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家付出了無(wú)盡的努力，雖屢戰(zhàn)屢敗卻越挫越勇，這恰恰顯示出了數(shù)學(xué)學(xué)科的無(wú)限魅力。

4.古希臘三大幾何問(wèn)題的解決

古希臘三大幾何問(wèn)題如何解決，古往今來(lái)，無(wú)數(shù)的科學(xué)家進(jìn)行了不懈的奮斗與努力。直到十七世紀(jì)，笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何之后，數(shù)學(xué)家們開(kāi)始利用“幾何與代數(shù)”統(tǒng)一的思想，才令這三個(gè)問(wèn)題有了進(jìn)一步的發(fā)展。

在化圓為方問(wèn)題上，公元前五世紀(jì)下半葉的數(shù)學(xué)家希波克拉底沒(méi)能解決問(wèn)題。后來(lái)，希臘巧辯法的代表人物安蒂豐提出了窮竭法，但也沒(méi)有解決問(wèn)題。不過(guò)，窮竭法成為了近代數(shù)學(xué)中極限論的雛形。

1837年，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家旺策爾在研究阿貝爾定理時(shí)，以六十度角為例證明了對(duì)任意角進(jìn)行三等分是尺規(guī)作圖所不能解決的問(wèn)題，之后又證明了倍立方體問(wèn)題不能用尺規(guī)作圖來(lái)進(jìn)行解決。

1830年，法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅華創(chuàng)立了一套理論，通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，表明僅用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)對(duì)給定的角進(jìn)行三等分是無(wú)法做到的。由此可知，三大幾何問(wèn)題之所以未被解決，不是因?yàn)閿?shù)學(xué)家不夠睿智，而是因?yàn)楫?dāng)時(shí)的工具條件受到限制。

1882年，化圓為方問(wèn)題產(chǎn)生了令人信服的答案。德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法證明：圓周率為超越數(shù)，無(wú)法用傳統(tǒng)的代數(shù)法進(jìn)行表達(dá)。他還指出，尺規(guī)作圖無(wú)法表示出超越數(shù)。

最后，克萊因（Klein.F）在總結(jié)前人研究成果的基礎(chǔ)上，于1895年在德國(guó)數(shù)理學(xué)家改進(jìn)社開(kāi)會(huì)時(shí)宣讀了一篇文章，從而證明三大幾何問(wèn)題不可能僅用無(wú)刻度的直尺以及圓規(guī)來(lái)完成，從而使得疑惑了兩千多年的問(wèn)題得以解決。

5.古希臘三大幾何問(wèn)題的意義

雖然三大幾何問(wèn)題最終都被證明是無(wú)法用傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖方法進(jìn)行解決，但千百年來(lái)，數(shù)學(xué)家為解決這些問(wèn)題所做出的努力和探索，推動(dòng)了數(shù)學(xué)學(xué)科的進(jìn)步與發(fā)展。與此同時(shí)，在三大幾何問(wèn)題的探索過(guò)程之中，數(shù)學(xué)家們也發(fā)現(xiàn)了許多新的數(shù)學(xué)定理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，為人類的生產(chǎn)帶來(lái)了理論指導(dǎo)，促進(jìn)了生產(chǎn)力的發(fā)展。由此，我們也可以得到啟發(fā)，解決問(wèn)題并不是非要得到一個(gè)結(jié)果，而是在這一過(guò)程中我們所使用的數(shù)學(xué)思想以及我們由此而得到的啟發(fā)。

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